四川省資陽天立學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第一部分（選擇題共58分）
一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知空間向量，的夾角為，且，，則與的夾角是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律以及模長公式，結(jié)合夾角公式即可代入求解.
【詳解】由，的夾角為，且，得，
，
設(shè)與的夾角為，則，
由于，故
故選：A
2. 若直線與直線垂直，則（）
A. B. 6C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由兩條直線垂直的條件即可得解.
【詳解】因?yàn)橹本€與直線垂直，
所以，得，
所以.
故選：B.
3. 圓的圓心到直線的距離為（）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先將圓的一般式化為標(biāo)準(zhǔn)式，得到圓的圓心坐標(biāo)，再代點(diǎn)到直線的距離公式即可.
【詳解】，,圓的圓心為，
它到直線的距離為：
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
4. 已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為（）
A. 線段B. 圓C. 橢圓D. 雙曲線
【答案】C
【解析】
【分析】由，可得其幾何意義為任意一點(diǎn)到點(diǎn)于的距離和為，符合橢圓定義，即可得到答案.
【詳解】設(shè)，
因?yàn)椋?br>所以，
其幾何意義為任意一點(diǎn)到點(diǎn)于的距離和為，
又點(diǎn)和之間的距離小于，符合橢圓定義，
所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為橢圓.
故選：C.
5. 在四棱錐中，底面為正方形，底面分別為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，得出直線方向向量，利用夾角公式計(jì)算即可得.
【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，，，，
由分別為的中點(diǎn)，則，，
則，，設(shè)異面直線與的夾角為，
.
故選：A.
6. 若圓上恰有三點(diǎn)到直線的距離為2，則的值為（）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】圓的圓心，半徑，由圓上恰有三點(diǎn)到直線的距離為2，得到圓心到直線的距離為1，由此能出的值．
【詳解】由得，所以圓心，半徑，
因?yàn)閳A上恰有三點(diǎn)到直線的距離為2，
所以圓心到直線的距離為1，
即，解得，
故選：C．
7. 已知圓與雙曲線，若在雙曲線上存在一點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P所作的圓的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由切線長定理可知，根據(jù)得，設(shè)點(diǎn)，由根據(jù)的范圍可得答案.
【詳解】連接、、，則，，
由切線長定理可知，，又因?yàn)椋?br>所以，，所以，，
則，
設(shè)點(diǎn)，則，且，所以，
，
所以，，故.
故選：B.
8. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)且在第一象限，，若將直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線，且直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)焦半徑公式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出直線的傾斜角，從而可得直線的傾斜角，即可得出直線的方程，，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦公式即可得解.
【詳解】，
設(shè)，
則，所以，則，
故，
所以，
則直線的傾斜角，
所以直線的斜率，
所以直線的方程為，
聯(lián)立，消得，
，
設(shè)，
則，
所以.

故選：A.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 如圖，在底面為等邊三角形的直三棱柱中，，，，分別為棱，的中點(diǎn)，則（）
A. 平面
B.
C. 異面直線與所成角的余弦值為
D. 平面與平面的夾角的正切值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】選項(xiàng)A由線面平行的判定定理可證；選項(xiàng)B由線面垂直可證線線垂直；選項(xiàng)CD可由空間向量法可得.
