（滿分150分，考試時間120分鐘）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 直線的傾斜角為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出斜率即可求解.
由，可知直線斜率為，
所以，
所以，
故選：A
2. 圓與圓的位置關(guān)系為（）
A. 外離B. 外切C. 相交D. 內(nèi)切
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，求出兩圓的圓心距，再結(jié)合圓與圓位置關(guān)系的判斷方法，即可求解.
因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
，
所以兩圓外切.
故選：B.
3. 已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則直線的方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)對稱關(guān)系得出直線斜率及直線所過的點(diǎn)即可得解.
因?yàn)?，所以?br>又的中點(diǎn)在直線l上，
所以直線l的方程為，即，
故選：A
4. 設(shè)為實(shí)數(shù)，若直線與平行，則它們之間的距離為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線平行的充要條件求出，再根據(jù)兩平行間的距離公式求解.
由題意，，解得，
所以直線，即與直線間的距離為.
故選：A.
5. 已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在該橢圓上，則該橢圓的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的定義求出，再由焦點(diǎn)坐標(biāo)求出，求出離心率即可.
設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)為，，點(diǎn)，
則，，
，所以橢圓的離心率為.
故選：C.
6. 橢圓以雙曲線的兩個焦點(diǎn)為長軸的端點(diǎn)，以雙曲線的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，則橢圓的方程為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由雙曲線方程確定焦點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求解.
由
可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，頂點(diǎn)坐標(biāo)
所以橢圓長軸端點(diǎn)坐標(biāo)：，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以橢圓方程為：，
故選：C
7. 過拋物線的焦點(diǎn)的弦，其中點(diǎn)在第一象限，若，則直線的斜率為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)可得，設(shè)直線方程聯(lián)立拋物線，由根與系數(shù)關(guān)系得出，即而求出B點(diǎn)，根據(jù)斜率公式求解即可.
設(shè)，
由，可得，即
，
設(shè)直線方程為：，
，，
，
故選：D
8. 已知橢圓的上頂點(diǎn)為，過橢圓左焦點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，則的周長為（）
A. 10B. 8C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取橢圓的右焦點(diǎn)，易證直線是線段的垂直平分線，可得，，結(jié)合橢圓的定義求得答案.
由橢圓方程可得，，則，
如圖，取橢圓的右焦點(diǎn)，連接，
則，即為正三角形，
又直線的斜率為，則直線的傾斜角為，即，
所以直線是線段的垂直平分線，
所以，，
所以的周長為
.
故選：B.
二、選擇題：本題共3小題．每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 設(shè)為實(shí)數(shù)，直線：，點(diǎn)，，則下列說法正確的有（）
A. 直線過定點(diǎn)
B. 若點(diǎn)，到直線的距離相等，則
C. 直線與軸一定相交
D. 若直線不過第二象限，則
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn)的求法判斷A，由特殊情況直線與兩點(diǎn)連線平行判斷B，分析直線不能寫成的形式判斷C，取特例判斷D.
由直線：，可得，
當(dāng)，即時，方程恒成立，
即直線過定點(diǎn)，故A正確；
當(dāng)直線與平行（或重合）或直線過的中點(diǎn)時，點(diǎn)，到直線的距離相等，
由，可知時，直線為，與平行，符合題意，故B錯誤；
由直線：可知，直線傾斜角不可能為0，所以一定與x軸相交，故C正確；
直線不過第二象限，當(dāng)時，直線方程為，滿足題意，故D錯誤.
故選：AC
10. 設(shè)為實(shí)數(shù)，方程表示圓，則下列說法正確的有（）
A.
B. 若，則圓和兩坐標(biāo)軸均相切
C. 若圓關(guān)于直線對稱，則
D. 無論取任何實(shí)數(shù)，總存在一條定直線與圓相交
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)二次方程表示圓的條件判斷A，假設(shè)與軸相切求出判斷B，由直線過圓心判斷C，根據(jù)圓心在直線上判斷D.
當(dāng)方程表示圓時，，解得，故A正確；
若圓與軸相切，令，可得，由
解得，故B錯誤；
若圓關(guān)于直線對稱，則直線過圓心，由可得，
圓心代入直線方程，可得，且此時滿足，故C正確；
由C知，圓心為，即圓心在直線上，所以不論m取何值，都過圓心，與圓相交，故D正確.
故選：ACD.
11. 在平面直角坐標(biāo)系中，過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，直線，分別交拋物線準(zhǔn)線于，兩點(diǎn)，則下列說法正確的有（）
A. 軸B.
C. 以為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線恒相交D. 面積的最小值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】設(shè)直線，聯(lián)立方程可得韋達(dá)定理.對于A：求點(diǎn)C的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理分析判斷；對于B：：求點(diǎn)D的坐標(biāo)，結(jié)合數(shù)量積分析判斷；對于C：根據(jù)拋物線的定義分析判斷；對于D：結(jié)合韋達(dá)定理就面積，即可判斷.
