2023-2024學(xué)年河南省平頂山市汝州市部分學(xué)校九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.下列方程是一元二次方程的是(    )A.  B.  C.  D. 2.矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是(    )A. 鄰邊相等 B. 對(duì)角線相等 C. 對(duì)角線互相平分 D. 對(duì)角線互相垂直3.隨著中考結(jié)束，初三某畢業(yè)班的每一個(gè)同學(xué)都向其他同學(xué)贈(zèng)送一張自己的照片留作紀(jì)念，全班共送了張照片，若該班有名同學(xué)，則根據(jù)題意可列出方程為(    )A.  B.
C.  D. 4.將方程化為一元二次方程的一般形式，其中二次項(xiàng)系數(shù)為，則一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為(    )A. ， B. ， C. ， D. ，5.若關(guān)于的一元二次方程，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是(    )A.  B. 且 C.  D. 且6.如圖，正方形和正方形的邊長都是，正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積是(    )

 A.  B.  C.  D. 不能確定7.對(duì)角線長分別為和的菱形如圖所示，點(diǎn)為對(duì)角線的交點(diǎn)，過點(diǎn)折疊菱形，使，兩點(diǎn)重合，是折痕．若，則的長為
(    )
 A.  B.  C.  D. 8.如圖，四邊形是菱形，頂點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，，點(diǎn)在軸上，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(    )A.
B.
C.
D. 9.某同學(xué)參考“趙爽弦圖”，在正方形中，連結(jié)，相交于點(diǎn)，分正方形為四個(gè)全等的直角三角形，向外延長正方形的邊至點(diǎn)，，，，使，得到如圖所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”記四邊形的面積為，的面積為，若，則的值為(    )A.
B.
C.
D. 10.如圖，菱形中，，，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，按逆時(shí)針方向，沿，，勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，設(shè)的面積為，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑總長為，能表示與函數(shù)關(guān)系的圖象大致是
(    )A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）11.如圖，以正方形的中心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．
 12.如圖，在菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，，，交于點(diǎn)，則的長為______ ．
 13.三角形的兩邊長分別為和，第三邊的長是方程的解，則這個(gè)三角形的周長是______．14.如圖，某單位準(zhǔn)備將院內(nèi)一塊長，寬的長方形花園中修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道，剩余的地方種植花草，如圖，要使種植花草的面積為，設(shè)小道進(jìn)出口的寬度為，根據(jù)條件，可列出方程：______ ．

 15.如圖，作邊長為的正方形，再以正方形的邊為對(duì)角線作第個(gè)正方形，再以邊為對(duì)角線作第個(gè)正方形如此作下去，則所作的第個(gè)正方形的面積為______ ．
 三、計(jì)算題（本大題共1小題，共9.0分）16.某商場代銷一種產(chǎn)品，當(dāng)每件商品售價(jià)為元時(shí)，月銷售量為件，該商店為提高經(jīng)營利潤，準(zhǔn)備采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每件商品每降價(jià)元時(shí)，月銷售量就會(huì)增加件，綜合考慮各種因素，每售出一件產(chǎn)品共需支付廠家及其他費(fèi)用元，為了盡快減少庫存，每月的銷售量應(yīng)不低于件，求售價(jià)定為多少元時(shí)，該商店可獲得月利潤元？四、解答題（本大題共7小題，共66.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.本小題分
用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/span>
；
．18.本小題分
已知是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根，求的值．19.本小題分
關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．
求的取值范圍；
如果是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程與方程有一個(gè)相同的根，求此時(shí)的值．20.本小題分

如圖，已知平行四邊形，若，是上兩點(diǎn)，且，．
求證：四邊形是矩形．
21.本小題分
請(qǐng)閱讀下列材料：
問題：已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倍．
解：設(shè)所求方程的根為，則，所以，把代入已知方程，得化簡，得，故所求方程為．
這種利用方程根的代換求新方程的方祛，我們稱為“換根法”．
請(qǐng)用閱讀材料提供的“換根法”求新方程要求把所求方程化為一般形式：
已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別為已知方程根的相反數(shù)；
已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)根，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)．22.本小題分
如圖，在正方形中，點(diǎn)，分別在，上，且．

試探索線段，的大小關(guān)系，寫出你的結(jié)論并說明理由；
連接，，分別取，，，的中點(diǎn)，，，，順次連接，得到四邊形．
請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)全圖形；
四邊形是什么特殊平行四邊形？請(qǐng)說明理由．23.本小題分
定義：只有一組對(duì)角是直角的四邊形叫做損矩形，連接它的兩個(gè)非直角頂點(diǎn)的線段叫做這個(gè)損矩形的直徑．如圖，，四邊形是損矩形，則該損矩形的直徑是線段同時(shí)我們還發(fā)現(xiàn)損矩形中有公共邊的兩個(gè)三角形角的特點(diǎn)：在公共邊的同側(cè)的兩個(gè)角是相等的．如圖中：和有公共邊，在同側(cè)有和，此時(shí)；再比如和有公共邊，在同側(cè)有和，此時(shí)．

