1.已知向量a=(1,2)，b=(3,m)，若a⊥(a+b)，則m的值為( )
A. ?4B. 4C. ?6D. 6
2.已知復(fù)數(shù)z=2?i1+i，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
3.設(shè)a，b為兩條直線，α，β為兩個(gè)平面，下列四個(gè)命題中，正確的命題是( )
A. 若a//α，b?α，則a//b B. 若a//α，b//β，α//β，則a//b
C. 若a?α，b?β，a//b，則α//β D. 若a⊥α，b⊥β，α⊥β，則a⊥b
4.已知事件A，B互斥，它們都不發(fā)生的概率為16，且P(A)=2P(B)，則P(B?)=( )
A. 59B. 49C. 518D. 1318
5.如圖，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)D處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)C處，已知庫(kù)底與水壩所成的二面角為120°，測(cè)得從D，C到庫(kù)底與水壩的交線的距離分別為DA=30m，CB=40m，又已知AB=20 3m，則甲、乙兩人相距( )
A. 50mB. 10 37mC. 60mD. 70m
6.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若ca= 33，B=π6，△ABC的面積為 3，則b=( )
A. 2 3B. 4C. 2D. 6
7.已知圓錐的底面圓周在球O的球面上，頂點(diǎn)為球心O，圓錐的高為3，且圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則球O的表面積為( )
A. 12πB. 16πC. 48πD. 96π
8.某工業(yè)園區(qū)有A、B、C共3個(gè)廠區(qū)，其中AB=6 3km，BC=10km，∠ABC=90°，現(xiàn)計(jì)劃在工業(yè)園區(qū)內(nèi)選擇P處建一倉(cāng)庫(kù)，若∠APB=120°，則CP的最小值為( )
A. 6km
B. 8km
C. 4 3km
D. 6 2km
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.給定一組數(shù)5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，則( )
A. 平均數(shù)為3B. 標(biāo)準(zhǔn)差為85C. 眾數(shù)為2D. 85%分位數(shù)為5
10.有6個(gè)相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.用x表示第一次取到的小球的標(biāo)號(hào)，用y表示第二次取到的小球的標(biāo)號(hào)，記事件A：x+y為偶數(shù)，B：xy為偶數(shù)，C：x>2，則( )
A. P(B)=34B. A與B相互獨(dú)立C. A與C相互獨(dú)立D. B與C相互獨(dú)立
11.如圖，點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則( )
A. 當(dāng)P在平面BCC1B1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐P?AA1D1D的體積不變
B. 當(dāng)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，D1P與A1C1所成角的取值范圍是[π3,π2]
C. 使直線AP與平面ABCD所成的角為45°的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為π+4 2
D. 若F是A1B1的中點(diǎn)，當(dāng)P在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，且滿足PF//平面B1CD1時(shí)，PF長(zhǎng)度的最小值是 5
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知向量a=(1,1)，b=(?1,2)，則a在b方向上的投影向量坐標(biāo)是____．
13.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，AD=4，E為PC的中點(diǎn)，則異面直線PD與BE所成角的余弦值為_(kāi)_____．
14.已知向量a,b均為單位向量，且a⊥b，向量c滿足|c|= 3，則(c?a)?(c?b)的最大值為_(kāi)_____．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題13分)
