1.第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，下列有關各項運動的圖案是中心對稱圖形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列各點不在雙曲線上的是( )
A. B. C. D.
3.若關于x的方程是一元二次方程，則m的取值范圍是( )
A. B. C. D.
4.一元二次方程配方后可化為( )
A. B. C. D.
5.關于二次函數(shù)，下列說法正確的是( )
A. 頂點坐標為B. 其圖象的對稱軸為直線
C. 最小值為2D. 當時，y隨x的增大而增小
6.已知圓錐的底面半徑為3cm，母線長為5cm，則圓錐的側面積是( )
A. B. C. D.
7.若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是( )
A. B. C. D.
8.2023年是中國共產(chǎn)主義成立的102周年，全國各地積極開展各類型專題展.據(jù)了解，某展覽中心6月份的參觀人數(shù)為100萬人次，8月份的參觀人數(shù)達到121萬人次.若參觀人數(shù)的月平均增長率為x，則下列方程正確的是( )
A. B.
C. D.
9.二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，可知方程的一個根為，則方程的另一個根為( )
A.
B.
C.
D.
10.如圖，在平面直角坐標系中，點A在第一象限，軸于點B，函數(shù)的圖象與線段AB交于點C，且若的面積為24，則k的值為( )
A. 6
B. 8
C. 12
D. 16
11.按一定規(guī)律排列的單項式：，，，，，，…，第n個單項式是( )
A. B. C. D.
12.如圖，點A，B，C在上，按以下步驟作圖：①以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交線段BA，BC于點D，E；②分別以點D，E為圓心，大于長為半徑畫弧，交于點F；③連接BF并延長，交于點G，連接AG，CG，OA，若，則的度數(shù)為( )
A. B. C. D.
二、填空題：本題共4小題，每小題2分，共8分。
13.“小明投籃一次，投進籃筐”，這一事件是______事件．填“隨機”或“必然”或“不可能”
14.因式分解：______.
15.將拋物線先向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到的新拋物線的解析式是______.
16.如圖，I是的內(nèi)心，，則______.
三、解答題：本題共8小題，共56分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.本小題6分
解方程：
18.本小題6分
如圖，，，求證：≌
19.本小題7分
如圖，在正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標系，的三個頂點都在格點網(wǎng)格線的交點上，且點A的坐標是，現(xiàn)將繞點C逆時針旋轉得到
請作出旋轉后的；不要求寫作法
在旋轉過程中，點A所經(jīng)過的路徑長是多少？
20.本小題7分
小明和小亮用如圖所示的轉盤進行游戲，三個扇形的圓心角均相等，分別標有數(shù)字1，2，游戲規(guī)則如下：一人轉動一次轉盤，若兩次轉盤指針所指的數(shù)字之積為偶數(shù)，則小明勝；若兩次轉盤指針所指的數(shù)字之積為奇數(shù)，則小亮勝.
用列表或畫樹狀圖的方法表示出所有可能出現(xiàn)的結果；
你認為這個游戲公平嗎？請說明理由.
21.本小題7分
已知一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點.
求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
請結合圖象，直接寫出當時，自變量x的取值范圍.
22.本小題7分
如圖，AB為的直徑，點C在上，點D在AB的延長線上，過點D作，交AC的延長線于點E，且
求證：CD是的切線；
若，，求的半徑長.
23.本小題8分
某商店購進一批成本為每件30元的商品，經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，當售價為每件60元時，每天銷售量是40件，而銷售單價每下降2元，每天的銷售量就增加4件，且規(guī)定商品售價不低于成本價.設每件商品的售價為x元時，每天的銷售量為y件.
