一、選擇題
1．直線的傾斜角是( )
A.B.C.D.不存在
2．如圖.空間四邊形OABC中，，點M在OA上，且滿足，點N為BC的中點，則( )
A.B.
C.D.
3．若方程表示橢圓，則實數(shù)m的取值范圍為( )
A.B.
C.D.
4．若點在圓的外部，則實數(shù)k的取值范圍是( )
A.B.C.D.
5．若直線與曲線至少有一個公共點，則實數(shù)k的取值范圍是( )
A.B.
C.D.
6．下列說法正確的是( )
A.若，則是鈍角;
B.直線l的方向向量，平面的法向量，則;
C.直線l經(jīng)過點，，則到l的距離為
D.若是空間的一組基底，則也是空間的一組基底
7．已知直線l過點，且與圓交于A,B兩點，當面積最大時，l的方程為( )
A.B.或
C.D.或
8．已知O為坐標原點，P是橢圓E：上位于x軸上方的點，F(xiàn)為右焦點.延長PO，PF交橢圓E于Q，R兩點，，，則橢圓E的離心率為( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．已知直角坐標系中，，滿足的點P的軌跡為C，則下列結論正確的是( )
A.C上的點到直線的最小距離為
B.若點在C上，則的最小值是-1
C.若點在C上，則的最小值是-2
D.圓與C有且只有兩條公切線，則a的取值范圍是
10．設是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一動點，則下列說法中正確的是( )
A.的周長為
B.的最大值為36
C.滿足的點P有兩個
D.直線與圓相交
11．如圖，正方體棱長為2，分別是棱，棱的中點，點M是其側面上的動點（含邊界），下列結論正確的是( )
A.沿正方體的表面從點A到點P的最短距離為
B.過點的平面截該正方體所得的截面面積為
C.當時，點M的軌跡長度為
D.保持與垂直時，點M的運動軌跡長度為
三、填空題
12．已知分別為橢圓的左?右焦點，P為橢圓上一點且，則的大小為________.
13．函數(shù)的最小值為________.
14．畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學家蒙日發(fā)現(xiàn)：在橢圓中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于長、短半軸平方和的算術平方根，這個圓就稱為橢圓C的蒙日圓，其圓方程為.已知橢圓C的離心率為，點A，B均在橢圓C上，則點A與橢圓C的蒙日圓上任意一點的距離最小值為（用含b的式子表示），若，橢圓C的蒙日圓上存在點M滿足，則面積的最大值為________.
四、解答題
15．如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，平面
(1)證明：平面ADE；
(2)求平面ADE與平面CEF夾角的余弦值；
16．如圖，已知圓，點.
(1)求圓心在直線上，經(jīng)過點A，且與圓C相外切的圓N的方程；
(2)若過點A的直線m與圓C交于兩點，且圓弧恰為圓C周長的，求直線m的方程.
17．已知點，動點Q在圓上運動，線段的垂直平分線交于P點.
(1)求點P的軌跡方程；
(2)設直線與點P的軌跡交于A?B兩點，求面積的最大值.
18．如圖，在斜三棱柱中，底面是邊長為4的正三角形，側面為菱形，已知，.
(1)當時，求三棱柱的體積；
(2)設點P為側棱上一動點，當時，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.
19．常用測量距離的方式有3種.設，定義歐幾里得距離；定義曼哈頓距離，定義余弦距離，其中（O為坐標原點）.
(1)求滿足的點H的軌跡所圍成的圖形面積；
(2)若，求的取值范圍；
(3)動點P在直線上，動點Q在函數(shù)圖象上，求的最小值.
參考答案
1．答案：B
解析：直線與x軸垂直，
的傾斜角為.
故選：B.
2．答案：B
解析：如圖，
故選：B
3．答案：C
解析：變形為，
要表示橢圓需要滿足，
解得
故選：C
4．答案：C
解析：因為點在圓的外部，
所以，
解得.