如圖，四面體ABCD，E，F(xiàn)，G，H，K，M分別為棱AB，BC，CD，DA，BD，AC的中點(diǎn)．
(1)設(shè)AB=a，AC=b，AD=c，用向量a，b，c分別表示EG、FH、KM；
(2)若|EG|=|FH|=|KM|，求證AB⊥CD，AC⊥BD，AD⊥BC．
16.(本小題15分)
在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E為線段PB的中點(diǎn)，連接AE．
(1)證明：AE⊥PC；
(2)連接DE，求DE與底面ABCD所成角的正切值；
(3)求二面角E?CD?A的平面角的正切值．
17.(本小題15分)
為了估計(jì)一批產(chǎn)品的質(zhì)量狀況，現(xiàn)對(duì)100個(gè)產(chǎn)品的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合評(píng)分(滿分100分)，并制成如圖所示的頻率分布直方圖.記綜合評(píng)分為80分及以上的產(chǎn)品為一等品．
(1)求圖中a的值，并求綜合評(píng)分的平均數(shù)；
(2)用樣本估計(jì)總體，以頻率作為概率，按分層隨機(jī)抽樣的思想，先在該條生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取5個(gè)產(chǎn)品，再?gòu)倪@5個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2個(gè)產(chǎn)品記錄有關(guān)數(shù)據(jù)，求這2個(gè)產(chǎn)品中最多有1個(gè)一等品的概率；
(3)已知落在[50,60)的平均綜合評(píng)分是54，方差是3，落在[60,70)的平均綜合評(píng)分為63，方差是3，求落在[50,70)的總平均綜合評(píng)分z?和總方差s2．
18.(本小題17分)
設(shè)△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b(2csA+sin2C)=csinBsinC+b．
(1)求A的值；
(2)設(shè)c= 3，△ABC為銳角三角形，D是邊AC的中點(diǎn)，求DB?AC的取值范圍．
19.(本小題17分)
由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體，圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面，兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn).對(duì)于凸多面體，有著名的歐拉公式：n?e+f=2，其中n為頂點(diǎn)數(shù)，e為棱數(shù)，f為面數(shù)．
我們可以通過(guò)歐拉公式計(jì)算立體圖形的頂點(diǎn)、棱、面之間的一些數(shù)量關(guān)系.例如，每個(gè)面都是四邊形的凸六面體，我們可以確定它的頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù).一方面，每個(gè)面有4條邊，六個(gè)面相加共24條邊；另一方面，每條棱出現(xiàn)在兩個(gè)相鄰的面中，因此每條棱恰好被計(jì)算了兩次，即共有12條棱；再根據(jù)歐拉公式，e=12，f=6，可以得到頂點(diǎn)數(shù)n=8．
(1)已知足球是凸三十二面體，每個(gè)面均為正五邊形或者正六邊形，每個(gè)頂點(diǎn)與三條棱相鄰，試確定足球的棱數(shù)；
(2)證明：n個(gè)頂點(diǎn)的凸多面體，至多有3n?6條棱；
(3)已知正多面體的各個(gè)表面均為全等的正多邊形，且與每個(gè)頂點(diǎn)相鄰的棱數(shù)均相同.試?yán)脷W拉公式，討論正多面體棱數(shù)的所有可能值．
參考答案
1.A
2.D
3.D
4.D
5.D
6.C
7.C
8.B
9.AD
10.ACD
11.ABC
12.(?15,25)
13. 3010
14.3+ 6
15.解：(1)由題意四面體ABCD，E，F(xiàn)，G，H，K，M分別為棱AB，BC，CD，DA，BD，AC的中點(diǎn)．
設(shè)AB=a，AC=b，AD=c，
EG=EA+AG=?12AB+12(AC+AD)=?12a+12b+12c，
FH=FA+AH=?12(AB+AC)+12AD=?12a?12b+12c，
KM=KA+AM=?12(AB+AD)+12AC=?12a+12b?12c．
(2)因?yàn)閨EG|=|FH|=|KM|，所以|EG|=|FH|=|KM|，
故|EG|2=|FH|2=|KM|2即(?12a+12b+12c)2=(?12a?12b+12c)2=(?12a+12b?12c)2，
故(?a+b+c)2=(?a?b+c)2=(?a+b?c)2，
得a?b=a?c=b?c，
