一、選擇題
1．命題無論x取何實(shí)數(shù),必有,則為( )
A.,都有B.,都有
C.,使得D.,使得
2．設(shè)集合,,則( )
A.B.C.D.
3．已知函數(shù),則( )
A.B.C.0D.1
4．已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增,則的單調(diào)減區(qū)間為( )
A.B.C.D.
5．已知是奇函數(shù),當(dāng)時(shí),且,又,則( )
A.25B.C.D.
6．若,,則m,n不能滿足的條件為( )
A.m為奇數(shù),n為偶數(shù)B.m為偶數(shù),n為奇數(shù)
C.m,n均為奇數(shù)D.m,n均為偶數(shù)
7．已知,,,則a,b,c的大小關(guān)系為( )
A.B.
C.D.
8．已知偶函數(shù)的定義域?yàn)?且當(dāng)時(shí),（為不超過x的最大整數(shù)）.則關(guān)于x的不等式的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為( )
A.2023B.2024C.2026D.2027
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是( )
A.與
B.與
C.與
D.,與,
10．已知,都有.下列各式一定成立的是( )
A.B.
C.D.
11．已知函數(shù),.下列說法正確的是( )
A.為奇函數(shù)
B.
C.,使得
D.,都有
三、填空題
12．根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式為___________.
13．集合,,則的一個(gè)充分不必要條件為____________.（用m表示）
14．對(duì)于,滿足恒成立,則a的取值范圍為____________.
四、解答題
15．已知集合,.
(1)當(dāng),求;
(2)當(dāng)且,求a的范圍.
16．已知直角三角形中,,.設(shè)兩直角邊長(zhǎng)分別為a,b.斜邊上的定點(diǎn)D到兩直角邊,的距離分別為1,2.
(1)求三角形的面積最小值;
(2)用表示三角形的周長(zhǎng),并求其最小值.
17．已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)在的單調(diào)性,并用定義證明;
(2)求函數(shù)在的值域.
18．已知函數(shù)具有性質(zhì)（為常數(shù)且）,則稱該函數(shù)為“倒裝函數(shù)”.
(1)請(qǐng)?jiān)谝韵氯齻€(gè)函數(shù)中找出“倒裝函數(shù)”,求出對(duì)應(yīng)的的值并說明理由;
①;
②;
③.
(2)已知函數(shù).
（i）證明：;
（ii）討論方程的實(shí)根的個(gè)數(shù).
19．有限集A中元素均為正整數(shù),設(shè)A中的元素.當(dāng),都存在,使得,則稱A中的元素是“完全可拆”;當(dāng),,則稱A中的元素是“完全不可拆”.
(1)判斷集合,且中的元素是“完全可拆”或“完全不可拆”,并說明理由;
(2)若,,且A中的元素“完全可拆”,求n的最小值;
(3)若為奇數(shù),且A中的元素“完全不可拆”,求n的最大值（用N表示）.
參考答案
1．答案：D
解析：由題意可知,命題,,該命題為全稱量詞命題,
故,使得,
故選：D.
2．答案：A
解析：由,即,所以,即,
由,即,等價(jià)于,解得或,
所以,
所以.
故選：A.
3．答案：C
解析：因?yàn)?則,
所以,,
故選：C.
4．答案：B
解析：因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增,所以在R上單調(diào)遞增,
設(shè),
由,解得或,
所以在上單調(diào)遞減,
所以的單調(diào)減區(qū)間為.
故選：B.
5．答案：C
解析：因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù),當(dāng)時(shí),且,
則,即,所以,,
所以,當(dāng)時(shí),,故,
故選：C.
6．答案：A
解析：對(duì)于A：因?yàn)?當(dāng)m為奇數(shù),n為偶數(shù)時(shí),,此時(shí)無意義,不合題意,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B：因?yàn)?當(dāng)m為偶數(shù),n為奇數(shù)時(shí),,此時(shí),符合題意,故B正確;
對(duì)于C：因?yàn)?當(dāng)m為奇數(shù),n為奇數(shù)時(shí),,此時(shí),符合題意,故C正確;
對(duì)于D：因?yàn)?當(dāng)m為偶數(shù),n為偶數(shù)時(shí),,此時(shí),符合題意,故D正確;
故選：A
7．答案：D
解析：因?yàn)樵诙x域R上單調(diào)遞減且過點(diǎn),
定義域?yàn)?在定義域上單調(diào)遞增且過點(diǎn),
在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出與的圖象如下：
所以與有且僅有一個(gè)交點(diǎn),且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)屬于,又,
所以,又,所以,
因?yàn)?所以,
綜上可得.
