一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知復數(shù)z=(1+i)(3+i)i，則復數(shù)z的虛部為( )
A. ?2B. ?2iC. 4D. 2i
2.拋物線y=16x2的焦點到準線的距離為( )
A. 92B. 3C. 23D. 1
3.已知直線l的方向向量為m=(1,?3,4)，平面α的一個法向量為n=(a,2,1)，若直線l/?/平面α，則a=( )
A. ?7B. ?3C. ?1D. 2
4.已知圓柱的底面半徑r=2，母線長l是底面直徑的2倍，則該圓柱的表面積為( )
A. 6πB. 16πC. 32πD. 40π
5.已知橢圓C的長軸的頂點分別為A、B，點F為橢圓C的一個焦點，若|AF|=3|BF|，則橢圓C的離心率為( )
A. 13B. 22C. 12D. 32
6.已知點A(?3,4)，點B(10,5)，直線l過點O(0,0)且與線段AB相交，則直線l的斜率的取值范圍為( )
A. [?43,12]B. (?∞,?43]∪[12,+∞)
C. [12,+∞)D. (?∞,?43]
7.已知拋物線C：y2=2x，過點M(23,12)的直線l與C相交于A，B兩點，且M為弦AB的中點，則直線l的方程為( )
A. 6x+6y?7=0B. 6x?6y?1=0
C. 2x?6y?5=0D. 12x?6y?5=0
8.在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：(x?a)2+(y?a)2=a2(a>0)，A(?3,0)，若圓C上存在點P，使得|PA|=2|PO|，則正數(shù)a的取值范圍為( )
A. (0,1]B. [1,2]C. [ 3,2]D. [1,3+2 3]
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知兩條平行直線m，n，直線m：3x+4y+2=0，直線n：6x+8y+a=0，直線m，n之間的距離為1，則a的值可以是( )
A. ?8B. ?6C. 12D. 14
10.如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，P為空間內一動點，若BP=λBC+μBB1(λ,μ∈[0,1])，則( )
A. 若λ=μ，則點P的軌跡為線段BC1
B. 若μ=1?λ，則點P的軌跡為線段B1C
C. 存在λ，μ∈(0,1)，使得AP⊥平面BCC1B1
D. 存在λ，μ∈(0,1)，使得AP//平面A1B1C1
11.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)，左、右頂點分別為A，B，P是雙曲線C的一條漸近線上位于第一象限內的一點，且滿足PF1⊥PF2，O為坐標原點，線段OP的中點為Q，直線AQ與雙曲線C交于另一點E，與雙曲線C的另一條漸近線相交于點D.則( )
A. |OP|=cB. 點P的坐標為(b,a)
C. D是AQ的中點D. Q是DE的中點
三、填空題：本題共3小題，共20分。
12.若圓x2+y2?2ax?2by=0被直線x+y=1平分，則a+b= ______．
13.如圖，在正四面體PABC中，AB=2，D為AB中點，則PD?AC的值是______．
14.已知拋物線C1：y2=4x的焦點為F1，則拋物線C1的準線方程為______；拋物線C2：y2=16x的焦點為F2，若直線y=m(m≠0)分別與C1，C2交于P，Q兩點，且|PF1|?|QF2|=3，則m= _____．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且 3bcsC=csinB．
(1)求角C；
(2)若b= 2，△ABC的面積為2 3，求c．
16.(本小題12分)
如圖，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AB=AD=BD=AA1=2．
(1)求直線BD1與平面ACD1所成角的正弦值；
(2)求點B1到平面ACD1的距離．
17.(本小題12分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA=PD，AP⊥PD，△PBC為等邊三角形，E為BC的中點．
(1)證明：PE⊥平面APD；
(2)求平面PAB與平面PAE的夾角的余弦值．
18.(本小題12分)
已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長軸長為2 2，短軸長為2．
(1)求橢圓C的焦點坐標；
(2)直線my=x?1與橢圓C相交于A、B兩點，點F為橢圓C的左焦點，若∠AFB為銳角，求實數(shù)m的取值范圍．
19.(本小題12分)
如圖，已知點T1(3,? 5)和點T2(?5, 21)在雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)上，雙曲線C的左頂點為A，過點L(a2,0)且不與x軸重合的直線l與雙曲線C交于P，Q兩點，直線AP，AQ與圓O：x2+y2=a2分別交于M，N兩點．
