1.直線x? 3y+1=0的傾斜角為( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π3
2.圓x2+y2+10x+10y=0與圓(x?3)2+(y?3)2=18的位置關(guān)系為( )
A. 外離B. 外切C. 相交D. 內(nèi)切
3.已知點A(2,3)與點B(?1,4)關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程為( )
A. 3x?y+2=0B. x+3y+2=0C. x+3y?2=0D. 3x?y?2=0
4.設(shè)a為實數(shù)，若直線ax?4y+3=0與x?2y+1=0平行，則它們之間的距離為( )
A. 510B. 55C. 2 55D. 3 510
5.已知橢圓的兩個焦點分別為(0,3)，(0,?3)，點(74,?3)在該橢圓上，則該橢圓的離心率為( )
A. 12B. 23C. 34D. 45
6.橢圓C以雙曲線x216?y29=1的兩個焦點為長軸的端點，以雙曲線的頂點為焦點，則橢圓C的方程為( )
A. x216+y29=1B. x225+y216=1C. x225+y29=1D. x216+y27=1
7.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的弦AB，其中點A在第一象限，若AF=4BF，則直線AB 的斜率為( )
A. 2B. 2 33C. 23D. 43
8.已知橢圓x24+y23=1的上頂點為A，過橢圓左焦點F且斜率為 33的直線交橢圓于B，C兩點，則ΔABC的周長為( )
A. 10B. 8C. 6 3D. 4+2 3
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.設(shè)m為實數(shù)，直線l:x+my?2m?1=0，點M(2,3)，N(4,?5)，則下列說法正確的有( )
A. 直線l過定點(1,2)
B. 若點M，N到直線l的距離相等，則m=23
C. 直線l與x軸一定相交
D. 若直線l不過第二象限，則?12≤m?1
B. 若m=±12，則圓和兩坐標(biāo)軸均相切
C. 若圓關(guān)于直線2x?y+5=0對稱，則m=1
D. 無論m取任何實數(shù)，總存在一條定直線與圓相交
11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，直線AO，BO分別交拋物線準(zhǔn)線于C，D兩點，則下列說法正確的有( )
A. BC//x軸B. CF⊥DF
C. 以AB為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線恒相交D. ΔOAB面積的最小值為12p2
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.設(shè)a為實數(shù)，直線l1:ax+3y?2=0，l2:x+(a?2)y+2=0，若l1⊥l2，則a的值為____________．
13.圓x2+y2=r2上有且只有2個點到直線x? 3y+2=0的距離等于1，則半徑r的取值范圍為________．
14.如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射關(guān)線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點.設(shè)a>0，若雙曲線E:x2a2?y28=1的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，從F2發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點反射后，分別經(jīng)過點C，D，cs∠BAC=?35，AB⊥BD，則a的值為_____________．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
已知ΔABC的頂點B(3,1)，直線AC的方程為x?y+1=0，BC邊上的中線AM所在的直線方程為2x?3y+1=0．
(1)求頂點A，C的坐標(biāo)；
(2)求ΔABC的面積．
16.(本小題12分)
設(shè)a為實數(shù)，圓M的方程為x2+y2+2x?6y+a=0．
(1)若圓x2+y2=9和圓M的公共弦長為 26，求a的值；
(2)若過點(4,?1)的圓N與圓M相切，切點為(1,2)，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程．
17.(本小題12分)
已知動點P(x,y)到點F(1,0)的距離比到直線x+3=0的距離小2，過P作圓A:x2+(y?4)2=1的一條切線，Q為切點，過P作直線l:x+1=0的垂線，垂足為B．
(1)求點P的軌跡方程；
(2)當(dāng)P，A，B三點共線時，求線段PQ的長；
(3)判斷滿足PA=PB的點P有幾個，并說明理由．
18.(本小題12分)
已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點為E，實軸長為4，過雙曲線C的左焦點F作直線l，當(dāng)直線l與x軸垂直時，直線l與雙曲線C的兩個交點分別為M，N，此時ΔMNE為等腰直角三角形．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)當(dāng)直線l與雙曲線C的漸近線平行時，求直線l與雙曲線C的交點坐標(biāo)；
(3)當(dāng)直線l與雙曲線C的左支交于A，B兩點時，直線AE，BE分別交直線x+1=0于P，Q兩點，在x軸上是否存在定點D，使得點D始終在以線段PQ為直徑的圓上？若存在，求出D點坐標(biāo)，否則，請說明理由．
19.(本小題12分)
已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點D(1, 32)，離心率為 32，左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，右頂點為B．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點D的直線m與橢圓C的另外一個交點為E，當(dāng)ΔDEB的面積最大時，求直線m的方程；
(3)若點M，N是直線l上不同的兩點，則向量MN以及與它平行的非零向量都稱為直線l的方向向量，當(dāng)直線l′⊥l時，直線l′的方向向量稱為直線l的法向量.設(shè)k，?為實數(shù)，直線l:y=kx+?的一個法向量為t，H為直線l上任一點，點T為坐標(biāo)平面內(nèi)的定點，我們把t?HT|t|稱為點T在直線l上的投影數(shù)量.當(dāng)l與橢圓C相切時，點F1，F(xiàn)2在直線l上的投影數(shù)量的乘積是否為定值？若是，求出這個定值，若不是，說明理由．
參考答案
1.A
2.B
3.A
4.A
5.C
6.C
7.D
8.B
9.AC
10.ACD
11.ABD
12.32
13.(0,2)
14.3
15.解：(1)直線AC和BC邊上中線均過A點，
聯(lián)立方程 x?y+1=02x?3y+1=0 解得 x=?2y=?1 即 A(?2,?1)，
設(shè) C(m,n) ，代入AC方程可得 m?n+1=0 ①，
B,C 中點 M(m+32,n+12)，
M在BC邊的中線上，所以 m+3?3×n+12+1=0 ②，
聯(lián)立①②解得 m=2,n=3 ，
所以C點坐標(biāo)為 C(2,3)；
(2)由(1)知A，C坐標(biāo)分別為A(?2,?1)，C(2,3)，
|AC|= (?2?2)2+(?1?3)2=4 2，
點 B 到直線 AC 的距離 d=3?1+1 12+(?1)2=3 2=3 22，
所以 ΔABC 的面積為 12×4 2×3 22=6．