請求出y與x之間的函數(shù)關系式；
當售價定為多少元時，能使銷售該商品每天獲得的利潤元最大？最大利潤是多少元？
24.本小題8分
如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸分別交于，兩點，與y軸交于點
求拋物線的解析式；
若M為線段BC下方拋物線上一動點，當點M運動到某一位置時，的面積最大，求此時的面積和點M的坐標.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：選項A、C、D都不能找到一個點，使這些圖形繞某一點旋轉與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形；
選項B能找到一個點，使這個圖形繞某一點旋轉與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形；
故選：
一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．
本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合．
2.【答案】B
【解析】解：對于選項A，當時，，
點在雙曲線上，
故選項A不符合題意；
對于選項B，當時，，
點不在雙曲線上，
故選項B符合題意；
對于選項C，當時，，
點在雙曲線上，
故選項C不符合題意；
對于選項D，當時，，
點在雙曲線上，
故選項D不符合題意．
故選：
分別將四個選項中的點代入雙曲線之中，滿足表達式的點在該雙曲線上，否則就不在該雙曲線上．
此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上的點的坐標，解決問題的關鍵是理解滿足反比例函數(shù)表達式的點都在反比例函數(shù)的圖象上，反比例函數(shù)圖象上的點都滿足反比例函數(shù)的表達式．
3.【答案】A
【解析】【分析】
根據(jù)一元二次方程的定義解答即可．
本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關鍵，注意：只含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫一元二次方程．
【解答】
解：關于x的方程是一元二次方程，
，
解得：
故選：
4.【答案】D
【解析】解：，
，
，
，
故選：
移項，配方，即可得出選項．
本題考查了解一元二次方程，能正確配方是解此題的關鍵．
5.【答案】A
【解析】解：A、由函數(shù)解析式可知其頂點坐標為，原說法正確，選項符合題意；
B、由函數(shù)解析式可知其圖象的對稱軸為直線，原說法錯誤，選項不符合題意；
C、，拋物線開口向下，函數(shù)有最大值為2，原說法錯誤，選項不符合題意；
D、其圖象的對稱軸為直線，當時，y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而增小，原說法錯誤，選項不符合題意．
故選：
根據(jù)二次函數(shù)的性質對各選項進行逐一分析即可．
本題考查的是二次函數(shù)的性質及二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟知以上知識是解題的關鍵．
6.【答案】A
【解析】解：圓錐的側面積
故選：
圓錐的側面積=底面周長母線長，把相應數(shù)值代入即可求解．
本題考查了圓錐的計算，解題的關鍵是弄清圓錐的側面積的計算方法，特別是圓錐的底面周長等于圓錐的側面扇形的弧長．
7.【答案】C
【解析】解：方程有兩個不相等的實數(shù)根，，，，
，
解得
故選：
若一元二次方程有兩不等根，則根的判別式，建立關于m的不等式，求出m的取值范圍．
本題考查了根的判別式，關鍵是掌握一元二次方程根的情況與根的判別式的關系：方程有兩個不相等的實數(shù)根；方程有兩個相等的實數(shù)根；方程沒有實數(shù)根．
8.【答案】B
【解析】解：根據(jù)題意得：
故選：
利用8月份的參觀人數(shù)月份的參觀人數(shù)參觀人數(shù)的月平均增長率，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．
本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
9.【答案】A
【解析】解：拋物線的對稱軸為直線，拋物線與x軸的一個交點坐標為，
拋物線與x軸的另一個交點坐標為，
方程的根為，，
即方程的另一個根為
故選：
利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點坐標為，從而可確定方程的另一個根．
本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)是常數(shù)，與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程；決定拋物線與x軸的交點個數(shù)．也考查了二次函數(shù)的性質．
10.【答案】D
【解析】解：連接OC，
，
，
的面積為24，
的面積為8，
，
故選：
連接OC，，，的面積為24，的面積為8，根據(jù)k值的幾何意義求出k值即可．
本題考查了反比例函數(shù)k值的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上的點與坐標軸圍成的長方形面積等于k的絕對值．
11.【答案】D
【解析】解：由題知，
單項式的系數(shù)依次增大倍，且第一個單項式的系數(shù)為，
所以第n個單項式的系數(shù)為：；
單項式的次數(shù)為連續(xù)的奇數(shù)，且第一個單項式的次數(shù)為3，
所以第n個單項式的次數(shù)為：；
所以第n個單項式為：
故選：
觀察所給單項式的系數(shù)和次數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
