一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，下列有關(guān)各項運動的圖案是中心對稱圖形的是（ ）
A.B.
C.D.
2.下列各點不在雙曲線上的是（ ）
A.B.C.D.
3.若關(guān)于x的方程是一元二次方程，則m的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
4.一元二次方程配方后可化為（ ）
A.B.C.D.
5.關(guān)于二次函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A.頂點坐標(biāo)為B.其圖象的對稱軸為直線
C.最小值為2D.當(dāng)時，y隨x的增大而增小
6.已知圓錐的底面半徑為3cm，母線長為5cm，則圓錐的側(cè)面積是（ ）
A.B.C.D.
7.若關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
8.2023年是中國共產(chǎn)主義成立的102周年，全國各地積極開展各類型專題展.據(jù)了解，某展覽中心6月份的參觀人數(shù)為100萬人次，8月份的參觀人數(shù)達(dá)到121萬人次.若參觀人數(shù)的月平均增長率為x，則下列方程正確的是（ ）
A.B.
C.D.
9.二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，可知方程的一個根為，則方程的另一個根為（ ）
A.B.C.D.
10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在第一象限，軸于點B，函數(shù)（）的圖象與線段AB交于點C，且.若的面積為24，則k的值為（ ）
A.6B.8C.12D.16
11.按一定規(guī)律排列的單項式：，，，，，，…，第n個單項式是（ ）
A.B.C.D.
12.如圖，點A，B，C在上，按以下步驟作圖：①以點B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交線段BA，BC于點D，E；②分別以點D，E為圓心，大于長為半徑畫弧，交于點F；③連接BF并延長，交于點G，連接AG，CG，OA，OG.若，則的度數(shù)為（ ）
A.44°B.46°C.88°D.92°
二、填空題：本題共4小題，每小題2分，共8分.
13.“小明投籃一次，投進籃筐”，這一事件是______事件．（填“隨機”或“必然”或“不可能”）
14.因式分解：______.
15.將拋物線先向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到的新拋物線的解析式是______.
16.如圖，I是的內(nèi)心，，則______.
三、解答題：本題共8小題，共56分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17.（本小題6分）解方程：.
18.（本小題6分）如圖，，，.求證：.
19.（本小題7分）如圖，在正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，的三個頂點都在格點網(wǎng)格線的交點）上，且點A的坐標(biāo)是，現(xiàn)將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到.
（1）請作出旋轉(zhuǎn)后的；（不要求寫作法）
（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，點A所經(jīng)過的路徑長是多少？
20.（本小題7分）
小明和小亮用如圖所示的轉(zhuǎn)盤進行游戲，三個扇形的圓心角均相等，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3.游戲規(guī)則如下：一人轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤，若兩次轉(zhuǎn)盤指針?biāo)傅臄?shù)字之積為偶數(shù)，則小明勝；若兩次轉(zhuǎn)盤指針?biāo)傅臄?shù)字之積為奇數(shù)，則小亮勝.
（1）用列表或畫樹狀圖的方法表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；
（2）你認(rèn)為這個游戲公平嗎？請說明理由.
21.（本小題7分）
已知一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點.
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）請結(jié)合圖象，直接寫出當(dāng)時，自變量x的取值范圍.
22.（本小題7分）
如圖，AB為的直徑，點C在上，點D在AB的延長線上，過點D作，交AC的延長線于點E，且.
（1）求證：CD是的切線；
（2）若，，求的半徑長.
23.（本小題8分）
某商店購進一批成本為每件30元的商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價為每件60元時，每天銷售量是40件，而銷售單價每下降2元，每天的銷售量就增加4件，且規(guī)定商品售價不低于成本價.設(shè)每件商品的售價為x元時，每天的銷售量為y件.
（1）請求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)售價定為多少元時，能使銷售該商品每天獲得的利潤（元）最大？最大利潤是多少元？
24.（本小題8分）
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別交于，兩點，與y軸交于點C.
（1）求拋物線的解析式；
（2）若M為線段BC下方拋物線上一動點，當(dāng)點M運動到某一位置時，的面積最大，求此時的面積和點M的坐標(biāo).
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：選項A、C、D都不能找到一個點，使這些圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形；
選項B能找到一個點，使這個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形；
故選：B.
一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．
本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
2.【答案】B
【解析】解：對于選項A，當(dāng)時，，
∴點在雙曲線上，
故選項A不符合題意；
對于選項B，當(dāng)時，，
∴點不在雙曲線上，
故選項B符合題意；
對于選項C，當(dāng)時，，
∴點在雙曲線上，
故選項C不符合題意；
對于選項D，當(dāng)時，，
∴點在雙曲線上，
故選項D不符合題意．
故選：B.
