一、選擇題
1．已知數(shù)列1，，，，3，…，，…，則9是該數(shù)列的( )
A.第42項B.第41項C.第9項D.第8項
2．雙曲線的漸近線方程為( ).
A.B.C.D.
3．若直線是圓的一條對稱軸，則( ).
A.B.0C.D.1
4．現(xiàn)計劃將某山體的一面綠化，自山頂向山底栽種10排塔松，第1排栽種6棵，第2排比第1排多栽種2棵，第3排比第2排多栽種4棵，···，第n排比第n－1排多栽種棵且，則第10排栽種塔松的棵數(shù)為( )
A.90棵B.92棵C.94棵D.96棵
5．已知O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線的焦點，點在C上，且，則C的方程為( ).
A.B.C.D.
6．如圖，過圓柱其中一條母線上的點P分別作平面，，截圓柱得到橢圓，，.設橢圓，，的離心率分別為，，，則( ).
A.B.C.D.
7．已知正四棱錐的各棱長均相等，點E是的中點，點F是的中點，則異面直線和所成角的余弦值是( ).
A.B.C.D.
8．已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則使得成立的正整數(shù)n的最大值為( ).
A.23B.22C.21D.20
二、多項選擇題
9．若直線的斜率，直線經(jīng)過點，，且，則實數(shù)a的值為( ).
A.1B.3C.0D.4
10．已知是數(shù)列的前n項和，，則下列結(jié)論正確的是( ).
A.數(shù)列是等比數(shù)列B.數(shù)列是等差數(shù)列
C.D.
11．已知，是雙曲線的左、右焦點，過的直線交C的右支于A，B兩點，若，，則( ).
A.C的離心率為2B.
C.的面積為4D.的周長為18
三、填空題
12．拋物線的焦點到準線的距離為_________.
13．已知圓，，，A，B是圓C上的動點，且，點N是線段AB的中點，則當取得最大值時，的值為_________.
四、雙空題
14．在四面體ABCD中，，，點E在棱CD上，，F(xiàn)是BD的中點，若，則_________；點F到平面EAB的距離是_________.
五、解答題
15．已知是數(shù)列的前n項和，若，是等差數(shù)列，.
(1)求
(2)求數(shù)列的通項公式.
16．設，，，，圓Q的圓心在x軸的正半軸上，且過A，B，C，D中的三個點.
(1)求圓Q的方程；
(2)若圓Q上存在兩個不同的點P，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.
17．如圖，在直三棱柱中，，，，點E，F(xiàn)滿足，，記.
(1)當平面平面時，求的值；
(2)當時，求直線與平面所成角的大小.
18．已知點A，B是橢圓的上、下頂點，點P滿足.
(1)求點P的軌跡方程；
(2)是否存在點P，使得過點P的動直線l交橢圓C于M，N兩點，且BM與BN的斜率之和為定值？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由.
19．對于各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列，若，都有，其中d為非零常數(shù)，則稱數(shù)列是數(shù)列.
(1)判斷無窮數(shù)列和是不是數(shù)列？若是，求出相應的常數(shù)d的值；若不是，請說明理由；
(2)若是數(shù)列，且.
①記的前n項和為，求證：；
②對任意的正整數(shù)n，設，求數(shù)列的前項和
參考答案
1．答案：B
解析：由已知數(shù)列1，，，，3，…，，…，
即，，
，，，…，，…，
則數(shù)列的第n項為，
令，解得，
所以9是該數(shù)列的第41項.
故選：B.
2．答案：A
解析：由，
得漸近線方程為.
故選:A.
3．答案：C
解析：圓的圓心坐標為，
因為直線是圓的一條對稱軸，
所以直線過點，
所以，解得.
故選：C.
4．答案：D
解析：設第n排栽種的塔松的數(shù)量為
由題意知，，，
所以
故選：D.
5．答案：B
解析：
由拋物線的定義，得，
又，，
則，即，
因此，由點在C上，
得，結(jié)合，解得，
所以C的方程為.
故選：B.
6．答案：D
解析：設橢圓，，的長軸長分別為，，，
短軸長分別為，，，
焦距分別為，，，
由題意得，，
則，
，，
由，，
得，故.
故選：D.
7．答案：D
解析：設，相交于點O，根據(jù)題意，
以，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸
建立空間直角坐標系，如圖所示，
不妨設，則，，
則，，，
，，
因為點E是的中點，點F是的中點，
所以，，
所以，，
則，
因為異面直線夾角的取值范圍是,
所以異面直線和所成角的余弦值是.
