本試卷共4頁，19題．全卷滿分150分，考試用時120分鐘．
出題人：中心命題組 審題人：
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用列舉法求出集合，再根據(jù)交集的運算求解即可.
【詳解】，
所以，
故選：C.
2. 已知全集，集合，那么陰影部分表示的集合為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)韋恩圖知陰影部分為，結合集合交集、補集的運算求集合即可.
【詳解】由題圖，陰影部分為，而或，且，
所以.
故選：A
3. “”是“，”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】由條件， 列出不等式，求出 , 從而判斷出答案.
【詳解】, 則要滿足 , 解得: ,
因為 不能推出, 但 可以推出，
故“”是“”必要不充分條件.
故選：B
4. “”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念判斷即可.
【詳解】因為能推出，
而不能推出，例如，不能推出,
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
5. 命題“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，把任意改為存在，把結論否定.
【詳解】“”的否定是“”.
故選：D
6. 設，，，且，則下列各不等式中恒成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用特殊值法即可判斷ABC錯誤，根據(jù)不等式的性質可判斷D.
【詳解】對于選項A，若，則，故A錯；
對于選項B，若，則，故B錯誤;
對于選項C，若，則，故C錯誤;
對于選項D，因為，由不等式的可加性知，故D正確.
故選:D.
7. 已知，，下列關系正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】明確集合A，B分別是數(shù)集和點集，根據(jù)集合的相等的概念以及元素和集合的關系，一一判斷各選項，即得答案.
【詳解】由題意知，A表示的為數(shù)集，
表示的是點集，
則，A錯誤；
，故，B正確；
1是一個數(shù)，B代表點集，故，C正確；
由于，故，D正確，
故選：BCD
8. 已知，，，則下列說法不正確的是（ ）
A. 的最大值為
B. 的最大值為
C. 的最小值為0
D. 的最小值為
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本不等式對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項，，當且僅當時等號成立，A選項正確.
B選項，，當且僅當時等號成立，B選項正確.
C選項，由于都是正數(shù)，所以C選項錯誤.
D選項，
，
當且僅當時等號成立，所以D選項正確.
故選：C
【點睛】方法點睛：
均值不等式的應用：通過均值不等式來求解和的最大值，是解這類題目的常用技巧，對基本不等式的理解和應用是求解此類問題的關鍵，在利用基本不等式求解最值問題時，要注意等號成立的條件.
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，選對但不全得部分分，有選錯的得0分．）
9. 已知關于的不等式的解集是或，則下列說法正確的是（ ）
A.
B. 不等式的解集是
C. 不等式的解集是
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由一元二次不等式與解集的關系可判斷A選項；利用韋達定理可得出、與的等量關系，利用一次不等式的解法可判斷B選項；利用二次不等式的解法可判斷C選項；計算可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，因為關于不等式的解集是或，則，A對；
對于B選項，由題意可知，關于的方程的兩根分別為，，
由韋達定理可得，可得，，則，
由可得，解得，B錯；
對于C選項，由可得，即，解得，
因此，不等式的解集是，C對；
對于D選項，，D對
故選：ACD.
10. 下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（）
A. 與
B. 與
C. 與
D. 與
【答案】AC
【解析】
【分析】分別求出四個選項中,每個選項兩個函數(shù)的定義域和對應關系是否相同即可求解。
【詳解】對于選項,的定義域為,的定義域為，定義域相同，對應關系也相同，是同一個函數(shù)；
對于選項，的定義域為的定義域為，定義域相同對應關系不同，不是同一個函數(shù)；
對于選項，的定義域，的定義域為，定義域相同，且g(x)=x(x>0)-x(x≤0)，與對應關系也相同，是同一個函數(shù)；
對于選項，的定義域為,的定義域為,對應關系不同，不是同一個函數(shù).
故選：AC.
11. 設集合，則對任意的整數(shù)，形如的數(shù)中，是集合中的元素的有
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】將分別表示成兩個數(shù)的平方差，故都是集合中的元素，再用反證法證明.
【詳解】∵，∴.
∵，∴.
∵，∴.
若，則存在使得，
則和的奇偶性相同.
若和都是奇數(shù)，則為奇數(shù)，而是偶數(shù)，不成立；
若和都是偶數(shù)，則能被4整除，而不能被4整除，不成立，∴.