分別將四個選項中的點代入雙曲線之中，滿足表達(dá)式的點在該雙曲線上，否則就不在該雙曲線上．
此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)，解決問題的關(guān)鍵是理解滿足反比例函數(shù)表達(dá)式的點都在反比例函數(shù)的圖象上，反比例函數(shù)圖象上的點都滿足反比例函數(shù)的表達(dá)式．
3.【答案】A
【解析】【分析】
根據(jù)一元二次方程的定義解答即可．
本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：只含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫一元二次方程．
【解答】
解：∵關(guān)于x的方程是一元二次方程，
∴，
解得：
故選：A.
4.【答案】D
【解析】解：，
，
，
，
故選：D.
移項，配方，即可得出選項．
本題考查了解一元二次方程，能正確配方是解此題的關(guān)鍵．
5.【答案】A
【解析】解：A.由函數(shù)解析式可知其頂點坐標(biāo)為，原說法正確，選項符合題意；
B.由函數(shù)解析式可知其圖象的對稱軸為直線，原說法錯誤，選項不符合題意；
C.∵，∴拋物線開口向下，∴函數(shù)有最大值為2，原說法錯誤，選項不符合題意；
D.∵其圖象的對稱軸為直線，∴當(dāng)時，y隨x的增大而增大，當(dāng)時，y隨x的增大而增小，原說法錯誤，選項不符合題意．
故選：A.
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對各選項進行逐一分析即可．
本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟知以上知識是解題的關(guān)鍵．
6.【答案】A
【解析】解：圓錐的側(cè)面積
故選：A.
圓錐的側(cè)面積＝底面周長×母線長÷2，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．
本題考查了圓錐的計算，解題的關(guān)鍵是弄清圓錐的側(cè)面積的計算方法，特別是圓錐的底面周長等于圓錐的側(cè)面扇形的弧長．
7.【答案】C
【解析】解：∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，，，，
∴，
解得
故選：C.
若一元二次方程有兩不等根，則根的判別式，建立關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍．
本題考查了根的判別式，關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的情況與根的判別式的關(guān)系：（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）方程沒有實數(shù)根．
8.【答案】B
【解析】解：根據(jù)題意得：
故選：B.
利用8月份的參觀人數(shù)＝6月份的參觀人數(shù)×（1＋參觀人數(shù)的月平均增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
9.【答案】A
【解析】解：∵拋物線的對稱軸為直線，拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)為，
∴拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為，
∴方程的根為，，
即方程的另一個根為.
故選：A.
利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為，從而可確定方程的另一個根．
本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)（是常數(shù)，）與x軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程；決定拋物線與x軸的交點個數(shù)．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
10.【答案】D
【解析】解：連接OC，
∵，
∴，
∵的面積為24，
∴的面積為8，
∴，
故選：D.
連接OC，，，的面積為24，的面積為8，根據(jù)k值的幾何意義求出k值即可．
本題考查了反比例函數(shù)k值的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上的點與坐標(biāo)軸圍成的長方形面積等于k的絕對值．
11.【答案】D
【解析】解：由題知，
單項式的系數(shù)依次增大倍，且第一個單項式的系數(shù)為，
所以第n個單項式的系數(shù)為：；
單項式的次數(shù)為連續(xù)的奇數(shù)，且第一個單項式的次數(shù)為3，
所以第n個單項式的次數(shù)為：；
所以第n個單項式為：
故選：D.
觀察所給單項式的系數(shù)和次數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
本題考查數(shù)字變化的規(guī)律，能根據(jù)所給單項式發(fā)現(xiàn)其系數(shù)及次數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
12.【答案】C
【解析】解：∵點A，B，C、G在上，
∴，
由作圖得：BG平分，
∴，
∴，
故選：C.
先根據(jù)“圓內(nèi)接四邊形的對角互補”求出，再根據(jù)圓周角與圓心角的關(guān)系求解．
本題考查了基本作圖，掌握常見的基本作圖及有關(guān)圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13.【答案】隨機
【解析】解：“小明投籃一次，投進籃筐”，這一事件是隨機事件，
故答案為：隨機．
根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．
本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
14.【答案】
【解析】解：原式.
故答案為：.
原式先提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．
15.【答案】
【解析】解：將拋物線先向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到的新拋物線的解析式是.
故答案為：.
