一、選擇題
1．已知,,則( )
A.-1B.0C.1D.2
2．橢圓上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為6,則P到右焦點(diǎn)的距離為( )
A.5B.6C.4D.12
3．“”是“直線與圓相切”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分條件也不必要條件
4．下列命題中,不正確的命題是( )
A.空間中任意兩個(gè)向量一定共面
B.若,則存在唯一的實(shí)數(shù),使得
C.對(duì)空間中任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A,B,C,若,則P,A,B,C四點(diǎn)共面
D.若是空間的一個(gè)基底,,則也是空間的一個(gè)基底
5．平行六面體的底面是邊長為2的正方形,且,,M為,的交點(diǎn),則線段的長為( )
A.B.C.3D.
6．在平面直角坐標(biāo)系中,直線被圓截得的最短弦的長度為( )
A.B.2C.D.4
7．已知,分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P是橢圓E上的點(diǎn),,且,則橢圓E的離心率為( )
A.B.C.D.
8．如圖是一個(gè)棱數(shù)為24,棱長為的半正多面體,它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上,可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得.若點(diǎn)E為線段上的動(dòng)點(diǎn),則直線與直線所成角的余弦值的取值范圍是( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．空間直角坐標(biāo)系中,已知,,下列結(jié)論正確的有( )
A.
B.點(diǎn)A關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為
C.若,則
D.若,,則
10．如圖,在棱長為2的正方體中,E,F,G分別為棱,,的中點(diǎn),則( )
A.直線與所成角的余弦值為
B.點(diǎn)F到直線的距離為1
C.平面
D.點(diǎn)到平面的距離為
11．已知橢圓,,分別為它的左右焦點(diǎn),A,B分別為它的左右頂點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),下列結(jié)論中正確的有( )
A.存在P使得B.橢圓C的弦MN被點(diǎn)平分,則
C.,則的面積為9D.直線PA與直線PB斜率乘積為定值
三、填空題
12．已知直線l的一個(gè)方向向量為,則直線l的斜率為______________.
13．已知F為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)M在C上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若,則的面積為_____________.
14．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元首262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果,著作中這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)（且）的點(diǎn)的軌跡是圓,后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓,已知點(diǎn),,圓,在圓上存在點(diǎn)P滿足,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______________.
四、解答題
15．已知的頂點(diǎn),邊上的高所在直線為,D為中點(diǎn),且所在直線方程為.
(1)求邊所在的直線方程;
(2)求頂點(diǎn)B的坐標(biāo).
16．已知空間三點(diǎn),,.
(1)求向量與夾角的余弦值;
(2)求的面積.
17．已知圓C的圓心M在直線上,并且經(jīng)過點(diǎn),與直線相切.
(1)求圓C的方程;
(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線l與圓C相交于A,B兩點(diǎn),若,求直線l的方程.
18．已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),左焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)的直線l交橢圓C于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B,若（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積,求直線AB的方程.
19．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),圓,直線,如圖,直線l與圓O相交于A（A在x軸的上方）,B兩點(diǎn),圓O與x軸交于M,N兩點(diǎn)（M在N的左側(cè)）,將平面沿x軸折疊,使y軸正半軸和x軸所確定的半平面（平面）與y軸負(fù)半軸和x軸所確定的半平面（平面）互相垂直,再以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),折疊后原y軸負(fù)半軸,原x軸正半軸,原y軸正半軸所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
(1)若.
（?。┣笕忮F的體積;
（ⅱ）求二面角的余弦值.
(2)是否存在m,使得折疊后的長度與折疊前的長度之比為？若存在,求m的值;若不存在,請說明理由.
參考答案
1．答案：B
解析：因?yàn)?
故選：B.
2．答案：C
解析：由,則,所以,
根據(jù)橢圓的定義,點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為.
故選：C.
3．答案：A
解析：圓的圓心為,半徑為,
若直線與圓C相切,則,解得或3,
且是的真子集,
所以“”是“直線與圓相切”的充分不必要條件.
故選：A.
4．答案：B
解析：A選項(xiàng),空間中任意兩個(gè)向量可以通過平移的方法平移到同一個(gè)平面,
所以空間中任意兩個(gè)向量一定共面,A選項(xiàng)正確.
B選項(xiàng),若,可能是非零向量,是零向量,
此時(shí)不存在,使,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
C選項(xiàng),對(duì)于,有,所以P,A,B,C四點(diǎn)共面,
所以C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng),若是空間的一個(gè)基底,,
假設(shè),,,
則,,共面,與已知矛盾,所以,,不共面,
所以是基底,所以D選項(xiàng)正確.
故選：B.
5．答案：A
解析：由題意可知：,
則
,
所以.
故選：A.
6．答案：C
解析：直線過定點(diǎn),
圓,圓心,半徑
因?yàn)辄c(diǎn)在圓M內(nèi),由圓的幾何性質(zhì)可知,當(dāng)直線l時(shí),
弦長最短為,
故選：C.