由題意可知：拋物線焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，
顯然直線的斜率可以不存在，但不為0，此時直線與拋物線必相交，
設(shè)直線，
聯(lián)立方程，消去x可得，
可得.
對于選項(xiàng)A：可知直線，
令，可得，即，
所以軸，故A正確；
對于選項(xiàng)B：同理可得：，軸，
則，可得，
所以，故B正確；
對于選項(xiàng)C：因?yàn)椋?br>由梯形中位線可知：以為直徑的圓的圓心到準(zhǔn)線的距離為，
即圓心到準(zhǔn)線的距離等于半徑，所以以為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線恒相切，故C錯誤；
對于選項(xiàng)D：因?yàn)椋?br>可得面積，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以面積的最小值為.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與圓錐曲線有關(guān)的最值問題的兩種解法
（1）數(shù)形結(jié)合法：根據(jù)待求值的幾何意義，充分利用平面圖形的幾何性質(zhì)求解．
（2）構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量，構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其最值，常用基本不等式或?qū)?shù)法求最值（注意：有時需先換元后再求最值）.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 設(shè)為實(shí)數(shù)，直線：，：，若，則的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】當(dāng)兩條直線垂直時，若直線與直線垂直，則滿足.我們可以根據(jù)這個定理來求解的值.
對于直線和，根據(jù)兩直線垂直的定理，則可得方程.
對進(jìn)行求解.
.
故答案為：.
13. 圓上有且只有2個點(diǎn)到直線的距離等于1，則半徑的取值范圍為______．
【答案】
【解析】
【分析】計(jì)算圓心到直線的距離為1，根據(jù)條件得到，解得答案.
圓心的圓心為，半徑為，
圓心到直線的距離為，
因?yàn)閳A上只有兩個點(diǎn)到直線的距離等于1，
所以，即，解得.
故答案為：.
14. 如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射關(guān)線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)．設(shè)，若雙曲線：的左，右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的，兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)，，，，則的值為______．
【答案】3
【解析】
【分析】由雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義及勾股定理求解即可.
由，，則，，
設(shè)，，則，，
由雙曲線定義得，，
，解得，
所以，，
在直角三角形中，，
則，即，又，
，解得.
故答案為：3.
，
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知的頂點(diǎn)，直線的方程為，邊上的中線所在的直線方程為．
（1）求頂點(diǎn)，的坐標(biāo)；
（2）求的面積．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）聯(lián)立直線與方程，可得點(diǎn)，設(shè)，表示中點(diǎn)，根據(jù)在直線上，在直線上，可列方程，解方程即可；
（2）根據(jù)點(diǎn)與的坐標(biāo)可得，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離可得面積.
【小問1】
由已知，，
則，解得，即，
設(shè)，則中點(diǎn)，
又點(diǎn)直線上，點(diǎn)在直線上，
即，解得，即；
【小問2】
由（1）得，
點(diǎn)到直線的距離，
則.
16. 設(shè)為實(shí)數(shù)，圓的方程為．
（1）若圓和圓的公共弦長為，求的值；
（2）若過點(diǎn)的圓與圓相切，切點(diǎn)為，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】（1）1或
（2）
【解析】
【分析】（1）求出兩圓公共弦所在直線方程為，結(jié)合弦長求得；
（2）結(jié)合已知條件求出圓的方程，求出圓心和半徑，設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用切點(diǎn)以及兩圓圓心共線求出圓的圓心的橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后利用圓半徑相等即可求解.
【小問1】
由題知兩圓相交，
將圓與圓相減可得，
即兩圓公共弦所在直線方程，
圓心到直線的距離為，
所以，解得或，
所以實(shí)數(shù)的值為或.
【小問2】
將點(diǎn)代入圓，可得，
所以圓的方程為，即，
所以圓的圓心為，半徑為，
設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
因?yàn)閳A與圓相切于點(diǎn)，所以、、三點(diǎn)共線，
所以直線的方程為，即，
將點(diǎn)代入得①，又點(diǎn)在圓上，
則，即②，
由①②兩式解得，，，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
17. 已知動點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小，過作圓的一條切線，為切點(diǎn)，過作直線的垂線，垂足為．
（1）求點(diǎn)的軌跡方程；
（2）當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，求線段長；
（3）判斷滿足的點(diǎn)有幾個，并說明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）個，；理由見解析
【解析】
【分析】（1）分析可知，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的方程，即可得出點(diǎn)的軌跡方程；
（2）當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出，再利用勾股定理可求得PQ的值；
（3）由題意可得出，由兩點(diǎn)間的距離公式化簡得出的中垂線方程，判斷該直線與拋物線的位置關(guān)系，即可得出結(jié)論.
