一、選擇題
1．已知正方體的棱長為1,則直線與所成角的正弦值為( )
A.0B.C.D.
2．在空間直角坐標(biāo)系中,已知,若共面,則的值為( )
A.B.0C.1D.2
3．直線的傾斜角為( )
A.B.C.D.
4．圓和圓的公切線有( )
A.1條B.2條C.3條D.4條
5．已知x,且,則的最大值為( )
A.1B.C.D.5
6．若橢圓的離心率為,則( )
A.1B.4C.1或4D.以上都不對
7．已知,是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),過且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn),若是正三角形,則這個(gè)橢圓的離心率是( )
A.B.C.D.
8．曲線所圍成圖形的面積為( )
A.2B.C.4D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知x,y,且,則的值可能是( )
A.1B.2C.3D.4
10．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,已知,點(diǎn),點(diǎn),且P,O不重合,P,A不重合,則( )
A.若,則x,y,z滿足:
B.若,則x,y,z滿足:
C.若,則x,y,z滿足:
D.若,則x,y,z滿足:
11．現(xiàn)有圓錐頂點(diǎn)為P,底面所在平面為,母線PM與底面直徑MN的長度都是2.點(diǎn)A是PM的中點(diǎn),平面經(jīng)過點(diǎn)A與所成二面角（銳角）為.已知平面與該圓錐側(cè)面的交線是某橢圓（或其一部分）,則該橢圓長軸的長可能是( )
A.B.1C.D.2
三、填空題
12．直線l經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直,則直線l的方程是________.
13．已知點(diǎn),點(diǎn)B,C是直線與圓的交點(diǎn),則經(jīng)過點(diǎn)A,B,C的圓的方程是________.
14．已知點(diǎn)M在橢圓上,點(diǎn)、,則的取值范圍是________.
四、解答題
15．已知橢圓C的長軸端點(diǎn)是和,離心率是.
（1）求橢圓C的方程;
（2）若點(diǎn)P在橢圓C上,求點(diǎn)P到點(diǎn)的距離的取值范圍.
16．如圖,正四棱錐中,,側(cè)棱與底面所成的角為.
（1）求側(cè)面與底面所成的二面角（銳角）的余弦值;
（2）在線段上是否存在一點(diǎn),使得?若存在,確定點(diǎn)E的位置;若不存在說明理由.
17．如圖,在三棱柱中,點(diǎn)O是棱AC的中點(diǎn).側(cè)面底面ABC,底面ABC是等邊三角形,,.
（1）求證:平面ABC;
（2）求平面與平面所成銳二面角平面角的余弦值.
18．已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱.
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)m,n（用,表示）;
（2）若點(diǎn)在曲線上,求點(diǎn)所在曲線的方程.
19．在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),,點(diǎn)P滿足.記P的軌跡為C.
（1）求C的方程;
（2）已知點(diǎn),設(shè)點(diǎn)M,N在C上,點(diǎn)M,N與點(diǎn)A不重合,且直線MN不與x軸垂直,記,分別為直線AM,AN的斜率.
（?。τ诮o定的數(shù)值入（且,若,證明:直線MN經(jīng)過定點(diǎn);
（ⅱ）記（?。┲械亩c(diǎn)為Q,求點(diǎn)Q的軌跡方程.
參考答案
1．答案：D
解析：在正方體中,可得,,
所以四邊形是平行四邊形,所以,
所以是異面直線直線與所成的角,
又易得是等邊三角形,所以,
所以,所以直線與所成角的正弦值為.
故選:D.
2．答案：A
解析：由空間向量共面定理可得存在實(shí)數(shù)x,y,使得,
即,所以,解得.
故選:A
3．答案：A
解析：由直線得
故直線的斜率為,又傾斜角范圍為,
所以傾斜角為.
故選:A.
4．答案：B
解析：由題意得,圓,即以為圓心,為半徑的圓,
圓,即以為圓心,為半徑的圓,
則,
故,
因此兩圓相交,則有2條公切線.
故選:B.
5．答案：D
解析：令,,,
則,其中,
因?yàn)?則,
所以的最大值為5.
故選:D
6．答案：C
解析：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),,解得;
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),,解得.
故選:C
7．答案：A
解析：是正三角形,,
,,
.
故選:A.
8．答案：A
解析：由可得,即,所以,
又,即,
當(dāng)且時(shí),則方程為,即,所以,
當(dāng)且時(shí),則方程為,即,
當(dāng)時(shí),則,所以方程為,即,
畫出如圖所示圖像,其中弓形與弓形相等,
由割補(bǔ)法可知,圍成圖形的面積為.
