北京市第一零九中學2025屆高三上學期期中考試數(shù)學試卷（解析版）-A4

這是一份北京市第一零九中學2025屆高三上學期期中考試數(shù)學試卷（解析版）-A4，共19頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、單選題
1. 已知復數(shù)的共軛為，若，則的實部為（ ）
A. 1B. C. D. i
【答案】A
【解析】
【分析】設復數(shù)的代數(shù)形式，根據(jù)共軛復數(shù)的概念和復數(shù)的加法運算法則可求出結果.
【詳解】設，則，
由得，即.
所以的實部為.
故選：A
2. 已知函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象上特殊點的正負性，結合指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)進行判斷即可.
【詳解】由圖象可知，所以，
因為，所以由(1)可得：，由(3)可得：，所以，
由(2)可得：，所以，
因此有，所以函數(shù)是減函數(shù)，
，所以選項A符合.
故選：A.
3. 在中，，，，則（ ）
A. B. C. 或D. 無解
【答案】C
【解析】
【分析】利用余弦定理可得出關于的等式，即可求得的值.
【詳解】由余弦定理可得，即，
，解得或.
故選：C.
4. 已知數(shù)列是首項為5，公差為2的等差數(shù)列，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，寫出通項公式，結合題意，可得答案.
【詳解】由題意得，即，則．
故選：A．
5. 已知正四棱錐，底面邊長是，體積是，那么這個四棱錐的側棱長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設正四棱錐的高為h，由體積是，求出.利用勾股定理求出側棱長.
【詳解】因為正四棱錐，底面邊長是，所以底面積為.
設正四棱錐的高為h，由，所以.
所以側棱長為.
即側棱長為.
故選：C
6. 已知向量滿足，且，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義即可.
【詳解】因為，
向量滿足，且，
所以，
則，
所以.
故選：B.
7. 設等比數(shù)列的前項和為，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】利用和判斷與0的關系，即可得到答案.
【詳解】若，且，，，則“”是“”的充分條件；
若，則，又，，則“”是“”的必要條件；
則則“”是“”的充要條件.
故選：C.
8. 如圖所示，為雙曲線：的左焦點，雙曲線上的點與（）關于軸對稱，則的值是（ ）
A. 9B. 16C. 18D. 27
【答案】C
【解析】
【分析】首先設右焦點為，由點與（）關于軸對稱以及雙曲線的對稱性得出，然后根據(jù)雙曲線的定義得出，，，進而求出結果．
【詳解】設右焦點為，連接，
∵雙曲線上的點與（）關于軸對稱，
∴和，和，和分別關于軸對稱
∴，
∵，，，
∴
故選：C．
9. 已知點是圓上的兩個動點，點是直線上動點，且，下列說法正確的是（ ）
A. 圓上恰有一個點到直線的距離為B. 長的最小值為
C. 四邊形面積的最小值為2D. 直線恒過定點
【答案】D
【解析】
【分析】利用圓心到直線的距離可判斷A；利用圓的性質(zhì)可得切線長，利用點到直線的距離可判斷B；由題可得四邊形的面積，可判斷C；由題可知點在以為直徑的圓上，利用兩圓方程可得直線的方程，即可判斷D.
【詳解】A.由題意得，圓心，半徑，
∴圓心到直線的距離為，
∵，
∴圓上有兩個點到直線的距離為，選項A錯誤.
B. 如圖，
∵，
∴，
∴，
∴當最小時，有最小值，
當，即為圓心到直線的距離時，，
∴，選項B錯誤.
C. 由題意得，，
∴四邊形面積為：，
由選項B可知，選項C錯誤.
D.設，
∵是圓的切線，
∴點在以為直徑的圓上.
∵，
∴以為直徑的圓為，
整理得，
與圓方程相減得直線方程為：
，
由得，即直線恒過定點，選項D正確.
故選：D.
