1．（3分）下列是不等式的是（ ）
A．x+yB．3x＞7C．2x+3＝5D．x3y2
2．（3分）如果a＞b，那么下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．a(chǎn)﹣3＜b﹣3B．﹣＜﹣C．a(chǎn)+3＜b+3D．﹣3a＞﹣3b
3．（3分）如圖，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，∠BAC＝50°，則∠BAD的度數(shù)為（ ）
A．25°B．50°C．65°D．100°
4．（3分）五根小棒的長度（單位：cm）分別為6，7，8，9，10，現(xiàn)從中選擇三根，將它們首尾相接擺成三角形，其中能擺成直角三角形的是（ ）
A．6，7，8B．6，8，10C．7，8，9D．7，9，10
5．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜邊AB上的高，BD＝2，那么AD的長為（ ）
A．2B．4C．6D．8
6．（3分）以下命題的逆命題為真命題的是（ ）
A．對(duì)頂角相等
B．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行
C．若a＝b，則a2＝b2
D．若a＞0，b＞0，則a2+b2＞0
7．（3分）用反證法證明命題“三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°”時(shí)，首先應(yīng)假設(shè)這個(gè)三角形中（ ）
A．每一個(gè)內(nèi)角都大于60°
B．每一個(gè)內(nèi)角都小于60°
C．有一個(gè)內(nèi)角大于60°
D．有一個(gè)內(nèi)角小于60°
8．（3分）下列命題：①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；②若a2＝b2，則a＝b；③銳角與鈍角互為補(bǔ)角；④相等的角是對(duì)頂角．它們的逆命題是真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
9．（3分）如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB，交AB于點(diǎn)E，DF⊥AC，交AC于點(diǎn)F，若DE＝2，AC＝4，則△ADC的面積是（ ）
A．4B．6C．8D．10
10．（3分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一個(gè)銳角為60°，BC＝6，若點(diǎn)P在直線AC上（不與點(diǎn)A、C重合），且∠ABP＝30°，則CP的長為（ ）
A．6或B．6或C．或D．6或或
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．（3分）用不等式表示：x與5的差不大于x的2倍： ．
12．（3分）如圖，已知AD⊥BC，若用HL判定△ABD≌△ACD，只需添加的一個(gè)條件是 ．
13．（3分）如圖，DE，MN分別垂直平分AB，AC，且BC＝10cm，則△ADM的周長為 ．
14．（3分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，若CD＝6，則AC＝ ．
15．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝2+2，點(diǎn)M，N分別是邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，沿MN所在直線折疊△ABC，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′始終落在邊BC上，若△MA′B為直角三角形，則BM的長為 ．
三、解答題（共8題，共75分）
16．（9分）如圖，已知在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，AC＝20，BC＝15，DB＝9，
（1）求DC的長．
（2）求證：△ABC是直角三角形．
17．（9分）證明命題：“一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線相等的兩個(gè)直角三角形全等”，要根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號(hào)表示已知和求證，寫出證明過程．下面是小穎根據(jù)題意畫出的圖形，并寫出了不完整的已知和求證．
已知：在 Rt△ABC和 Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，AC＝A'C'，AD與A'D'分別為BC，B'C'邊上的中線且 ．
求證： ．
請(qǐng)補(bǔ)全已知和求證部分，并寫出證明過程．
18．（9分）如圖所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求證：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度數(shù)．
19．（9分）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺規(guī)作圖：①作邊AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D；
②連接AD，作∠CAD的平分線交BC于點(diǎn)E；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）所作的圖中，求∠DAE的度數(shù)．
20．（9分）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫三角形．
（1）在圖1中，畫一個(gè)三角形，使它的三邊長都是有理數(shù)；
（2）在圖2中，畫一個(gè)直角三角形，使它們的三邊長都是無理數(shù)；
（3）在圖3中，畫一個(gè)正方形，使它的面積是10．
21．（10分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D在AB上運(yùn)動(dòng)，PD始終保持與PA相等，BD的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接DE．
（1）判斷DE與PD的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若AC＝10，BC＝12，PA＝3，求線段DE的長．
22．（10分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，解決以下問題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEC為等邊三角形；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEC為直角三角形．
23．（10分）（1）操作實(shí)踐：△ABC中，∠A＝90°，∠B＝22.5°，請(qǐng)畫出一條直線把△ABC分割成兩個(gè)等腰三角形，并標(biāo)出分割成兩個(gè)等腰三角形底角的度數(shù)；（要求用兩種不同的分割方法）
（2）分類探究：△ABC中，最小內(nèi)角∠B＝24°，若△ABC被一直線分割成兩個(gè)等腰三角形，請(qǐng)畫出相應(yīng)示意圖并寫出△ABC最大內(nèi)角的所有可能值；
（3）猜想發(fā)現(xiàn)：若一個(gè)三角形能被一直線分割成兩個(gè)等腰三角形，需滿足什么條件？（請(qǐng)你至少寫出兩個(gè)條件，無需證明）