【詳解】選項(xiàng)A：
如圖連接交于，連接，
由題意可知為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，故，
又平面，平面，故平面，故A正確；
選項(xiàng)B：由題意為等邊三角形，為的中點(diǎn)，
故,
又棱柱為直三棱柱，故，
又，平面，平面，
故平面，又平面，故，故B正確；
選項(xiàng)C：
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，
因，故，
所以，，
設(shè)異面直線與所成角為，則
故C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：由題意平面的一個(gè)法向量為，
，，，
設(shè)平面的法向量為，則
，即，設(shè)，則，，
故，
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
故，
故，故D正確，
故選：ABD
10. 設(shè)點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，已知點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）
A. 的最大值為
B. 的最小值為8
C. 存在點(diǎn)使
D. 過A點(diǎn)作圓的切線，則切線長為
【答案】AD
【解析】
【分析】設(shè)，利用圓心到直線的距離不大于半徑求得的范圍，判斷A，確定的最小值及取得最小值時(shí)的值，再由已知圓判斷B，求出滿足的點(diǎn)有軌跡圓，由兩圓位置關(guān)系判斷C，求出切線長判斷D．
【詳解】設(shè)，即，由得，∴的最大值是，A正確；
，只有且時(shí)，才能取得最小值8，但時(shí)，且，因此上述最小值不能取得，B錯(cuò)；
由得，整理得，因此滿足的點(diǎn)在圓，此圓圓心為，半徑為，而，因此它與圓外離，因此圓上不存在點(diǎn)，滿足，，C錯(cuò)；
圓圓心為，半徑為，則過A點(diǎn)作圓的切線的切線長為，D正確．
故選：AD．
11. 設(shè)F為雙曲線的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓心為，半徑為2的圓交C的右支于A，B兩點(diǎn)，則（）．
A. C的離心率為B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的離心率定義可判斷A；設(shè)，，聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式化簡可得，判斷B；結(jié)合B的結(jié)論，利用基本不等式結(jié)論判斷C；利用雙曲線焦半徑公式可得的表達(dá)式并化簡，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋瑒t，所以C的離心率為，故A正確；
對(duì)于B，設(shè)，，

聯(lián)立，消去x可得，
則，解得；
，，
則，，
所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)F為右焦點(diǎn)時(shí)，
，
因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)或2時(shí)取等號(hào)，
所以．
顯然當(dāng)F為左焦點(diǎn)時(shí)，，所以，故D正確．
故選：ACD．
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在于選項(xiàng)D的判斷，解答時(shí)要利用雙曲線的焦半徑公式求出的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行求解.
第二部分（非選擇題共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知是不共面向量，，，，若，、三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)______．
【答案】
【解析】
【分析】由題意可得存在實(shí)數(shù)，滿足，然后建立方程即可求解．
【詳解】若，，三個(gè)向量共面，則存在實(shí)數(shù)，滿足，
即，
所以，解得，
故答案為：．
13. 若直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，直線l的斜率為______.
【答案】2
【解析】
【分析】由分析知，直線l過定點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，求解即可.
【詳解】由題意，得圓C的圓心，半徑，直線l過定點(diǎn)，
因?yàn)?，所以點(diǎn)P在圓C內(nèi).
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)的斜率，故l的斜率為2.
故答案為：2.
14. 已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為為上且不與頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，為的內(nèi)心，為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線的斜率分別為，，若，則的離心率為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】設(shè)，設(shè)圓與軸相切于點(diǎn)，結(jié)合圓的切線長的性質(zhì)證明，結(jié)合橢圓性質(zhì)可得，由內(nèi)切圓性質(zhì)可得，由條件確定關(guān)系，由此可求離心率.
詳解】設(shè)，設(shè)圓與軸相切于點(diǎn)，
則，
又，，
所以，
所以，
即，
過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，
則，
所以，
所以，所以，
∴，
∴，
由三角形面積相等，得，
，
，
，
所以，
，即得.
故答案為：.
.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：
①求出，代入公式；
②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍)．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知，，是空間中不共面的向量，若，，.
（1）若三點(diǎn)共線，求的值；
（2）若四點(diǎn)共面，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三點(diǎn)共線可設(shè)，列方程求；
（2）由四點(diǎn)共面可設(shè)，列方程可得的關(guān)系，由此可求的最大值．
【小問1詳解】
因?yàn)槿c(diǎn)共線，則，
又，，
有}解得；
【小問2詳解】
因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，則，
則，
有解得，
所以，
當(dāng)時(shí)，取到最大值
16. 在中，頂點(diǎn)A在直線上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為邊的中線所在的直線方程為邊的垂直平分線的斜率為．
（1）求直線方程；
（2）若直線l過點(diǎn)B，且點(diǎn)A、點(diǎn)C到直線l的距離相等，求直線l的方程．
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）求出直線方程，與直線方程聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由的中點(diǎn)在直線上，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出直線方程.
（2）按直線過的中點(diǎn)及與平行求出方程即得.
【小問1詳解】
由邊的垂直平分線的斜率為，得直線方程為，即，
而邊中線所在的直線方程為，
由，解得，則，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
于是，解得，即點(diǎn)，直線的斜率，
所以直線的方程為，即.