16.解：(1)由圓 x2+y2+2x?6y+a=0 與圓 x2+y2=9 兩方程相減得
兩圓的公共弦所在直線方程為： 2x6ya90，
因為兩圓的公共弦長為 26，
所以圓 x2+y2=9 的圓心到直線的距離為 d 32( 262)2 102，
即 da9 40 102，
所以 a=1 或 a=?19；
(2)因為圓 N 與圓 M 相切于點 (1,2)，
所以點 (1,2) 在圓 M 上所以 14212a0 即 a5，
所以圓 M ： (x1)2(y3)25 即圓心 M (1,3)，
所以圓心 M 與切點所在直線方程為： x2y50 ①
切點 (1,2) 與點 (4,1) 兩點連線的中垂線所在直線方程為： xy20 ②
聯(lián)立①②解得 x=3y=1 即圓 N 的圓心坐標(biāo)為 (3,1)，
所以圓 N 的半徑： r (31)2(12)2 5
所以圓 N 的標(biāo)準(zhǔn)方程為： (x3)2(y1)25

17.(1)由題意知：點 P(x,y) 到點 F(1,0) 的距離等于點 P(x,y) 到直線 x1 的距離．
所以 (x1)2y2x1 即： y24x，
所以點 P 的軌跡方程： y24x .(由拋物線定義也可得)
(2)因為 P,A,B 三點共線，點 A(0,4) ， PB 垂直于直線 x=?1，
所以點 P 的縱坐標(biāo)為4，
又因為點 P 在拋物線 y24x 上，
所以點 P 坐標(biāo)為 (4,4) ．
所以 PA=4，
所以在直角三角形 PQA 中， PQ PA2r2 4212 15 ．
(3)滿足條件的點 P 有2個．
因為 PAPB ， PBPF，
所以 PAPF，
所以點 P 在線段 AF 的中垂線上，
線段 AF 的中垂線方程為： x?4y+152=0 ．
聯(lián)立 y2=4xx?4y+152=0 消去 x 得 y216y300 ．
方程 Δ=(?16)2?4×30=136>0 ，即方程有兩個不等實數(shù)根，
所以滿足條件的點 P 有2個．