7．答案：C
解析：由橢圓定義得：,又因?yàn)?
所以解得：,
再由于,,結(jié)合勾股定理可得：,
解得,所以橢圓E的離心率為,
故選：C.
8．答案：C
解析：由題意得該幾何體有6個(gè)面為邊長為的正方形,8個(gè)面為邊長為的等邊三角形,
在原正方體中建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,原正方體邊長為2,
則,,,設(shè),,
,,
則直線DE與直線AF所成角的余弦值,
而,故,,
故選：C.
9．答案：ACD
解析：由題意,A正確;
關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)x,y坐標(biāo)相同,z坐標(biāo)相反,因此點(diǎn)A關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為,B錯(cuò),
若,則,所以,C正確;
若且,則,解得,D正確,
故選：ACD.
10．答案：BC
解析：如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,,,,
且E,F,G分別為棱,,的中點(diǎn),可知,,
可得,,,,,
對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?
所以直線與所成角的余弦值為,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)樵诜较蛏系耐队跋蛄康哪ｉL為,且,
點(diǎn)F到直線的距離為,故B正確;
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?可得,
且,,平面,所以平面,故C正確;
對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄靠梢詾?
點(diǎn)到平面的距離為,故D錯(cuò)誤;
故選：BC.
11．答案：ABC
解析：對(duì)于A.由余弦定理知
,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,
因?yàn)樵谏线f減,所以此時(shí)為鈍角最大,
所以存在P使得,所以A正確;
對(duì)于B.當(dāng)直線MN的斜率不存在,即直線時(shí),,,
不是線段MN的中點(diǎn),所以直線MN的斜率存在.
設(shè),,則,兩式相減并化簡得,
所以,所以B正確;
對(duì)于C.,,
因?yàn)?所以,
因?yàn)?解得.
因?yàn)?所以,所以C正確;
對(duì)于D.,,設(shè),則,整理得,
可得直線PA,PB的斜率分別為,,
所以,所以D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
12．答案：-5
解析：由題意可知,直線l的斜率為.
故答案為：-5.
13．答案：
解析：法一：設(shè)橢圓上,則,又,
聯(lián)立解得,,
則.
法二：設(shè)橢圓的另一焦點(diǎn),,則焦點(diǎn)為直角三角形,
設(shè),,則,,解得,
所以.
則.
故答案為：.
14．答案：
解析：設(shè),因?yàn)辄c(diǎn),,,
所以,即,
所以,可得圓心,半徑,
由圓可得圓心,半徑,
因?yàn)樵趫AC上存在點(diǎn)P滿足,
所以圓與圓有公共點(diǎn),
所以,整理可得：,
解得,
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是,
故答案為：.
15．答案：(1);
(2).
解析：(1)由邊上的高所在直線的斜率為1,得直線的斜率為-1,
又直線過,所以直線的方程為,即.
(2)由直線的方程為,而頂點(diǎn)B為直線與直線的交點(diǎn),
由,解得,
所以點(diǎn).
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)由,,,
則,,,,
所以;
(2)由(1)得,
則,
所以.
17．答案：(1)
(2)或
解析：(1)設(shè)圓的方程為,
由已知得,
解得,,,
所以圓的方程為,即;
(2)① 若直線l有斜率,可設(shè)的方程為,即,
由已知,則圓心到直線l的距離
解得,
此時(shí),直線l的方程為,即;
② 若直線l沒有斜率,則l的方程為,
將其代入,可得或,
即得,,滿足條件,
綜上所述,直線l的方程為或.
18．答案：(1);
(2)或.
解析：(1)根據(jù)題意,設(shè)橢圓C的方程為=1,
因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為,設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,
由橢圓的定義知,所以,所以,
所以,
所以橢圓C的方程為,
(2)設(shè),,
由題可設(shè)直線AB的方程為.
聯(lián)立直線與橢圓的方程,,消去x得,
則有,,
所以
又由,即
解得,即.
故直線AB的方程為,即或
19．答案：(1)（?。?（ⅱ）
(2)存在,
解析：(1)（?。┤?折疊前直線l的方程為,
聯(lián)立,解得或,可得,,
圓,與x軸交于M,N兩點(diǎn),則,
折疊后三棱錐的體積為.
（ⅱ）由（ⅰ）及已知,則,,,,
,.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
則,即,
令,則,,所以.
易知為平面的一個(gè)法向量,
設(shè)二面角的大小為,由題可知為銳角,
所以
故二面角的余弦值為.
(2)設(shè)折疊前,,圓心到直線l的距離,
則,
直線l與圓O方程聯(lián)立得,
即,.
設(shè)A,B在新圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為,,
,,
.
若折疊后的長度與折疊前的長度之比為,
則,解得,
故當(dāng)時(shí),折疊后的長度與折疊前的長度之比為.

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