1.已知向量a=(1,2)，b=(3,m)，若a⊥(a+b)，則m的值為( )
A. ?4B. 4C. ?6D. 6
2.已知復(fù)數(shù)z=2?i1+i，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
3.設(shè)a，b為兩條直線，α，β為兩個平面，下列四個命題中，正確的命題是( )
A. 若a/?/α，b?α，則a/?/b
B. 若a/?/α，b/?/β，α/?/β，則a/?/b
C. 若a?α，b?β，a/?/b，則α/?/β
D. 若a⊥α，b⊥β，α⊥β，則a⊥b
4.已知事件A，B互斥，它們都不發(fā)生的概率為16，且P(A)=2P(B)，則P(B?)=( )
A. 59B. 49C. 518D. 1318
5.如圖，甲站在水庫底面上的點D處，乙站在水壩斜面上的點C處，已知庫底與水壩所成的二面角為120°，測得從D，C到庫底與水壩的交線的距離分別為DA=30m，CB=40m，又已知AB=20 3m，則甲、乙兩人相距( )
A. 50mB. 10 37mC. 60mD. 70m
6.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若ca= 33，B=π6，△ABC的面積為 3，則b=( )
A. 2 3B. 4C. 2D. 6
7.已知圓錐的底面圓周在球O的球面上，頂點為球心O，圓錐的高為3，且圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，則球O的表面積為( )
A. 12πB. 16πC. 48πD. 96π
8.某工業(yè)園區(qū)有A、B、C共3個廠區(qū)，其中AB=6 3km，BC=10km，∠ABC=90°，現(xiàn)計劃在工業(yè)園區(qū)內(nèi)選擇P處建一倉庫，若∠APB=120°，則CP的最小值為( )
A. 6kmB. 8kmC. 4 3kmD. 6 2km
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.給定一組數(shù)5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，則( )
A. 平均數(shù)為3B. 標(biāo)準(zhǔn)差為85C. 眾數(shù)為2D. 85%分位數(shù)為5
10.有6個相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個球.用x表示第一次取到的小球的標(biāo)號，用y表示第二次取到的小球的標(biāo)號，記事件A：x+y為偶數(shù)，B：xy為偶數(shù)，C：x>2，則( )
A. P(B)=34B. A與B相互獨立C. A與C相互獨立D. B與C相互獨立
11.如圖，點P是棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1的表面上一個動點，則( )
A. 當(dāng)P在平面BCC1B1上運動時，四棱錐P?AA1D1D的體積不變
B. 當(dāng)P在線段AC上運動時，D1P與A1C1所成角的取值范圍是[π3,π2]
C. 使直線AP與平面ABCD所成的角為45°的點P的軌跡長度為π+4 2
D. 若F是A1B1的中點，當(dāng)P在底面ABCD上運動，且滿足PF/?/平面B1CD1時，PF長度的最小值是 5
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知向量a=(1,1)，b=(?1,2)，則a在b方向上的投影向量坐標(biāo)是______．
13.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，AD=4，E為PC的中點，則異面直線PD與BE所成角的余弦值為______．
14.已知向量a,b均為單位向量，且a⊥b，向量c滿足|c|= 3，則(c?a)?(c?b)的最大值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
如圖，四面體ABCD，E，F(xiàn)，G，H，K，M分別為棱AB，BC，CD，DA，BD，AC的中點．
(1)設(shè)AB=a，AC=b，AD=c，用向量a，b，c分別表示EG、FH、KM；
(2)若|EG|=|FH|=|KM|，求證AB⊥CD，AC⊥BD，AD⊥BC．
16.(本小題15分)
在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E為線段PB的中點，連接AE．
(1)證明：AE⊥PC；
(2)連接DE，求DE與底面ABCD所成角的正切值；
(3)求二面角E?CD?A的平面角的正切值．
17.(本小題15分)
為了估計一批產(chǎn)品的質(zhì)量狀況，現(xiàn)對100個產(chǎn)品的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合評分(滿分100分)，并制成如圖所示的頻率分布直方圖.記綜合評分為80分及以上的產(chǎn)品為一等品．
(1)求圖中a的值，并求綜合評分的平均數(shù)；
(2)用樣本估計總體，以頻率作為概率，按分層隨機(jī)抽樣的思想，先在該條生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取5個產(chǎn)品，再從這5個產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2個產(chǎn)品記錄有關(guān)數(shù)據(jù)，求這2個產(chǎn)品中最多有1個一等品的概率；
(3)已知落在[50,60)的平均綜合評分是54，方差是3，落在[60,70)的平均綜合評分為63，方差是3，求落在[50,70)的總平均綜合評分z?和總方差s2．
18.(本小題17分)