2023-2024學(xué)年河南省平頂山市汝州市八年級(jí)（下）月考數(shù)學(xué)試卷（3月份）
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．【分析】根據(jù)不等式的定義，逐項(xiàng)判斷即可．
【解答】解：A、x+y是代數(shù)式，不是不等式，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、3x＞7是不等式，故此選項(xiàng)符合題意；
C、2x+3＝5是等式，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、x3y2是代數(shù)式，不是不等式，故此選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了不等式的定義．解題的關(guān)鍵是掌握不等式的定義．用“＞”或“＜”號(hào)表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式，用“≠”號(hào)表示不等關(guān)系的式子也是不等式．
2．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可．
【解答】解：A、不等式兩邊加﹣3，不等號(hào)的方向不變，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、不等式兩邊乘﹣，不等號(hào)的方向改變，故本選項(xiàng)正確，符合題意；
C、不等式兩邊加3，不等號(hào)的方向不變，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D、不等式兩邊乘﹣3，不等號(hào)方向改變，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的性質(zhì)：
（1）不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；
（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；
（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．
3．【分析】根據(jù)已知的AB＝AC得到三角形ABC為等腰三角形，再根據(jù)AD是BC邊上的中線，利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到AD平分∠BAC，進(jìn)而根據(jù)已知的∠BAC＝50°，利用角平分線的定義即可求出∠BAD的度數(shù)．
【解答】解：∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，∠BAC＝50°，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝×50°＝25°．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及角平分線的定義，根據(jù)已知的AD為等腰三角形底邊上的高，利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到AD也為頂角的角平分線是解本題的關(guān)鍵．
4．【分析】先分別求出兩小邊的平方和和最長邊的平方，看看是否相等即可．
【解答】解：A．∵62+72＝36+49＝85，82＝64，
∴62+72≠82，
∴以6，7，8為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．∵62+82＝36+64＝100，102＝100，
∴62+82＝102，
∴以6，8，10為邊能組成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；
C．∵72+82＝49+64＝113，92＝81，
∴72+82≠92，
∴以7，8，9為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．∵72+92＝49+81＝130，102＝100，
∴72+92≠102，
∴以7，9，10為邊不能組成直角三角形，故本選不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，能熟記掌握勾股定理的逆定理是解此題的關(guān)鍵，如果一個(gè)三角形的兩邊a、b的平方和等于第三邊c的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．
5．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠B，根據(jù)余角的定義求出∠BCD，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出BC＝2AD，AB＝2BC，求出AB即可．
【解答】解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠BDC＝90°＝∠ACB，
∵∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，
∵BD＝2，
∴BC＝2BD＝4，
∴AB＝2BC＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝8﹣2＝6，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是含30度角的直角三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出BC＝2BD，AB＝2BC．
6．【分析】根據(jù)逆命題與原命題的關(guān)系，先寫出四個(gè)命題的逆命題，然后依次利用對(duì)頂角的定義、平行線的性質(zhì)、有理數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷．
【解答】解：A、對(duì)頂角相等逆命題為相等的角為對(duì)頂角，此逆命題為假命題，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行的逆命題為兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，此逆命題為真命題，故B選項(xiàng)正確；
C、若a＝b，則a2＝b2的逆命題為若a2＝b2，則a＝b，此逆命題為假命題，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、若a＞0，b＞0，則a2+b2＞0的逆命題為若a2+b2＞0，則a＞0，b＞0，此逆命題為假命題，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯(cuò)誤的命題稱為假命題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理．考查逆命題是否為真命題，關(guān)鍵先找出逆命題，再進(jìn)行判斷．
7．【分析】熟記反證法的步驟，然后進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：用反證法證明“三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°”時(shí)，應(yīng)先假設(shè)三角形中每一個(gè)內(nèi)角都不小于或等于60°，即都大于60°．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了反證法，反證法的步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．