故選ABD
【點睛】本題考查集合描述法的特點、代表元元素特征具有的性質，考查平方差公式及反證法的靈活運用，對邏輯思維能力要求較高.
三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 對于集合，，我們把集合，叫做集合A與B的差集，記作，若，，則________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)求出的值，進而根據(jù)集合的定義求解即可.
【詳解】因為,
所以，即，
所以，
所以，
所以.
故答案為：
13. 函數(shù)的定義域為________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)定義域的求法來求得正確答案.
【詳解】由，得，解得或且，
所以的定義域為.
故答案為：
14. 若函數(shù)在區(qū)間1,4內(nèi)有零點（即函數(shù)y=fx在1,4區(qū)間內(nèi)與軸有交點），則實數(shù)的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】配方后得到函數(shù)單調性，從而結合零點存在性定理得到不等式組，求出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】由題意得:為連續(xù)函數(shù),
且在上單調遞減,在上單調遞增,
故,
所以只需f(1)>0f(3)≤0或f(4)>0f(3)≤0,
解得:,
所以實數(shù)的取值范圍是.
故答案為:
四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
15. 已知對于成立；關于a的不等式成立．
（1）若p為真命題，求a的取值范圍；
（2）若p是q的必要不充分條件，求b的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用列式計算；
（2）解二次不等式得，再根據(jù)p是q的必要不充分條件得集合間的包含關系，進而可得b的取值范圍．
【小問1詳解】
對于成立，得，解得；
即若p為真命題，a的取值范圍為；
【小問2詳解】
對于關于a的不等式成立，
得，解得，
若p是q的必要不充分條件，則?，
得.
16. 已知函數(shù)是二次函數(shù)，，．
（1）求的解析式；
（2）解不等式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根據(jù)得對稱軸為，再結合頂點可求解;
(2)由（1）得，然后直接解不等式即可.
【小問1詳解】
由，知此二次函數(shù)圖象的對稱軸為，
又因為，所以是的頂點，
所以設
因為，即
所以得
所以
【小問2詳解】
因為所以
化為，即或
不等式的解集為
17. 已知集合.在①；②“”是“”的充分不必要條件；③這三個條件中任選一個，補充到本題第②問的橫線處，求解下列問題.
（1）當時，求；
（2）若______，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）或
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）利用集合的交并補運算即可得解；
（2）選①③，利用集合的基本運算，結合數(shù)軸法即可得解；選②，由充分不必要條件推得集合的包含關系，再結合數(shù)軸法即可得解.
【小問1詳解】
當時，，而，
所以，則或.
【小問2詳解】
選①：
因為，所以，
當時，則，即，滿足，則；
當時，，由得，解得；
綜上：或，即實數(shù)的取值范圍為；
選②：
因為“”是“”的充分不必要條件，所以是的真子集，
當時，則，即，滿足題意，則；
當時，，則，且不能同時取等號，解得；
綜上：或，即實數(shù)的取值范圍為；
選③：
因為，
所以當時，則，即，滿足，則；
當時，，由得或，解得或，
又，所以或；
綜上：或，實數(shù)的取值范圍為.
18. 已知函數(shù)，的解集為．
（1）求的解析式；
（2）當時，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依題意，為方程的兩個根，利用韋達定理得到方程組，解得、，即可求出求出函數(shù)解析式；
（2）由（1）可得，利用基本不等式求出函數(shù)的最大值；
【小問1詳解】
解：因為函數(shù)，的解集為，
那么方程的兩個根是，，且，
由韋達定理有
所以．
【小問2詳解】
解：，
由，所以，當且僅當，即時取等號，
所以，當時取等號，
∴當時，．
19. 定義集合的“長度”是，其中、．已知集合，，且、都是集合的子集．
（1）求集合的“長度”最小值
（2）若，集合的“長度”大于，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)“長度”的定義進行分析，從而確定正確答案.
（2）根據(jù)“長度”的定義列不等式，由此求得的取值范圍.
【小問1詳解】
依題意可知集合不是空集，
要使、都是集合的子集，
則需且，
解得且，
要使的“長度”最小，只有當取最小值、取最大或取最大、取最小時才成立.
當，，，“長度”為，
當，，，“長度”為，
故集合的“長度”的最小值是；
【小問2詳解】
若，，
要使集合的“長度”大于，故或
即或又，故.
【點睛】解新定義題型的步驟：(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結論.(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.

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