請(qǐng)?jiān)趫D中再找出一對(duì)這樣的角來：____________．
如圖，中，，以為一邊向外作菱形，為菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，連接，當(dāng)平分時(shí)，判斷四邊形為何種特殊的四邊形？請(qǐng)說明理由．
在第題的條件下，若此時(shí)，，求的長．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：方程化簡后不含二次項(xiàng)，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
B.不是方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
C.是分式方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
D.是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：．
根據(jù)一元二次方程的概念判斷即可．只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的整式方程叫一元二次方程．
本題考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的整式方程叫一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2.【答案】 【解析】解：矩形具有的性質(zhì)：對(duì)角線相等，對(duì)角線互相平分；菱形具有的性質(zhì)：鄰邊相等，對(duì)角線互相平分，對(duì)角線互相垂直；
矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是：對(duì)角線相等．
故選B．
由矩形具有的性質(zhì)：對(duì)角線相等，對(duì)角線互相平分；菱形具有的性質(zhì)：鄰邊相等，對(duì)角線互相平分，對(duì)角線互相垂直；即可求得答案．
此題考查了矩形與菱形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意熟記定理是解此題的關(guān)鍵．3.【答案】 【解析】解：若該班有名同學(xué)，那么每名學(xué)生送照片張，全班應(yīng)該送照片張，
則可列方程為．
故選：．
若該班有名同學(xué)，那么每名學(xué)生送照片張，全班應(yīng)該送照片，那么根據(jù)題意可列得方程．
本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系是列出方程；弄清每名同學(xué)送出的照片是張是解決本題的關(guān)鍵．4.【答案】 【解析】解：方程整理得：，
則一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為，，
故選：．
一元二次方程化為一般形式后，找出一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)即可．
此題考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式為．5.【答案】 【解析】解：關(guān)于的一元二次方程，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
，
解得：且．
故選D．
根據(jù)一元二次方程的定義結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出結(jié)論．
本題考查了根的判別式，根據(jù)一元二次方程的定義結(jié)合根的判別式，找出關(guān)于的一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．6.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，能推出四邊形的面積等于三角形的面積是解此題的關(guān)鍵．
根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，，，推出，證出≌．
【解答】
解：

四邊形和四邊形都是正方形，
，，，

．
在與中，
，
≌，
，
．
故選：．7.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了菱形的性質(zhì)．
連接、，如圖，利用菱形的性質(zhì)得，，，再利用勾股定理計(jì)算出，接著證明≌得到，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)得，從而有，于是計(jì)算即可．
【解答】
解：連接、，如圖，

點(diǎn)為菱形的對(duì)角線的交點(diǎn)，
，，，
在中，，
，
，
在和中
，
≌，
，
過點(diǎn)折疊菱形，使，兩點(diǎn)重合，是折痕，
，
，
．
故選：．8.【答案】 【解析】解：連接，，交于點(diǎn)，

四邊形是菱形，
，，，
，的坐標(biāo)分別是，，
，
．
故選：．
連接，，交于點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)可知點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)的坐標(biāo)確定的坐標(biāo)即可．
本題考查了菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)并靈活運(yùn)用．菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)； 菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形是軸對(duì)稱圖形，它有條對(duì)稱軸，分別是兩條對(duì)角線所在直線．9.【答案】 【解析】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，
則，

在正方形中，，，，，
，為等腰直角三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
．
故選：．
過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，證明≌，≌，然后利用三角形的面積公式即可解決問題．
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，正方形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到≌．10.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)作于，如圖：