故a?b?a?c=a?(b?c)=0，a?c?b?c=c?(a?b)=0，a?b?b?c=b?(a?c)=0，
即AB?DC=0，AC?DB=0，AD?CB=0，
故AB⊥CD，AC⊥BD，AD⊥BC．
16.解：(1)證明：∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD
∴PA⊥BC．
∵底面ABCD為正方形，∴BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB．
∵AE?平面PAB，∴BC⊥AE．
∵E為PB的中點(diǎn)，PA=AB，∴AE⊥PB．
又∵BC∩PB=B，∴AE⊥平面PBC．
因?yàn)镻C?平面PBC，∴AE⊥PC．
(2)解：作EF⊥AB于點(diǎn)F，
則F是AB的中點(diǎn)，EF/?/PA，且EF=12PA，EF⊥平面ABCD．
連接DF，則∠EDF是DE與底面ABCD所成角．
設(shè)PA=AB=a，在Rt△EFD中，EF=12a，F(xiàn)D= 52a，
∴DE與底面ABCD所成角的正切值為：
tan∠EDF=EFFD= 55．
(3)解：作FG⊥CD，垂足為G，則G為CD的中點(diǎn)，
連接EG，則CD⊥EG，所以∠EGF為所求二面角的平面角．
在Rt△EFG中，EF=12a，F(xiàn)G=a，∴tan∠EGF=EFFG=12，
∴二面角E?CD?A的平面角的正切值為12．
17.解：(1)由頻率分布直方圖可得：(0.005+0.010+0.025+a+0.020)×10=1，
解得a=0.040，
則綜合評(píng)分的平均數(shù)為x?=10×(55×0.005+65×0.010+75×0.025+85×0.040+95×0.020)=81；
(2)由題意，抽取5個(gè)產(chǎn)品，其中一等品有3個(gè)，非一等品有2個(gè)，
一等品記為a、b、c，非一等品記為D、E，
從這5個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2個(gè)，試驗(yàn)的樣本空間Ω={ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE、DE}，共10個(gè)樣本點(diǎn)，
記事件A=“抽取的這2個(gè)產(chǎn)品中最多有1個(gè)一等品”，則A={aD、aE、bD、bE、cD、cE、DE}，共7個(gè)樣本點(diǎn)，
所以所求的概率為P=710；
(3)z?=13×54+23×63=60，
s2=13[3+(54?60)2]+23[3+(63?60)2]=21．
18.解：(1)因?yàn)閎(2csA+sin2C)=csinBsinC+b，
所以利用正弦定理可得sinB(2csA+sin2C)=sinCsinBsinC+sinB，
又B為三角形內(nèi)角，sinB>0，
所以2csA+sin2C=sinCsinC+1，可得csA=12，
因?yàn)锳∈(0,π)，
所以A=π3；
(2)c= 3，△ABC為銳角三角形，A=π3；
可知AC∈( 32,2 3)，即b∈( 32,2 3).
DB=12CA+AB，
DB?AC=(12CA+AB)?AC=?12AC2+|AB|?|AC|csπ3=?12AC2+ 32|AC|=?12b2+ 32b，
即f(b)=?12b2+ 32b，
二次函數(shù)的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為b= 32，DB?AC的取值范圍(f(2 3),f( 32))，
即(?3,38).
19.解：(1)證明：設(shè)足球有m個(gè)正五邊形，則有32?m個(gè)正六邊形，
足球的頂點(diǎn)n=5m+6(32?m)3，棱數(shù)e=5m+6(32?m)2，
由歐拉公式得5m+6(32?m)3?5m+6(32?m)22+32=2，
解得m=12，即此足球中有12個(gè)面為正五邊形，
所以此足球的棱數(shù)e=5m+6(32?m)2=90．
(2)由n個(gè)頂點(diǎn)的凸多面體，其面數(shù)盡可能多，那么相當(dāng)于每一個(gè)面盡可能均為三角形，
當(dāng)棱數(shù)最多時(shí)，該凸多面體每一個(gè)面均為三角形，此時(shí)e=3f2，即f=23e，
又n?e+f=2，即n?e+23e=2，解得e=3n?6，
故n個(gè)頂點(diǎn)的凸多面體，至多有3n?6條棱．
(3)設(shè)正多面體每個(gè)頂點(diǎn)有p條棱，每個(gè)面都是正q邊形，
則此多面體棱數(shù)e=qf2=pn2,p,q≥3，即f=pnq，
由歐拉公式n?e+f=2，得n=4q2q+2p?qp，
所以2q+2p?qp>0，即1q+1p>12，即1p>12?1q≥12?13=16，
所以p

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