18.解：(1)由題意得 2a=4a+c=b2ac2=a2+b2 解得 a=2b=2 3 ．
所以雙曲線 C 的方程為： x24?y212=1 ．
(2)因為雙曲線 C 的漸近線方程為： y=± 3x，
當(dāng)直線 l 與 y= 3x 平行時，直線 l 的方程為： y= 3(x+4)，
聯(lián)立 x24?y212=1y= 3(x+4) ，解得 x=?52y=3 32 ．
當(dāng)直線 l 與 y=? 3x 平行時，直線 l 的方程為： y=? 3(x+4)，
聯(lián)立 x24?y212=1y=? 3(x+4) ，解得 x=?52y=?3 32,
所以直線 l 與雙曲線 C 的交點坐標(biāo)為 (?52,3 32) 或 (?52,?3 32) ．
(3)當(dāng) AB 不垂直 x 軸時，設(shè) AB 的方程為 x=my?4，
A(x1,y1) ， B(x2,y2) ( x1≠?2,x2≠?2 )
直線 AE 的方程為： y=y1x1?2(x?2) ，當(dāng) x=?1 時， y=?3y1x1?2，
即P點坐標(biāo)為 (?1,?3y1x1?2)，
直線 BE 的方程為： y=y2x2?2(x?2)，當(dāng) x=?1 時， y=?3y2x2?2，
即 Q 點坐標(biāo)為 (?1,?3y2x2?2) ．
所以以 PQ 為直徑的圓方程為： (x+1)2+(y+3y1x1?2)(y+3y2x2?2)=0，
當(dāng) y=0 時 (x+1)2+9y1y2(x1?2)(x2?2)=0 ．
聯(lián)立 x24?y212=1x=my?4 消去 x 得 (3m2?1)y2?24my+36=0，
所以 y1+y2=24m3m2?1 ， y1y2=363m2?1 ．
(x1?2)(x2?2)=(my1?6)(my2?6)=m2y1y2?6m(y1+y2)+36= ?363m2?1，
所以 (x+1)2+9y1y2(x1?2)(x2?2)=(x+1)2?9=0，
所以 x=2 或 x=?4 ．
易知，當(dāng)直線 AB 垂直 x 軸時也滿足，
所以 x 軸上存在定點 D(2,0) ， D(?4,0) 始終在以 PQ 為直徑的圓上．

19.解：(1)由題意得
1a2+34b2=1e=ca= 32a2=b2+c2 解得 a=2b=1 ．
所以橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為： x24+y2=1
(2) kBD= 32?01?2=? 32 所以直線 BD 的方程為： y=? 32x+ 3
所以與直線 BD 平行的直線方程可設(shè)為： y=? 32x+n
聯(lián)立 x24+y2=1y=? 32x+n 消去 y 得 x2? 3nx+n2?1=0 ，方程的 Δ=4?n2
當(dāng) Δ=4?n2=0 即 n=±2 時，直線 y=? 32x+n 與橢圓相切．
因為直線 y=? 32x+2 到直線 BD 的距離小于直線 y=? 32x?2 到直線 BD 的距離
所以 n=?2 時，該直線與橢圓相切于點 E ，此時點 E 到直線 BD 的距離最大
即△ DEB 的面積最大
此時點 E 的坐標(biāo)為 (? 3,?12) ．
所以直線 m 的方程為： x?2y+ 3?1=0
(3)由(1)知 F1(? 3,0),F2( 3,0)
取直線 l 上不同的兩個點 P(x1,y1) Q(x2,y2)
則直線 l 的一個方向向量為 PQ=(x2?x1,y2?y1)
對于直線 l:y=kx+? 則 y1=kx1+?y2=kx2+?
所以 k(x2?x1)?(y2?y1)=0 即向量 (x2?x1,y2?y1) 與向量 (k,?1) 垂直
所以直線 l 的一個法向量 t=(k,?1)
因為 H 為 l 上任一點
所以可以取點 H 的坐標(biāo)為 (x0,kx0+?)
所以 HF1=(? 3?x0,?kx0??) ， HF2=( 3?x0,?kx0??)
所以 t?HF1t?t?HF2t=(?? 3k)(?+ 3k)k2+1=?2?3k2k2+1
聯(lián)立 x24+y2=1y=kx+? 消去 y 得 (k2+14)x2+2k?x+?2?1=0
因為直線 l 與橢圓相切
所以方程的 Δ=4k2+1??2=0 即 ?2=4k2+1
所以 t?HF1t?t?HF2t=?2?3k2k2+1=1
所以點 F1 與 F2 在 l 上的投影數(shù)量之積是定值1．

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