【小問1】
由題意可知，點(diǎn)到點(diǎn)F1,0的距離等于點(diǎn)到直線的距離，
所以，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的方程，
設(shè)其方程為，則，可得，所以，點(diǎn)的軌跡方程為.
【小問2】
由題意可知，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，因?yàn)辄c(diǎn)，直線的方程為，
聯(lián)立，解得，此時，點(diǎn)，則，
因?yàn)?，由勾股定理可?
【小問3】
因?yàn)?，由題意可得，
化簡可得，
聯(lián)立，可得，，
故滿足條件的點(diǎn)有兩個.
18. 已知雙曲線：的右頂點(diǎn)為，實(shí)軸長為4，過雙曲線的左焦點(diǎn)作直線，當(dāng)直線與軸垂直時，直線與雙曲線的兩個交點(diǎn)分別為，，此時為等腰直角三角形．
（1）求雙曲線的方程；
（2）當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時，求直線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）當(dāng)直線與雙曲線的左支交于，兩點(diǎn)時，直線，分別交直線于，兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得點(diǎn)始終在以線段為直徑的圓上？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，否則，請說明理由．
【答案】（1）
（2）或.
（3）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)關(guān)系得到方程組，解出即可；
（2）寫出漸近線方程，再利用平行關(guān)系得到直線的方程，聯(lián)立雙曲線方程解出即可；
（3）設(shè)設(shè)的方程為，聯(lián)立雙曲線方程得到韋達(dá)定理式，再寫出相關(guān)直線方程，得到相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，寫出兩點(diǎn)直徑式，代入韋達(dá)定理式即可.
【小問1】
由題意得，解得，
所以雙曲線的方程為：.
【小問2】
漸近線方程為，
當(dāng)直線與平行時，直線的方程為：，
聯(lián)立解得
當(dāng)直線與平行時，直線的方程為：，
聯(lián)立解得，
所以直線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為或.
【小問3】
因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為：，
顯然當(dāng)直線與軸重合時，不合題意，故設(shè)的方程為，，，
直線的方程為：，
當(dāng)時，，即P點(diǎn)坐標(biāo)為，
直線的方程為：，
當(dāng)時，，即點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以以為直徑的圓方程為：，
當(dāng)時，
聯(lián)立，消去得，其中，
Δ=-24m2-4(3m2-1)×36>0，且，
所以，.
，
所以，
所以或.
所以軸上存在定點(diǎn)或始終在以為直徑的圓上.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵是采用設(shè)線法并與雙曲線方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，寫出兩點(diǎn)直徑式方程，并代入韋達(dá)定理式即可.
19. 已知橢圓過點(diǎn)，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、，右頂點(diǎn)為．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)的直線與橢圓的另外一個交點(diǎn)為，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求直線的方程；
（3）若點(diǎn)、是直線上不同的兩點(diǎn)，則向量以及與它平行的非零向量都稱為直線的方向向量，當(dāng)直線時，直線的方向向量稱為直線的法向量．設(shè)、為實(shí)數(shù)，直線的一個法向量為，為直線上任一點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)的定點(diǎn)，我們把稱為點(diǎn)在直線上的投影數(shù)量．當(dāng)與橢圓相切時，點(diǎn)、在直線上的投影數(shù)量的乘積是否為定值？若是，求出這個定值，若不是，說明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）是定值，且定值為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出橢圓的方程；
（2）求出直線的方程，設(shè)點(diǎn)，其中，利用點(diǎn)到直線的距離公式，輔助角公式可求得點(diǎn)到直線距離的最大值及其對應(yīng)的的值，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得直線的方程；
（3）設(shè)直線與橢圓相切于點(diǎn)，則，先證明橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，可得出直線的一個法向量，再利用投影的概念可求得點(diǎn)、在直線上的投影數(shù)量的乘積，即可得出結(jié)論.
【小問1】
由題意可得，解得，
因此，橢圓的方程為.
【小問2】
易知點(diǎn)，直線的斜率為，
則直線方程為，即，
若的面積最大，則點(diǎn)到直線的距離取最大值，
設(shè)點(diǎn)，其中，
則點(diǎn)到直線的距離為，
因?yàn)椋瑒t，
故當(dāng)時，即當(dāng)時，取最大值，此時點(diǎn)，
所以，直線的斜率為，則直線的方程為，
故當(dāng)?shù)拿娣e最大時，直線的方程為.
【小問3】
若直線的方程為，則該直線的斜率為，該直線的一個方向向量為，
該直線的一個法向量為，
設(shè)直線與橢圓相切于點(diǎn)，則，
首先證明橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，
聯(lián)立可得，解得，
所以，橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，即，
所以，直線的一個法向量為，
，，
所以，點(diǎn)在直線上的投影為，
點(diǎn)在直線上的投影為，
所以，點(diǎn)、在直線上的投影數(shù)量的乘積為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．

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