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)設直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，求k1k2的值；
(3)證明：直線MN過定點．
參考答案
1.A
2.B
3.D
4.D
5.C
6.B
7.D
8.D
9.BD
10.AB
11.ACD
12.1
13.?1
14.x=?1 ±4 2
15.解：(1)由正弦定理及 3bcsC=csinB，得 3sinBcsC=sinCsinB，
因為sinB≠0，所以 3csC=sinC，即tanC= 3，
因為C∈(0,π)，
所以C=π3．
(2)由(1)得，C=π3，
因為S△ABC=12×absinC= 34ab=2 3，所以ab=8，
又b= 2，所以a=4 2，
由余弦定理得，c2=a2+b2?2abcsC=32+2?8=26，
所以c= 26．
16.解：(1)連接AC，BD相交于點O，連接A1C1，B1D1相交于點O1，
由AB=AD=BD=2，知△ABD為等邊三角形，
因為O為BD的中點，所以AC⊥BD，且AO= 3，OB=OD=1，
又AO=OC，A1O1=O1C1，所以OO1//AA1，
因為AA1⊥平面ABCD，所以OO1⊥平面ABCD，
以O為坐標原點，OA，OB，OO1所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則O(0,0,0)，A( 3,0,0)，B(0,1,0)，D1(0,?1,2)，B1(0,1,2)，
(1)OA=( 3,0,0)，OD1=(0,?1,2)，BD1=(0,?2,2)，
設平面ACD1的法向量為m=(x,y,z)，則OA?m= 3x=0OD1?m=?y+2z=0，
取z=1，則x=0，y=2，所以m=(0,2,1)，
所以cs=BD1?m|BD1|?|m|=?4+22 2× 5=? 1010，
故直線BD1與平面ACD1所成角的正弦值為 1010．
(2)由(1)知平面ACD1的法向量為m=(0,2,1)，
而D1B1=(0,2,0)，
所以點B1到平面ACD1的距離為d=|D1B1?m||m|=4 5=4 55．
17.解：(1)證明：在四棱錐P?ABCD中，正方形ABCD的邊長為2，取AD的中點O，連接OE，OP，
由PA=PD，AP⊥PD，得PO=1，由E為BC的中點，得OE=AB=2，
由△PBC為等邊三角形，得PE= 3，于是OP2+PE2=4=OE2，即OP⊥PE，
又PE⊥BC，AD//BC，則AD⊥PE，而AD∩OP=O，AD，OP?平面PAD，
所以PE⊥平面APD．
(2)由(1)知，OP⊥AD，AD⊥PE，OP∩PE=P，OP，PE?平面POE，
則AD⊥平面POE，
而AD?平面ABCD，
于是平面POE⊥平面ABCD，在平面POE內過點O作Oz⊥OE，
又平面POE∩平面ABCD=OE，
因此Oz⊥平面ABCD，即直線OA，OE，Oz兩兩垂直，
以點O為原點，直線OA，OE，Oz分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
有O(0,0,0)，A(1,0,0)，D(?1,0,0)，B(1,2,0)，E(0,2,0)，C(?1,2,0)，
在Rt△POE中，由OP=1，OE=2，得∠POE=π3，P(0,12, 32)，
設平面ABP的法向量為m=(x,y,z)，AB=(0,2,0)，AP=(?1,12, 32)，
則AB⊥mAP⊥m，則AB?m=2y=0AP?m=?x+12y+ 32z=0，
取x= 3，得m=( 3,0,2)，
設平面AEP的法向量為n=(a,b,c)，AE=(?1,2,0)，AP=(?1,12, 32)，
則AE⊥nAP⊥n，則AE?n=?a+2b=0AP?n=?a+12b+ 32c=0，
取a=2，得n=(2,1, 3)，
因此cs?m,n?=m?n|m||n|=4 3 7×2 2= 427，
所以平面PAB與平面PAE的夾角的余弦值為 427．
18.解：(1)∵橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長軸長為2 2，短軸長為2.∴a= 2，b=1，
即可得c= a2?b2=1，
∴橢圓C的焦點坐標為(±1,0)；
(2)設A、B兩點坐標分別為(x1,y1)，(x2,y2)，
可知橢圓C的左焦點F(?1,0)，
聯(lián)立 my=x?1x2+2y2=2，消元可得(m2+2)y2+2my?1=0，
y1+y2=?2mm2+2，x1x2=?1m2+2，
x1+x2=m(y1+y2)+2=42+m2，
x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=?m2m2+2?2m2m2+2+1=2?2m2m2+2，
FA=(x1+1,y1)，F(xiàn)B=(x2+1,y2)，
FA?FB=(x1+1)(x2+1)+y1y2=2?2m2m2+2+4m2+2?1m2+2+1=7?m2m2+2．
若∠AFB為銳角，則7? m2m2+2>0，∴? 7

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