故選：C
5．答案：B
解析：直線l：恒過定點，
由，
得到，
所以曲線C表示以點為圓心，半徑為1，且位于直線右側的半圓（包括點，），如下圖所示：
當直線l經(jīng)過點時，l與曲線C有一個不同的交點，此時，
當l與半圓相切時，由，得，
由圖可知，當時，l與曲線C至少有一個公共點，
故選：B
6．答案：D
解析：對于A，若，則是鈍角或平角，故A錯誤；
對于B，因為直線l的方向向量，平面的法向量，
則，
故與不共線，即不成立，故B錯誤；
對于C，因為，，，
則，，，
故到l的距離為，故C錯誤；
對于D，利用反證法的思想，
假設三個向量共面，
則，
所以，
若，則，則共線，
與是空間的一組基底矛盾；
若，則，則共面，
與是空間的一組基底矛盾；
所以假設不成立，即不共面，
所以也是空間的一組基底，故D正確；
7．答案：D
解析：依題意，圓的圓心，半徑，
顯然，
即點在圓C內(nèi)，設AB的中點為D，連接CD
設,則
面積
當且僅當即時等號成立
此時，圓心C到直線的距離
故過點P的直線斜率一定存在，設其方程為
則，解得或，
此時直線方程為或
故選：D
8．答案：C
解析：如圖，設左焦點為，連接，，，
由題，P，Q關于原點對稱，
所以四邊形為平行四邊形，
又因為，
所以四邊形為矩形.
設，
又因為，
則，
則，，，
在中，，
即，
解得或（舍去），
故，
由，所以，
即，所以離心率.
故選：C
9．答案：C
解析：設
，，且，
，
化簡得：，
，
圓心，
所以C上的點到直線的最小距離為
，故A正確.
令，即
當與圓C相切時b取最值，
，
此時或，
的最小值是－1，故B正確.
令即，
當與圓相切時k取最值，
，
此時或，
的最小值是，故C錯誤.
因為圓，所以圓心為，
半徑為與C有且只有兩條公切線，
所以，即，
解得，故D正確.
故選：ABD
10．答案：ABD
解析：由，得，
則，
因為P是橢圓上一點，
所以，
所以，故A正確；
對B：由，
則，
當且僅當時，等號成立，
故的最大值為36，故B正確；
對C：因為橢圓與圓有四個交點，故C錯誤；
對D：圓的圓心為，半徑為1，
則圓心到直線的距離，
由是C上一點（除去與軸的交點），
故有且，
則，
即，
則，
即，
故直線與圓相交，故D正確.
故選：ABD
11．答案：ABD
解析：對于A中，如圖所示，將正方形沿著展在平面，
在直角中，
可得，
將沿著展開到與平面重合，
在直角中，可得，所以A正確；
對于B中，如圖所示，連接，
因為為的中點，可得，
因為，所以，
所以過點的平面截該正方體所得的截面為等腰梯形，
其中，
且，
可得高為，
可得等腰梯形的面積為，所以B正確；
對于C中，取的中點E，
連接，因為P為的中點，所以，
因為平面，可得平面，
又因為平面，所以，
在直角中，由，
可得，
所以點M的軌跡為以E為圓心，半徑為的圓在正方形內(nèi)的部分，
如圖所示，在直角中，由，
可得，
所以，可得，
即當時，點M的軌跡長度為，所以C錯誤；
對于D中，以D為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
如圖所示，可得，
設，其中，
則，
因為與垂直，可得，即，
令，可得；當，可得，
即直線與正方形的邊的交點為，
可得，所以D正確.
故選：ABD
12．答案：
解析：由橢圓可知，
故，結合，
可得，而，
,,
故答案為：
13．答案：
解析：=表示、的距離，
表示、的距離，
又關于x軸的對稱點
所以，
所以.