10. 高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘，并且每一-排鐵釘數(shù)目都比上一排多一個，一排中各個鐵釘恰好對準上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒耄畯娜肟谔幏湃胍粋€直徑略小于兩顆鐵釘間隔的小球，當小球從兩釘之間的間隙下落時，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過兩鐵釘?shù)拈g隙，又碰到下一排鐵釘如此繼續(xù)下去，在最底層的5個出口處各放置一個容器接住小球．理論上，小球落入2號容器的概率是多少（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意可知，若要小球落入2號容器，則需要在通過的四層中有三層向左，一層向右，再利用獨立事件的概率乘法公式求解．
【詳解】設事件表示“小球落入2號容器”，
若要小球落入2號容器，則需要在通過的四層中有三層向左，一層向右，
所以．
故選：B．
二、填空題
11. 已知向量，，則夾角的余弦值為_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)條件求出后，可得兩向量的數(shù)量積與模，然后求夾角的余弦值
【詳解】，，故
12. 在中，，給出滿足的條件，就能得到動點的軌跡方程，如表給出了一些條件及方程.
則滿足條件①軌跡方程為 ______；滿足②的軌跡方程為 ______；滿足③軌跡方程為 ______（用代號填入）.
【答案】 ①. ②. ③.
【解析】
【分析】①中可轉化為點到兩點距離之和為常數(shù)，符合橢圓的定義，利用定義法求軌跡方程；②中利用三角形面積公式可知點到距離為常數(shù)，軌跡為兩條直線；③中，可用向量法求得軌跡方程．
【詳解】①周長為10，即，
因為，所以，
故動點的軌跡為以為焦點的橢圓，則，且點A不在x軸上，
所以軌跡方程為與對應；
②的面積為10，所以，即，即，與對應；
③因為，所以，
且點A不在x軸上，即，與對應.
故答案為：；；
13. 已知函數(shù)（，，）部分圖象如圖所示，則________
【答案】
【解析】
【分析】利用輔助角公式化簡后，借助圖象結合正弦型函數(shù)的周期性、最值計算即可得解.
【詳解】，
則由，有，即，
的周期，故，又，故，
則有，解得，
又，故.
故答案為：.
14. 拉格朗日中值定理是微分學中的基本定理之一，其定理陳述如下：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，且存在點，使得，則稱為函數(shù)在閉區(qū)間上的中值點．試求函數(shù)在區(qū)間上的“中值點”______．
【答案】
【解析】
【分析】求導，設在區(qū)間上的“中值點”為，則，求出答案.
【詳解】，，
設在區(qū)間上的“中值點”為，則，
解得，
故函數(shù)在區(qū)間上的“中值點”為.
故答案為：
15. 激活函數(shù)是神經(jīng)網(wǎng)絡模型的重要組成部分，是一種添加到人工神經(jīng)網(wǎng)絡中的函數(shù).函數(shù)是常用的激活函數(shù)之一，其解析式為.給出以下結論：
①函數(shù)是增函數(shù)；
②函數(shù)是奇函數(shù)；
③函數(shù)的值域為；
④對于任意實數(shù)，函數(shù)至少有一個零點.
其中所有正確結論的序號是______.
【答案】①②③
【解析】
【分析】利用函數(shù)單調(diào)性的定義可判斷①；利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷②；令由可得，由解出的取值范圍，可判斷③；取，結合③可判斷④.
【詳解】對于①，任取、，且，則，
所以，，
所以，，故函數(shù)是增函數(shù)，①對；
對于②，對任意的，，則函數(shù)的定義域為，
且，
，函數(shù)是奇函數(shù)，②對；
對于③，由可得，可得，
由，可得，解得，故函數(shù)的值域為，③對；
對于④，由③可知，，則，
當時，，此時，函數(shù)沒有零點，④錯.
故答案為：①②③.
三、解答題
16. 已知中，.
（1）求的大小；
（2）若，再從下列三個條件中，選擇一個作為已知，使得存在且唯一，求的面積.
條件①；條件②；條件③.
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案】（1）；
（2）選①或③，三角形面積為．
【解析】
【分析】（1）由余弦定理求得得；
（2）選①，由得三角形只有一解，然后求得，由正弦定理求得，從而可得三角形面積；選②，分析得三角形有兩解；選③，求出后，同選①計算．
【小問1詳解】
∵，∴，又，∴；
【小問2詳解】
選①，，因為，由得，所以，因此，，
，
由得，
；
選②，，，∴，
又，，∴角可能為銳角也可能為鈍角，三角形是兩解，不合題意；
選③，，而，∴，，以下同選①．
17. 如圖，四棱錐中，底面ABCD，，，，，M為PC上一點，且，，.