【小問2詳解】
由（1）知，，，
由直線l過點(diǎn)B，且點(diǎn)A、點(diǎn)C到直線l的距離相等，得直線過邊的中點(diǎn)，或，
當(dāng)直線過時(shí)，直線的斜率為，方程為，即，
當(dāng)直線時(shí)，直線的斜率為，方程為，即，
所以直線l的方程為或.
17. 已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓A相交于
（1）求圓的方程；
（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】(1)由題意知點(diǎn)到直線距離公式可確定圓A半徑，帶入到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求得圓的方程；
(2) 過A做，由垂徑定理可知圓心到直線，設(shè)出直線，可分為斜率存在和斜率不存在兩種情況，解之可得直線方程
【小問1詳解】
易知到直線的距離為圓A半徑r，
所以，
則圓A方程為
【小問2詳解】
過A做,由垂徑定理可知，且，
在中由勾股定理易知
當(dāng)動(dòng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
經(jīng)檢驗(yàn)圓心到直線的距離為，且根據(jù)勾股定理可知，
顯然合題意，
當(dāng)動(dòng)直線斜率存在時(shí)，過點(diǎn)，設(shè)方程為：，
由到距離為知得，
代入解之可得，
所以或?yàn)樗蠓匠蹋?br>18. 如圖，在四棱錐中，底面為菱形，且，平面，，點(diǎn)為的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面；
（2）二面角的大??；
（3）設(shè)點(diǎn)在（端點(diǎn)除外）上，試判斷與平面是否平行，并說明理由.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）不平行，理由見解析
【解析】
【分析】（1）連接與交于點(diǎn)，連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)與中位線的性質(zhì)得出，結(jié)合已知得出平面，即可根據(jù)面面垂直的判定證明平面平面；
（2）以為原點(diǎn)，以向量方向?yàn)檩S正方向建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知結(jié)合菱形的性質(zhì)與中位線的性質(zhì)得出各點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出，，，利用平面法向量的求法得出平面的一個(gè)法向量為的坐標(biāo)，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得出平面，即為平面的一個(gè)法向量，即可由二面角的向量求法得出答案；
（3）設(shè)，由向量的運(yùn)算得出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出，再結(jié)合（2）得出的平面的一個(gè)法向量為的坐標(biāo)，結(jié)合線面平行的向量求法判斷即可.
【小問1詳解】
證明：連接與交于點(diǎn)，連接，
底面為菱形，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，
點(diǎn)為中點(diǎn)
，
又平面,
平面，
又平面，
平面平面；
小問2詳解】
平面，且底面為菱形，
兩兩垂直，
以為原點(diǎn)，以向量方向?yàn)檩S正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
底面ABCD為菱形，且，,
，,
分別為的中點(diǎn)，
，,
則,,,，，
則，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則有，即，
令，則，
底面為菱形，
，
平面平面，且平面平面，平面，
平面，
為平面的一個(gè)法向量，
設(shè)二面角大小為，
則.
所以二面角的大小為；
【小問3詳解】
因?yàn)辄c(diǎn)在線段（端點(diǎn)除外）上，設(shè)，
，，，則，
則，
則，
則，
則
，
所以與平面不平行.
19. 已知雙曲線：的一條漸近線的斜率為，右焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為1.
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線（斜率存在且不為0）與雙曲線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，若，，三點(diǎn)共線，證明：直線經(jīng)過軸上的一個(gè)定點(diǎn).
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由題意得到關(guān)于的方程，解之即可得解；
（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，得到，，再由三點(diǎn)共線得到，代入即可得解.
【小問1詳解】
∵雙曲線的方程為：，
∴雙曲線的漸近線方程為，設(shè)右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，解得，，
∴雙曲線的方程為.
【小問2詳解】
由（1）知，雙曲線的右焦點(diǎn)，
設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，直線的方程為，，，則，
聯(lián)立，消去得，
顯然有且，
化簡得且，
則，，
故，，
∵，，三點(diǎn)共線，
∴，則，
∴，
又，∴，
∴，
∴，化簡得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，
∴直線的方程為：，
∴直線經(jīng)過軸上的一個(gè)定點(diǎn)，
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.

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