本題考查數(shù)字變化的規(guī)律，能根據(jù)所給單項式發(fā)現(xiàn)其系數(shù)及次數(shù)的變化規(guī)律是解題的關鍵．
12.【答案】C
【解析】解：點A，B，C、G在上，
，
由作圖得：BG平分，
，
，
故選：
先根據(jù)“圓內(nèi)接四邊形的對角互補”求出，再根據(jù)圓周角與圓心角的關系求解．
本題考查了基本作圖，掌握常見的基本作圖及有關圓的性質是解題的關鍵．
13.【答案】隨機
【解析】解：“小明投籃一次，投進籃筐”，這一事件是隨機事件，
故答案為：隨機．
根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．
本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
14.【答案】
【解析】解：原式
故答案為：
原式先提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．
15.【答案】
【解析】解：將拋物線先向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到的新拋物線的解析式是
故答案為：
根據(jù)函數(shù)圖象平移的法則解答即可．
本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的法則是解題的關鍵．
16.【答案】
【解析】解：，
，
的內(nèi)心為I，
和CI分別平分和，
，，
，
故答案為：
直接利用三角形內(nèi)心即角平分線的交點，外心是外接圓圓心，進而得出答案．
本題考查了圓周角定理，三角形的內(nèi)切圓和外接圓的應用，注意：同弧或等弧所對圓周角等于它所對圓心角的一半，正確把握內(nèi)心、外心的定義是解題關鍵．
17.【答案】解：，
，
，
或，
解得：，
【解析】移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可．
本題考查了解一元二次方程，能選擇適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關鍵，解一元二次方程的方法有直接開平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
18.【答案】證明：，
，
，
，
在和中，
，
≌
【解析】首先利用平行線的性質得出，進而利用全等三角形的判定定理ASA，進而得出答案．
本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．
19.【答案】解：如圖所示，即為所求；
由勾股定理得，，
點A所經(jīng)過的路徑長為
【解析】根據(jù)旋轉變換的性質找出對應點即可求解；
先求出AC的長，再根據(jù)弧長公式求解即可．
本題考查了作圖-旋轉變換，弧長公式，熟記旋轉變換的性質是解題的關鍵．
20.【答案】解：根據(jù)題意，列表如下：
由表格可知，共有9種結果，且每種結果出現(xiàn)的可能性相同；
不公平．
理由：由表格可知，兩次轉盤指針所指數(shù)字之積為偶數(shù)的有5種，積為奇數(shù)的有4種，
則小明勝的概率是，小亮勝的概率是，
，
這個游戲不公平．
【解析】列表得出所有等可能結果；
結合表格，利用概率公式分別求出積為偶數(shù)和奇數(shù)的概率，繼而可得答案．
本題主要考查游戲的公平性，判斷游戲公平性需要先計算每個事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平．
21.【答案】解：反比例函數(shù)經(jīng)過點，
，
反比例函數(shù)的解析式為
點在反比例函數(shù)的圖象上，
，
點，
把點，代入中，
，
解得，
一次函數(shù)的解析式為；
根據(jù)圖像及交點的坐標，當時，自變量x的取值范圍為：或
【解析】利用待定系數(shù)法求出兩個函數(shù)解析式即可；
根據(jù)函數(shù)圖象及交點坐標，可直接寫出時自變量的取值范圍．
本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解答本題的關鍵．
22.【答案】證明：如圖，連接OC，則，
，
，
，
，交AC的延長線于點E，
，
，
，
是的半徑，且，
是的切線．
解：設的半徑長為r，則，
，，
，
，
解得，
的半徑長為
【解析】連接OC，則，，而，所以，則，即可證明CD是的切線；
設的半徑長為r，則，，由，得 ，求得，所以的半徑長為
此題重點考查等腰三角形的性質、直角三角形的兩個銳角互余、切線的判定、勾股定理等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．
23.【答案】解：由題意得，，
與x之間的函數(shù)關系式為
由題意得，
，
當時，W的值最大，最大值為1250元．
答：當售價定為55元時，銷售該商品每天獲得的利潤最大，最大利潤是1250元．
【解析】依據(jù)題意，由每天銷售量是40件，而銷售單價每下降2元，每天的銷售量就增加4件，進而列式計算可以得解；
依據(jù)題意，由每件的利潤銷量=總利潤，進而列式得，再由二次函數(shù)的性質進行判斷可以得解．
本題主要考查了二次函數(shù)的應用，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關鍵．
24.【答案】解：拋物線與x軸分別交于，兩點，
拋物線的解析式為：，
拋物線的解析式為；
如圖，過點M作軸交BC于點N，連接MC，
拋物線與y軸交于點C，點
設直線BC的函數(shù)解析式為，將點，代入，
得，
解得：，
直線BC的函數(shù)解析式為，
設點M的橫坐標為，
則點M的坐標為，點N的坐標為，
，
，
當時，的面積最大，最大值為
把代入，得，點M的坐標為
故面積的最大值是8，此時點M的坐標為
1
2
3
1
1
2
3
2
2
4
6
3
3
6
9

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