故選：D.
8．答案：C
解析：因?yàn)槭桥己瘮?shù),當(dāng)時(shí),,
所以,當(dāng)時(shí),,
關(guān)于x的不等式,
當(dāng)時(shí),,
當(dāng),時(shí),不等式不成立,
當(dāng)時(shí),則,不等式成立,
當(dāng)時(shí),則,不等式成立,
當(dāng)時(shí),則,不等式成立,
當(dāng)時(shí),由和,的圖象可知,不等式不成立,
所以不等式的整數(shù)解有3個(gè),
當(dāng)時(shí),,
此時(shí),不等式成立,
又,則在時(shí),
不等式的整數(shù)解有2023個(gè),
所以關(guān)于x的不等式的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為2026個(gè).
故選：C.
9．答案：BC
解析：對(duì)于A,兩個(gè)函數(shù)的定義域均為R,因?yàn)?則兩者對(duì)應(yīng)關(guān)系不同,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,兩個(gè)函數(shù)的定義域均為R,兩者對(duì)應(yīng)關(guān)系相同,故B正確;
對(duì)于C,兩個(gè)函數(shù)的定義域均為,又,兩者對(duì)應(yīng)關(guān)系相同,故C正確;
對(duì)于D,兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,兩者對(duì)應(yīng)關(guān)系不相同,故D錯(cuò)誤;
故選：BC.
10．答案：BCD
解析：因?yàn)?都有,
對(duì)于A,令,,則,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,因?yàn)?則,
因?yàn)?所以,故B正確;
對(duì)于C,,則,
因?yàn)?則,
,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,
所以,則,故C正確;
對(duì)于D,因?yàn)?又,
所以,則,故D正確.
故選：BCD.
11．答案：AD
解析：函數(shù),的定義域均為R,
且,,
所以為偶函數(shù),為奇函數(shù),
則,
所以為奇函數(shù),故A正確;
因?yàn)?,
所以,故B錯(cuò)誤;
因?yàn)?所以,
所以不存在,使得,故C錯(cuò)誤;
因?yàn)榕c在定義域R上單調(diào)遞增,所以在定義域R上單調(diào)遞增,
又,所以,都有,故D正確;
故選：AD.
12．答案：
解析：.
故答案為：.
13．答案：（m的范圍為集合的真子集即可）
解析：因?yàn)榧?,且,則,
故使得的一個(gè)充分不必要條件為“”.
故答案為：（m的范圍為集合的真子集即可）.
14．答案：
解析：因?yàn)?,所以,
當(dāng)時(shí),,所以,
所以恒成立;
當(dāng)時(shí),的圖象恒在的圖象下方,
又,
則由,得,
則,即,解得或,
則由,得,
則,即,解得或,
因?yàn)?所以,
綜上,a的取值范圍為.
故答案為：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由已知,
,
當(dāng)時(shí),,
所以.
(2)因?yàn)?即,
當(dāng)時(shí),,,則,
所以,則,解得,
則,得,
因?yàn)?所以,解得,
綜上,a的范圍為.
16．答案：(1)4
(2)三角形的周長(zhǎng)為;三角形的周長(zhǎng)的最小值為10.
解析：(1)由已知,過點(diǎn)D作到兩直角邊,的垂線,垂足分別為E,F,
則,,,,
所以,則,
設(shè),則,
所以,,
所以,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,
所以三角形的面積最小值為4;
(2)在直角三角形中,,,則,
由(1),,,,,,
所以三角形的周長(zhǎng)為
,
因?yàn)?所以,
令,,則,
則
,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,
所以三角形的周長(zhǎng)的最小值為10.
17．答案：(1)函數(shù)在上單調(diào)遞減,證明見解析
(2)
解析：(1)函數(shù)在上單調(diào)遞減,證明如下：
任取、且,
則
,
因?yàn)?則,,,
因?yàn)?,則,可得,
所以,即,
所以函數(shù)在上是減函數(shù).