設(shè)△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b(2csA+sin2C)=csinBsinC+b．
(1)求A的值；
(2)設(shè)c= 3，△ABC為銳角三角形，D是邊AC的中點，求DB?AC的取值范圍．
19.(本小題17分)
由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體，圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點叫做多面體的頂點.對于凸多面體，有著名的歐拉公式：n?e+f=2，其中n為頂點數(shù)，e為棱數(shù)，f為面數(shù)．
我們可以通過歐拉公式計算立體圖形的頂點、棱、面之間的一些數(shù)量關(guān)系.例如，每個面都是四邊形的凸六面體，我們可以確定它的頂點數(shù)和棱數(shù).一方面，每個面有4條邊，六個面相加共24條邊；另一方面，每條棱出現(xiàn)在兩個相鄰的面中，因此每條棱恰好被計算了兩次，即共有12條棱；再根據(jù)歐拉公式，e=12，f=6，可以得到頂點數(shù)n=8．
(1)已知足球是凸三十二面體，每個面均為正五邊形或者正六邊形，每個頂點與三條棱相鄰，試確定足球的棱數(shù)；
(2)證明：n個頂點的凸多面體，至多有3n?6條棱；
(3)已知正多面體的各個表面均為全等的正多邊形，且與每個頂點相鄰的棱數(shù)均相同.試?yán)脷W拉公式，討論正多面體棱數(shù)的所有可能值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：向量a=(1,2)，b=(3,m)，
則a+b=(4,m+2)，
a⊥(a+b)，
則4×1+2(m+2)=0，解得m=?4．
故選：A．
根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解．
本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本題考查了復(fù)數(shù)運算法則的運用，主要考查了復(fù)數(shù)幾何意義的理解，屬于基礎(chǔ)題．
由復(fù)數(shù)的運算法則求出z的代數(shù)形式，由復(fù)數(shù)的幾何意義得到對應(yīng)的點的坐標(biāo)，即可得到答案．
【解答】
解：因為z=2?i1+i=(2?i)(1?i)2=12?32i，
所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(12,?32)，在第四象限．
故選：D．
3.【答案】D
【解析】解：選項A：a/?/α，b?α，只有當(dāng)a，b在同一平面內(nèi)的時候，才有a/?/b，故不正確；
選項B：a/?/α，b/?/β，α/?/β，則a，b可相交、平行或異面，故不正確；
選項C：a?α，b?β，a/?/b，則α，β還可能是相交平面，故不正確；
選項D：兩個平面垂直時，與它們垂直的兩條直線一定是垂直的，所以若a⊥α，b⊥β，α⊥β，則a⊥b，故正確．
故選：D．
根據(jù)直線和平面的平行和垂直的性質(zhì)定理對各選項逐一判斷即可．
本題考查直線和平面的平行和垂直的性質(zhì)定理，屬于基礎(chǔ)題．
4.【答案】D
【解析】解：由題可知，P(A∪B)=P(A)+P(B)=1?16=56，
又P(A)=2P(B)，所以2P(B)+P(B)=56，解得P(B)=518，
所以P(B?)=1?P(B)=1318．
故選：D．
根據(jù)互斥事件，對立事件的概率關(guān)系即可計算求解．
本題主要考查據(jù)互斥事件，對立事件的概率關(guān)系，是基礎(chǔ)題．
5.【答案】D
【解析】解：由題意得DC=DA+AB+BC，
∴|DC|2=(DA+AB+BC)2=DA2+AB2+BC2+2DA?AB+2BC?DA+2AB?BC，
又DA=30m，CB=40m，AB=20 3m，
∴|DC|2=302+(20 3)2+402+0+2×30×40×12+0=4900，即|DC|=70m，
故甲、乙兩人相距70m，
故選：D．
利用向量法，DC=DA+AB+BC，結(jié)合向量的線性運算，即可得出答案．
本題考查向量的線性運算和平面向量的數(shù)量積，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
6.【答案】C
【解析】解：由于ca= 33，故a= 3c，
由于B=π6，△ABC的面積為 3，
故S△ABC=12acsinB= 3，
整理得12?c? 3c?12= 3，解得c=2，a=2 3，
利用余弦定理b2=a2+c2?2accsB=12+4?2×2×2 3× 32=16?12=4，
解得b=2．
故選：C．
直接利用三角形的面積公式和余弦定理求出結(jié)果．
本題考查的知識點：三角形的面積公式，余弦定理，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．
7.【答案】C
【解析】解：設(shè)圓錐的母線長為l，底面圓半徑為r，球O的半徑為R，
則πl(wèi)=2πr，得l=2r，
又圓錐的高為3，可得3= l2?r2= 3r，r= 3，
圓錐的底面半徑為 3，母線長為2 3，
∴R=2 3．
因此，球O的表面積為：4πR2=48π．
故選：C．
由題中條件得出圓錐的母線長l，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖的弧長等于底面圓周長可計算出底面圓半徑r，再利用勾股定理可計算出圓錐的高h(yuǎn)，進(jìn)而求出球O的半徑，最后利用球體體積公式可得出答案．
本題考查球體的表面積的計算，考查外接球模型的應(yīng)用，考查了計算能力，是中檔題．
8.【答案】B
【解析】解：設(shè)∠BAP=θ，(0°12，即1p>12?1q≥12?13=16，
所以p

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