根據(jù)函數(shù)圖象平移的法則解答即可．
本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的法則是解題的關(guān)鍵．
16.【答案】115
【解析】解：∵，
∴，
∵的內(nèi)心為I，
∴和CI分別平分和，
∴，，
∴
，
故答案為：115.
直接利用三角形內(nèi)心即角平分線的交點，外心是外接圓圓心，進而得出答案．
本題考查了圓周角定理，三角形的內(nèi)切圓和外接圓的應(yīng)用，注意：同弧或等弧所對圓周角等于它所對圓心角的一半，正確把握內(nèi)心、外心的定義是解題關(guān)鍵．
17.【答案】解：，
，
，
或，
解得：，.
【解析】移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可．
本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，解一元二次方程的方法有直接開平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
18.【答案】證明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴.
【解析】首先利用平行線的性質(zhì)得出，進而利用全等三角形的判定定理ASA，進而得出答案．
本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．
19.【答案】解：（1）如圖所示，即為所求；
（2）由勾股定理得，，
∴點A所經(jīng)過的路徑長為
【解析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)找出對應(yīng)點即可求解；
（2）先求出AC的長，再根據(jù)弧長公式求解即可．
本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換，弧長公式，熟記旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20.【答案】解：（1）根據(jù)題意，列表如下：
由表格可知，共有9種結(jié)果，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同；
（2）不公平．
理由：由表格可知，兩次轉(zhuǎn)盤指針?biāo)笖?shù)字之積為偶數(shù)的有5種，積為奇數(shù)的有4種，
則小明勝的概率是，小亮勝的概率是，
∵，
∴這個游戲不公平．
【解析】（1）列表得出所有等可能結(jié)果；
（2）結(jié)合表格，利用概率公式分別求出積為偶數(shù)和奇數(shù)的概率，繼而可得答案．
本題主要考查游戲的公平性，判斷游戲公平性需要先計算每個事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平．
21.【答案】解：（1）∵反比例函數(shù)經(jīng)過點，
∴，
∴反比例函數(shù)的解析式為.
∵點在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
∴點，
把點，代入中，
，
解得，
∴一次函數(shù)的解析式為；
（2）根據(jù)圖像及交點的坐標(biāo)，當(dāng)時，自變量x的取值范圍為：或.
【解析】（1）利用待定系數(shù)法求出兩個函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象及交點坐標(biāo)，可直接寫出時自變量的取值范圍．
本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．
22.【答案】（1）證明：如圖，連接OC，則，
∴，
∵，
∴，
∵，交AC的延長線于點E，
∴，
∴，
∴，
∴是的半徑，且，
∴是的切線．
（2）解：設(shè)的半徑長為r，則，
∵，，
∴，
∵，
∴
解得，
∴的半徑長為5.
【解析】（1）連接OC，則，，而，
所以，
則，即可證明CD是的切線；
（2）設(shè)的半徑長為r，則，，
由，得，求得，所以的半徑長為5.
此題重點考查等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的兩個銳角互余、切線的判定、勾股定理等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
23.【答案】解：（1）由題意得，，
∴與x之間的函數(shù)關(guān)系式為
（2）由題意得，
∵，
∴當(dāng)時，W的值最大，最大值為1250元．
答：當(dāng)售價定為55元時，銷售該商品每天獲得的利潤最大，最大利潤是1250元．
【解析】（1）依據(jù)題意，由每天銷售量是40件，而銷售單價每下降2元，每天的銷售量就增加4件，進而列式計算可以得解；
（2）依據(jù)題意，由每件的利潤銷量=總利潤，進而列式得，再由二次函數(shù)的性質(zhì)進行判斷可以得解．
本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關(guān)鍵．
24.【答案】解：（1）∵拋物線與x軸分別交于，兩點，
∴拋物線的解析式為：，
∴拋物線的解析式為；
（2）如圖，過點M作軸交BC于點N，連接MC，.
∵拋物線與y軸交于點C，∴點
設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為，將點，代入，
得，解得：，
∴直線BC的函數(shù)解析式為，
設(shè)點M的橫坐標(biāo)為（），
則點M的坐標(biāo)為，點N的坐標(biāo)為，
∴，
，
∴當(dāng)時，的面積最大，最大值為8.
把代入，得，∴點M的坐標(biāo)為.
故面積的最大值是8，此時點M的坐標(biāo)為.
【解析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解；
（2）根據(jù)三角形的面積公式及配方法求解．
本題考查了拋物線與x軸的交點，掌握待定系數(shù)法和三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．
1
2
3
1
1
2
3
2
2
4
6
3
3
6
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