故選:D.
8．答案：C
解析：設公差為d，由，
所以，
∴，公差，
又，
，
所以使得成立的正整數(shù)n的最大值為21.
故選：C.
9．答案：AB
解析：因，且，則的斜率必存在，
故，即，
化簡得，
解得或.
故選：AB.
10．答案：ACD
解析：當時，，所以，
當時，，
所以，所以，
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，.
故選：ACD.
11．答案：ABD
解析：如圖所示，不妨設A在第一象限，
則，
由于，得，，
由于，
所以，
故，
可得，故，
而，故，
由，得，
對于A，C的離心率，故A正確；
對于B，由以上分析可知，故B正確；
對于C，在中，，，，
故，故C錯誤；
對于D，的周長為，故D正確.
故選：ABD.
12．答案：2
解析：由題意知該拋物線的焦點為，準線方程為，
故焦點到準線的距離為2
故答案為：2
13．答案：
解析：由題意得，，圓C半徑為.
∵，，
∴點P，M在圓C內(nèi).
如圖1，連接CN，CA，則.
∵點N是線段AB的中點，∴，
∵，∴，
即.
設，則，
整理得，
∴點N在圓上，圓心，圓I半徑為2.
如圖2，當直線MN與圓相切時，取得最大值，
此時，.
故答案為：.
14．答案：0；
解析：∵，
∴，
∵，
∴，，，
∴.
以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，
，，，
∴，，，
設平面EAB的法向量為，
則，
取，則，，∴，
∴點F到平面EAB的距離是.
故答案為：0；.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)設數(shù)列的公差為d，
則由，得，
所以
即，
所以，，
因為，
所以，解得，
所以.
(2)由(1)知，
所以時，，
上面這個式子對也適合，所以時，.
16．答案：(1)
(2).
解析：(1)若圓Q經(jīng)過A，C，
則圓心必在的垂直平分線上，不合題意；
又與關于x軸對稱，圓心在x軸的正半軸上，
所以圓Q只能過點A，B，D三點，
因為，的中點為，
所以線段的垂直平分線的方程為，
即，
又線段的垂直平分線的方程為，
聯(lián)立方程組
解得，
所以圓心為，半徑為，
所以圓Q的方程為.
(2)設，因為，
所以，
化簡得，所以.
則點P在以為圓心，為半徑的圓上，
依題意該圓M與圓Q有兩個交點，即可兩圓相交，
又，
則，
解得.
17．答案：(1)
(2).
解析：(1)在直三棱柱中，，，
又，故以A為坐標原點，直線，，分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系（如圖所示），
則，，，
所以，，
，.
設平面的一個法向量，
則，即，
令，解得，，
所以，
設平面的一個法向量，
則，
即，
令，解得，，所以，
因為平面平面，所以，
所以，即，，
所以.
(2)當時，，結(jié)合(1)，
得，，
設直線與平面所成角為，
所以，
又，所以.
18．答案：(1)
(2)存在，點P的坐標為或.
解析：(1)由題意得，，
設，由
得，
整理得，點P的軌跡方程為.
(2)存在，理由如下：
設動直線l方程為，
直線斜率為，直線斜率為，
則，.
由
得，
∴，
由點M在動直線l上得，，
整理得，
同理得，
∴，是方程的兩個根，
∴，則為定值.
令，則，代入動直線方程得，
，
令，得，
代入動直線l方程得，，即，
點代入(1)中軌跡方程得，
，解得，
∴點P的坐標為或.
19．答案：(1)是數(shù)列，不是數(shù)列，理由見解析
(2)①證明見解析
②.
解析：(1)是數(shù)列，不是數(shù)列，理由如下：
令，則，，
因為為非零常數(shù)，
所以無窮數(shù)列是數(shù)列，相應的常數(shù)d的值為4.
令，則，
，，
因為不是非零常數(shù)，
所以無窮數(shù)列不是數(shù)列.
(2)①證明：因為是數(shù)列，且，
所以，是首項與公差都是1的等差數(shù)列，
所以，
.
，等號僅當時成立.
所以，即.
②由①知，
當n為奇數(shù)時，；
當n為偶數(shù)時，，
對任意的正整數(shù)n，有
，
，
，
兩式相減得
，
所以，
因此，
所以數(shù)列的前項和為.

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