(2)任取、,且,即,則,
,可得,且,,,
所以,即,
所以函數(shù)在上為增函數(shù),
故當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以,
又因?yàn)?,所以,,
因此函數(shù)在的值域?yàn)?
18．答案：(1)①③不是,②是,且
(2)（i）證明見解析;（ii）答案見解析
解析：(1)對(duì)于①,若函數(shù)為“倒裝函數(shù)”,則,
且,整理可得,該等式不恒成立,
所以,函數(shù)不是“倒裝函數(shù)”;
對(duì)于②,若函數(shù)為“倒裝函數(shù)”,則,
且,整理可得恒成立,
所以,,所以,函數(shù)為“倒裝函數(shù)”;
對(duì)于③,若函數(shù)為“倒裝函數(shù)”,則,
即,整理可得,該等式不恒成立,
所以,函數(shù)不是“倒裝函數(shù)”.
(2)（i）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽,
,則函數(shù)為奇函數(shù),
且,要證,只需證當(dāng)時(shí),即可.
當(dāng)時(shí),
,
令,因?yàn)?則,
則,
由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)在上單調(diào)遞增,
函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,函數(shù)在單調(diào)遞減,
所以,,
即當(dāng)時(shí),,
因此,對(duì)任意的,;
（ii）由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
函數(shù)在單調(diào)遞減,
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù),所以,函數(shù)在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
且當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
作出函數(shù)的圖象如下圖所示：
由圖可知,當(dāng)或時(shí),直線與函數(shù)的圖象無交點(diǎn),
此時(shí),方程無實(shí)根;
當(dāng)時(shí),直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn),
此時(shí),方程只有一個(gè)根;
當(dāng)或時(shí),直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),
此時(shí),方程有兩個(gè)實(shí)根.
故當(dāng)或時(shí),方程的根的個(gè)數(shù)為0;
當(dāng)時(shí),方程的根的個(gè)數(shù)為1;
當(dāng)或時(shí),方程的根的個(gè)數(shù)為2.
19．答案：(1)A中的元素是“完全可拆”;B中的元素是“完全不可拆”
(2)9
(3)
解析：(1)集合,
因?yàn)?,,
滿足定義,所以A中的元素是“完全可拆”;
集合且,
設(shè)任意,,則,,其中,,且,,,
則,
故B中的元素是“完全不可拆”.
(2)由題意,,,則,,
又A中的元素是“完全可拆”,
可知,都存在,使得,
則,（）
且,由A中元素均為正整數(shù),.
所以,,.
①當(dāng)時(shí),,
由,,,,,
,,.
所以A中的元素是“完全可拆”,此時(shí),;
②下面證明,不符合題意.
若,即集合滿足,,且A中的元素是“完全可拆”,.
由上已知,,.
故由,可知,故;
依此類推,可知,,,,.
因?yàn)?
若,則,故不可能.
若,則,則,所以,;
若,
若,則,故不可能.
若,則,,所以,,
同理,由,;
又因?yàn)闉槠鏀?shù),故也不成立,即不存在滿足題意的.
故不存在這樣的集合A滿足,,
故.
同理依次可得,若,均不存在這樣的集合A,滿足.
綜上所述,n的最小值為9.
(3)由題意,A中的元素,則,.
A中元素均為正整數(shù),則,又N為奇數(shù),即.
①先證明：若集合A中的的元素“完全不可拆”,為奇數(shù),則.
預(yù)備結(jié)論：集合A中的的元素“完全不可拆”,對(duì)任意,,
若,則.下面用反證法證明該結(jié)論成立.
證明：假設(shè),
因?yàn)镹為奇數(shù),所以,即.
由A中的元素是“完全不可拆”,則當(dāng),,
因?yàn)?,且,
所以,這與矛盾.
故假設(shè)錯(cuò)誤,所以若,則,得證.
①先證明：若集合A中的的元素“完全不可拆”,,則.
由上所證結(jié)論可知,將（N為奇數(shù),且）這N個(gè)自然數(shù)分組：
,,,,,
前組數(shù)中每組至多1個(gè)是集合A的元素,
又,故集合A中至多個(gè)元素.
即若,則,得證.
②給出集合,即,
集合A滿足,且.
下面證明A中的元素“完全不可拆”.
證明：,,且,
則,,
,故A中的元素“完全不可拆”.
綜上所述,n的最大值為.

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