故選:A
9．答案：CD
解析：因,則表示以原點(diǎn)為球心,半徑為1的球表面上的點(diǎn).
則表示到距離的平方.
類比點(diǎn)到圓上距離的范圍,可得,
,
結(jié)合,可得,則,.
故,則只有CD滿足條件.
故選:CD
10．答案：BCD
解析：A由題,,因,則A錯(cuò)誤;
B因,則,故B正確;
C因,則,故C正確;
D因,則.
即,故D正確.
故選:BCD.
11．答案：ABC
解析：如圖,做出過點(diǎn)A的軸截面,
由已知條件可知,平面與軸截面相交得到的線段最短為,最長為,當(dāng)平面與圓錐面所截得的橢圓的長軸落在平面內(nèi)時(shí),長軸長或.根據(jù)已知的幾何關(guān)系可以計(jì)算出,.當(dāng)與圓錐所截得的橢圓的長軸不在圖中所作的軸截面內(nèi)時(shí),長軸長度滿足:.
對于A選項(xiàng),長軸長度可以為;
對于B選項(xiàng),,長軸長度可以為;
對于C選項(xiàng),,長軸長度可以為;
對于D選項(xiàng),,長軸長度不可能為2.
故選:ABC
12．答案：
解析：直線的斜率為,所以直線l的斜率為,
所以l的方程為:,即.
故答案為:
13．答案：
解析：因點(diǎn)B,C是直線與圓的交點(diǎn),
則設(shè)過B,C的圓的方程為:,代入,
則,則過過點(diǎn)A,B,C的圓的方程是:
.
故答案為:
14．答案：
解析：由橢圓與橢圓有相同的短軸,
由橢圓與橢圓有相同的長軸,
又橢圓與橢圓有相同的焦點(diǎn),,
即點(diǎn)、,
由橢圓方程可知橢圓在橢圓上及其內(nèi)部,
橢圓在橢圓上及其內(nèi)部,
當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí),,
因橢圓方程可知橢圓在橢圓上及其內(nèi)部,
所以,當(dāng)點(diǎn)在短軸的端點(diǎn)時(shí)取等號,
當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí),,
因橢圓方程可知橢圓在橢圓上及其內(nèi)部,
所以,當(dāng)點(diǎn)P在長軸的端點(diǎn)時(shí)取等號,
所以的取值范圍是.
故答案為:.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由題意得:,解得:.
故橢圓C的方程為:
（2）設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn),所以,
所以,其中.
所以.
故點(diǎn)P到點(diǎn)的距離的取值范圍是.
16．答案：（1）
（2）在線段上存在點(diǎn)E,點(diǎn)E滿足,使得.
解析：（1）設(shè)O為底面的中心,以點(diǎn)O為原點(diǎn),,,分別為x軸,y軸,z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.
由題意知,,,.
設(shè),其中,則,向量是平面的法向量.
由題意得,,解得.
設(shè)平面的法向量為.
因?yàn)?,
所以,即,令,則,
則.
則,
故側(cè)面與底面所成的二面角（銳角）的余弦值為.
（2）由（1）知,,
設(shè),則.
因?yàn)?
若,則.
即,解得,
故在線段上存在點(diǎn)E,點(diǎn)E滿足,使得
17．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）連結(jié)OB.
在中,,,所以,且.
又因?yàn)?所以平面.
從而.
又因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC,AC是平面與平面ABC的交線,
所以平面ABC
（2）在中,,,所以.
設(shè).以點(diǎn)O為原點(diǎn),,,分別為x軸y軸z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,如圖所示.
有,,,,,,.
設(shè)平面的法向量為,平面的法向量為.
由題意得:.
則取平面的法向量為,平面的法向量為.
則.
故平面與平面所成銳二面角平面角的余弦值是
18．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）依題意,,解得.
（2）依題意,,所以.
整理得:（其中）,
所以點(diǎn)所在曲線的方程為.
19．答案：（1）
（2）（?。┳C明見解析,
（ⅱ）點(diǎn)Q的軌跡方程為直線（除去點(diǎn)）
解析：（1）設(shè),由得,
整理得,所以C的方程為.
（2）設(shè)直線MN的方程為:,其中.
點(diǎn)M,N滿足:
所以,滿足:,即.
從而,.
（?。┳C明:因?yàn)?br>,
所以,整理得,其中（即直線MN不經(jīng)過點(diǎn)）.
所以直線MN的方程為:,且直線MN不經(jīng)過點(diǎn).
所以直線MN過定點(diǎn).
（ⅱ）由得（其中）,
所以點(diǎn)Q的軌跡方程為直線（除去點(diǎn)）.

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