8．【分析】根據(jù)所學(xué)的公理定理對(duì)各小題進(jìn)行分析判斷，然后再計(jì)算真命題的個(gè)數(shù)．
【解答】解：①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行的逆命題是兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是真命題；
②若a2＝b2，則a＝b的逆命題是若a＝b，則a2＝b2是真命題；
③銳角與鈍角互為補(bǔ)角的逆命題是互補(bǔ)的角是銳角與鈍角，是假命題；
④相等的角是對(duì)頂角的逆命題是對(duì)頂角相等，是真命題；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了命題與定理，正確把握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
9．【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DF＝DE＝2，再利用三角形面積公式即可求解．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE，
∵DE＝2，
∴DF＝2，
∴S△ADC＝AC×DF＝×4×2＝4，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟記角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．
10．【分析】根據(jù)點(diǎn)P在直線AC上的不同位置，∠ABP＝30°，利用特殊角的三角函數(shù)進(jìn)行求解．
【解答】解：如圖1：
當(dāng)∠C＝60°時(shí)，∠ABC＝30°，與∠ABP＝30°矛盾；
如圖2：
當(dāng)∠C＝60°時(shí)，∠ABC＝30°，
∵∠ABP＝30°，
∴∠CBP＝60°，
∴△PBC是等邊三角形，
∴CP＝BC＝6；
如圖3：
當(dāng)∠ABC＝60°時(shí)，∠C＝30°，
∵∠ABP＝30°，
∴∠PBC＝60°﹣30°＝30°，
∴PC＝PB，
∵BC＝6，
∴AB＝3，
∴
如圖4：
當(dāng)∠ABC＝60°時(shí)，∠C＝30°，
∵∠ABP＝30°，
∴∠PBC＝60°+30°＝90°，
∴．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用特殊角的三角函數(shù)值求線段的長，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)P在直線AC上的不同位置．
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．【分析】x與5的差為x﹣5，不大于即小于等于，x的2倍為2x，據(jù)此列不等式．
【解答】解：由題意得：x﹣5≤2x；
故答案為：x﹣5≤2x
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次不等式，解答本題的關(guān)鍵是把文字語言的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為用數(shù)學(xué)符號(hào)表示的不等式，注意抓住關(guān)鍵詞語，弄清不等關(guān)系．
12．【分析】根據(jù)斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）可得需要添加條件AB＝AC．
【解答】解：還需添加條件AB＝AC，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
故答案為：AB＝AC．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直角三角形全等的判定，關(guān)鍵是正確理解HL定理．
13．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵DE，MN分別垂直平分AB，AC，
∴AD＝DB，AM＝CM，
∴△ADM的周長＝AD+DM+AM＝BD+DM+CM＝BC＝10cm，
故答案為：10cm．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
14．【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)得出CD＝DE＝6，求出BE＝DE，根據(jù)勾股定理求出BD，即可求出答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝BC
∴∠B＝∠CAB＝45°，AC⊥BC，
∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝6，∠AED＝90°，
∴∠DEB＝90°，∠EDB＝45°＝∠B，
∴DE＝BE＝6，
在△DEB中，由勾股定理得：BD＝＝6，
∵AC＝BC，
∴AC＝CD+BD＝6+6，
故答案為：6+6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力．
15．【分析】①如圖1，當(dāng)∠A′MB＝90°，A′與C重合，M是AB的中點(diǎn)，于是得到結(jié)論；②如圖2，當(dāng)∠MA′B＝90°，推出△BMA′是等腰直角三角形，得到BM＝MA′，列方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：①如圖1，
當(dāng)∠A′MB＝90°，A′與C重合，M是AB的中點(diǎn)，
∴BM＝AB＝ （2+2）＝；
②如圖2，當(dāng)∠MA′B＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝45°，
∴△BMA′是等腰直角三角形，
∴BM＝MA′，
∵沿MN所在直線折疊△ABC，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′，
∴AM＝A′M，
∴BM＝AM，
∵BC＝2+2，
∴BM+AM＝AM+AM＝2+2，
∴AM＝2，
∴BM＝2，
綜上所述，若△MA′B為直角三角形，則BM的長為 2或+1，
故答案為：2或+1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換﹣折疊問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（共8題，共75分）
16．【分析】（1）直接根據(jù)勾股定理求出CD的長；
（2）根據(jù)勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
在Rt△CDB中，∵BC＝15，DB＝9，
∴根據(jù)勾股定理，得CD＝＝12，
（2）證明：在Rt△CDA中，CD2+AD2＝AC2
∴122+AD2＝202
∴AD＝16，
∴AB＝AD+BD＝16+9＝25
∴AC2+BC2＝202+152＝625＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理，求出AB是解本題的關(guān)鍵．
17．【分析】利用HL證明Rt△ADC≌Rt△A'D'C'可得CD＝C'D'，結(jié)合中線的定義可得BC＝B'C'，再利用SAS可證明Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．
【解答】解：AD＝A'D'；Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（寫成△ABC≌△A'B'C'也對(duì)）；