14．答案：
解析：由離心率，
且可得，
所以蒙日圓方程；
由于原點O到蒙日圓上任意一點的距離為，
原點O到橢圓上任意一點的距離最大值為，
所以橢圓C上的點A與橢圓C的蒙日圓上任意一點的距離最小值為；
若，則橢圓C的方程為，
即，蒙日圓方程為，
不妨設，因為其在蒙日圓上，所以，
設，又，
所以可知與橢圓相切，
此時可得直線的方程為，
同理直線的方程為；
將代入的直線方程中可得，
所以直線的方程即為，
聯(lián)立，
消去y整理可得；
由韋達定理可得,
所以，
原點O到直線的距離為，
因此的面積
；
當且僅當，
即時等號成立，
因此面積的最大值為，
15．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1)取的中點G，連接，
因為，且，則且，
可知四邊形是平行四邊形，
則，且，
又因為是菱形，則，且，
可得且，可知四邊形是平行四邊形，
則，
且平面平面，
所以平面
(2)連接交于N，取中點P
因為平面，
則平面，且，
以N為原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
則，
.
設平面CEF的一個法向量為，
則
令，則，可得
設平面ADE的一個法向量為,
同理可得
設平面ADE與平面CEF的夾角為，
則
平面ADE與平面CEF夾角余弦值為
16．答案：(1)
(2)或
解析：(1)由，
化為標準方程：.
所以圓C的圓心坐標為，
又圓N的圓心在直線上，設圓N的圓心坐標為，
又經(jīng)過點A，且與圓C相外切，所以切點為O，
則有
即，
解得，
所以圓N的圓心坐標為，半徑，
故圓N的方程為
(2)因為圓弧PQ恰為圓C周長的，所以
所以點C到直線m的距離為2.
當直線m的斜率不存在時，點C到y(tǒng)軸的距離為2，
直線m即為y軸，所以此時直線m的方程為.
當直線m的斜率存在時，設直線m的方程為，
即
所以，解得.
所以此時直線m的方程為
綜上，所求直線m的方程為或.
17．答案：(1)
(2)3
解析：由題意，圓的圓心為，點，
線段的垂直平分線交于點P，
所以
又由，
所以點P滿足，
由橢圓的定義知，點P軌跡是以為焦點的橢圓，其中，
可得，所以，
所以點P的軌跡方程為
(2)設，
則由
可得，
此時
而
到的距離為
故的面積
令，設，
則由對勾函數(shù)性質知在上為增函數(shù)
故,即S的最大值為3.
18．答案：(1)24
(2)
解析：(1)如圖，取的中點為O，
因為為菱形，且，
所以為正三角形，
又有為正三角形且邊長為4，
則，，
且，，
所以，
所以，
因為又，
平面，平面，
所以平面
所以三棱柱的體積.
(2)在中，，，
由余弦定理可得，
所以
由(1)，，
又，平面，平面，
所以平面，
因為平面，
所以平面平面
所以在平面內(nèi)作，
則平面，
以，，所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系如圖所示：
則，，，，
，，
，，
設是平面的一個法向量，
則，
即，
取得
設，
則
設直線與平面所成角為，
則
令，
則在單調(diào)遞增，
所以
故直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為
19．答案：(1)2
(2)
(3)
解析：(1)設，
則
當時，則；當時，則；
當時，則；當時，則.
如圖，點H的軌跡是一個邊長為的正方形
點H的軌跡所圍成的圖形面積為
(2)因
令
則，
即與有交點，
也即半圓與直線有交點，
下面，先計算直線與半圓相切和經(jīng)過點時的情況.
由圓心到直線的距離解得，，
由題知此時，即；
又由，代入點，解得，
由題知，要使兩者有交點，需使
此時，
因，
則有；
(3)設動點，
則
因，
所以，
①當時，，
此時，
當且僅當時取得；
②當時，，
此時；
③當時，，
此時
又，
所以，
綜合得，
當時取等號.
即的最小值為

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