四邊形是菱形，，，
點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)點(diǎn)由向運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積勻速增加，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)面積達(dá)到最大，
此時(shí)，
當(dāng)由向時(shí)，的面積保持不變，
當(dāng)由向運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積勻速減小，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)．
故選：．
根據(jù)題意分析的面積的變化趨勢(shì)即可．
本題為動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象探究題，考查了一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，分析動(dòng)點(diǎn)到達(dá)臨界點(diǎn)前后函數(shù)值變化是解題關(guān)鍵．11.【答案】 【解析】解：如圖所示：以正方形的中心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
故答案為：．
根據(jù)題意得：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，進(jìn)而得出答案．
本題考查了關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)以及正方形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．12.【答案】 【解析】解：菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，
，，，
，
，
為的中位線，
，
在中，由勾股定理得：
，
．
由菱形的性質(zhì)可得：，，，借助勾股定理求出，再證明是的中位線即可求解．
本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理以及三角形中位線定理等知識(shí)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13.【答案】 【解析】解：，
，
解得：，，
若，即第三邊為，，不能構(gòu)成三角形，舍去；
當(dāng)時(shí)，這個(gè)三角形周長為，
故答案為：．
先利用因式分解法解方程得到，，再根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到三角形第三邊長為，然后計(jì)算三角形的周長．
此題考查了解一元二次方程因式分解法，以及三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．14.【答案】 【解析】解：設(shè)小道進(jìn)出口的寬度為，
根據(jù)題意，得：，
整理，得：．
故答案為：．
設(shè)小道進(jìn)出口的寬度為，根據(jù)矩形的面積以及平行四邊形的面積結(jié)合種植花草的面積為，即可列出關(guān)于的一元二次方程，整理后即可得出結(jié)論．
本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．15.【答案】 【解析】解：正方形的邊長為，
，，
，
則：，
，，，
作的第個(gè)正方形的面積，
第個(gè)正方形的面積是．
故答案為：．
由正方形的邊長為，根據(jù)正方形的性質(zhì)，即可求得，的值，則可求得，，的值，即可求得規(guī)律所作的第個(gè)正方形的面積．
此題考查了正方形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是找到規(guī)律：所作的第個(gè)正方形的面積．16.【答案】解：設(shè)每件商品售價(jià)定為元，商店可獲得月利潤元，
，
化簡得．
解得，．
當(dāng)時(shí)，每月的銷售量為件，
當(dāng)時(shí)，每月的銷售量為件，
要盡快減少庫存，每月的銷售量應(yīng)不低于件，
符合題意，
答：售價(jià)定為元時(shí)，該商店可獲得月利潤元． 【解析】設(shè)每件商品售價(jià)定為元，商店可獲得月利潤元，由題意列出方程，解方程并檢驗(yàn)每月的銷售量應(yīng)不低于件，則可得出答案．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．17.【答案】解：，
，
，
，
，
；
，
，
，
或，
． 【解析】根據(jù)配方法即可求出答案；
根據(jù)因式分解法即可求出答案．
本題考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，解題的關(guān)鍵是要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法18.【答案】解：是方程的一個(gè)根，
，
，
或． 【解析】將代入，求出的值即可．
本題考查一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程的根與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．19.【答案】解：根據(jù)題意得，
解得；
滿足條件的的最大整數(shù)為，此時(shí)方程變形為方程，解得，，
當(dāng)相同的解為時(shí)，把代入方程得，解得；
當(dāng)相同的解為時(shí)，把代入方程得，解得，而，不符合題意，舍去，
所以的值為． 【解析】利用判別式的意義得到，然后解不等式即可；
先確定，再解方程，解得，，然后分別把和代入一元二次方程可得到滿足條件的的值．
本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．20.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，即，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
四邊形是矩形． 【解析】由平行四邊形的性質(zhì)可得，，可得，可證四邊形是平行四邊形，通過證明，可得結(jié)論．
本題考查了矩形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，掌握矩形的判定方法是解題的關(guān)鍵．21.【答案】解：設(shè)所求方程的根為，則，所以．
把代入已知方程，得，
故所求方程為；
設(shè)所求方程的根為，則，于是，
把代入方程，，得，
去分母，得．
若，有，即，
可得有一個(gè)解為，不符合題意，因?yàn)轭}意要求方程有兩個(gè)不為的根．
故，
故所求方程為，． 【解析】根據(jù)所給的材料，設(shè)所求方程的根為，再表示出，代入原方程，整理即可得出所求的方程．
本題是一道材料題，考查了一元二次方程的應(yīng)用，以及解法，是一種新型問題，要熟練掌握．22.【答案】解：，理由如下：
四邊形是正方形，
，，
，
≌，
；
四邊形是正方形．理由如下：
，分別是，的中點(diǎn)，
是的中位線，
，，
同理：，，
，，
同理，，
，
，
四邊形是菱形．
≌，
，
，
，
，
又，，
，
，
四邊形是正方形． 【解析】由正方形的性質(zhì)推出≌，即可證明；
見圖形；
由≌，得到而，得到推出，由三角形中位線定理即可證明四邊形是正方形．
本題考查全等三角形的判定，正方形的判定，三角形中位線定理，關(guān)鍵是應(yīng)用三角形中位線定理來解決問題．23.【答案】解：；；或； 
四邊形為正方形
證明：，平分，
，
四邊形為菱形，
，即，
，
四邊形為損矩形，
由得，
，
四邊形為正方形．
過點(diǎn)作，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，

，
為等腰直角三角形，
，
，，，
，
，
≌，
，
，，
，
． 【解析】【分析】
本題是四邊形的綜合題，考查了損矩形和損矩形的直徑的概念，等腰直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，正方形的判定等知識(shí)，認(rèn)真閱讀理解新定義，作輔助線構(gòu)建全等三角形是關(guān)鍵．
以為公共邊，有；
證明和四邊形為損矩形，根據(jù)，可得結(jié)論；
如圖，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，證明≌，得，進(jìn)而可得，從而得結(jié)論．
【解答】
解：由圖得：和有公共邊，在同側(cè)有和，此時(shí)；

故答案為：；或； ；
見答案；
見答案．

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河南省平頂山市汝州市2021-2022學(xué)年九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷(含答案)

河南省平頂山市汝州市2021-2022學(xué)年九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷(含答案)
2019-2020學(xué)年河南省平頂山市汝州市九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2019-2020學(xué)年河南省平頂山市汝州市九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
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