證明：∵∠C＝∠C'＝90°，AD＝A'D'，AC＝A'C'，
∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'（HL），
∴CD＝C'D'．
∵AD與A'D'分別為BC與B'C'邊上的中線，
∴點(diǎn)D和點(diǎn)D'分別是BC與B'C'的中點(diǎn)，
∴BC＝2CD，B'C'＝2C'D'，
∴BC＝B'C'，
在△ABC和△A'B'C'中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（SAS）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，利用HL證明Rt△ADC≌Rt△A'D'C'是解題的關(guān)鍵．
18．【分析】（1）先根據(jù)角平分線的定義得到∠DBE＝∠CBE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DEB＝∠CBE，所以∠DBE＝∠DEB，從而得到結(jié)論；
（2）先利用三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠ABC＝75°，再利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)計(jì)算出∠BDE的度數(shù)．
【解答】（1）證明：∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）解：∵∠A＝35°，∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣35°﹣70°＝75°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE+∠DBC＝180°，
∴∠BDE＝180°﹣75°＝105°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)：等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．也考查了平行線的性質(zhì)．
19．【分析】（1）利用尺規(guī)作出線段AB的垂直平分線DF，交CB于D，交AB于F，連接AD；作∠CAD的角平分線交BC于E，點(diǎn)D，射線AE即為所求．
（2）首先證明DA＝DB，推出∠DAB＝∠B＝30°，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，∠DAC即可解決問題．
【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)D，射線AE即為所求．
（2）∵DF垂直平分線段AB，
∴DB＝DA，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∵∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝40°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
20．【分析】（1）利用勾股定理，找長為有理數(shù)的線段，畫三角形即可．
（2）畫一個(gè)邊長，2，的三角形即可；
（3）畫一個(gè)邊長為的正方形即可．
【解答】解：（1）三邊分別為：3、4、5 （如圖1）；
（2）三邊分別為：、2、（如圖2）；
（3）畫一個(gè)邊長為的正方形（如圖3）．
【點(diǎn)評(píng)】考查了格點(diǎn)三角形的畫法．本題需仔細(xì)分析題意，結(jié)合圖形，利用勾股定理和正方形的性質(zhì)即可解決問題．
21．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠PDA，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EB＝ED，于是得到結(jié)論；
（2）連接PE，設(shè)DE＝x，則EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）DE⊥PD，理由如下：
∵PD＝PA，
∴∠PDA＝∠A，
∵EF垂直平分BD，
∴ED＝EB，
∴∠EDB＝∠B，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠PDA+∠EDB＝90°，
∴∠PDE＝90°
∴DE⊥PD；
（2）連接PE，如圖所示：
∵AC＝10，BC＝12，PA＝3，
∴CP＝AC﹣PA＝7，PD＝PA＝3，
設(shè)DE＝BE＝x，則CE＝12﹣x，
在Rt△PEC中，根據(jù)勾股定理，得PE2＝72+（12﹣x）2，
在Rt△PDE中，根據(jù)勾股定理，得PE2＝32+x2，
∴72+（12﹣x）2＝32+x2
解得，
∴．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線解題的關(guān)鍵．
22．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)列出方程求出t的值；
（2）分兩種情況討論：①當(dāng)∠DEC為直角時(shí)，②當(dāng)∠EDC為直角時(shí)，分別利用30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半列方程求出t的值．
【解答】解：（1）根據(jù)題意可得 AD＝t，CD＝6﹣t，CE＝2t
∵，∠B＝30°，AC＝6cm
∴BC＝2AC＝12cm，
∵∠C＝90°﹣∠B＝30°＝60°，△DEC為等邊三角形，
∴CD＝CE，
6﹣t＝2t，
t＝2，
∴當(dāng)t為2時(shí)，△DEC為等邊三角形；
（2）①當(dāng)∠DEC為直角時(shí)，∠EDC＝30°，
∴CE＝，
2t＝（6﹣t），
t＝；
②當(dāng)∠EDC為直角時(shí)，∠DEC＝30°，
CD＝CE，
6﹣t＝?2t，
t＝3．
∴當(dāng)t為或3時(shí)，△DEC為直角三角形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握30度角的直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
23．【分析】（1）按要求畫圖（作AB的中垂線或作BC的中垂線）即可；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，由“特殊”到“一般”，需要把24°的三角形分成兩個(gè)等腰三角形的各種情形，一共有4種情況，分別畫圖即可；
（3）根據(jù)（1）（2）中的圖形總結(jié)即可．
【解答】解：（1）如圖所示：
（2）設(shè)分割線為AD，相應(yīng)用的角度如圖所示：
圖1的最大角＝39°+78°＝117°，圖2的最大角＝24°+180°﹣2×48°＝108°，
圖3的最大角＝24°+66°＝90°，圖4的最大角＝84°，
故△ABC的最大內(nèi)角可能值是117°或108°或90°或84°；
（3）若一個(gè)三角形能被一直線分割成兩個(gè)等腰三角形，應(yīng)滿足下列條件之一：
①該三角形是直角三角形；
②該三角形有一個(gè)角是最小角的2倍；
③該三角形有一個(gè)角是其中一個(gè)角的3倍．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運(yùn)用，本題不僅趣味性強(qiáng)，創(chuàng)造性強(qiáng)，而且滲透了由“特殊”到“一般”、“分類討論”等數(shù)學(xué)思想，是一道不可多得的好題．

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