（1）證明：平面PAD；
（2）求直線DM與平面PBC所成角的正弦值；
（3）求三棱錐的體積.
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）過作交于，證明四邊形是平行四邊形得出，于是平面；
（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，通過計算和的夾角得出直線與平面所成角的大?。?br>（3）根據(jù)計算棱錐的體積．
【詳解】（1）證明：過M作交PD于N，連接AN，
則，，
又，，
，，
四邊形ABMN是平行四邊形，
，又平面PAD，平面PAD，
平面PAD.
（2）連接BD，
，，，，
，，
又，，
以D為原點，以DB，DC，DP為坐標軸建立空間直角坐標系，如圖所示，
則，，，，，
，，，
設平面PBC的法向量為，則，即，
令可得，
，
直線DM與平面PBC所成的角的正弦值為.
（3），
.
18. 某區(qū)為檢測各校學生的體質(zhì)健康狀況，依照中小學生《國家學生體質(zhì)健康標準》進行測試，參加測試的學生統(tǒng)一從學生學籍檔案管理庫（簡稱“CIMS系統(tǒng)”）中隨機選取.本次測試要求每校派出30人，其中男女學生各15人，參加八個項目的測試.八項測試的平均分為該學生的綜合成績，滿分為100分.測試按照分數(shù)給學生綜合成績定等級，分數(shù)在內(nèi)為“優(yōu)秀”，為“良好”，為“及格”，為“不及格”，下表為某學校30名學生本次測試綜合成績的數(shù)據(jù)：
（1）分別求出該學校男?女生綜合成績的優(yōu)秀率；
（2）從表中綜合成績等級為“良好”的學生中隨機抽取3人進行后續(xù)監(jiān)控，若表示抽取3人中的女生人數(shù)，求的分布列及其數(shù)學期望；
（3）在（2）的條件下，當這3名學生綜合成績的方差取得最大值時，請直接寫出所有符合條件的3名學生的綜合成績.
【答案】（1）男生綜合成績的優(yōu)秀率為，女生綜合成績的優(yōu)秀率為；
（2）分布列見解析；；
（3）88，87，80．
【解析】
【分析】（1）由表求出男生與成績優(yōu)秀的人數(shù)，分別除以15得答案；（2）表中成績良好的男生5人，女生4人，共9人，從中隨機抽取3人，女生人數(shù)為0，1，2，3．分別求得概率，可得分布列及期望；（3）直接寫出3名學生的綜合成績?yōu)椋?8，87，80．
【小問1詳解】
由表可知，男生成績優(yōu)秀的人數(shù)為6人，女生成績優(yōu)秀的人數(shù)為7人，
則該學校男生綜合成績的優(yōu)秀率為，女生綜合成績的優(yōu)秀率為；
【小問2詳解】
表中成績良好的男生5人，女生4人，共9人，
從中隨機抽取3人，女生人數(shù)為0，1，2，3．
則，，，．
的分布列為：
；
【小問3詳解】
3名學生的綜合成績?yōu)?8，87，80．
19. 已知橢圓離心率為，左、右頂點分別為A、B，左、右焦點分別為．過右焦點的直線l交橢圓于點M、N，且的周長為16．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）記直線AM、BN的斜率分別為，證明：為定值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知條件結合橢圓定義、離心率公式，確定a,b,c的值，得出橢圓的標準方程.
（2）設直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，消去得到關于的一元二次方程，由韋達定理得到，，再把用，表示出來，化簡即可得解.
【小問1詳解】
由的周長為16，及橢圓的定義，可知：，即，
又離心率為所以
．
所以橢圓C的方程為：．
【小問2詳解】
依題意，直線l與x軸不重合，
設l的方程為：．
聯(lián)立得：，
因為在橢圓內(nèi)，所以，
即，易知該不等式恒成立，
設，
由韋達定理得．
又，則

注意到，即：
.
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達定理求解.
20. 已知整數(shù)，數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，即且定義數(shù)列的“相鄰數(shù)列”為，其中或
（1）已知，數(shù)列，寫出的所有“相鄰數(shù)列”；
（2）已知，數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，，且的所有“相鄰數(shù)列”均為遞增數(shù)列，求這樣的數(shù)列的個數(shù)；
（3）已知，數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，，且存在的一個“相鄰數(shù)列”，對任意的，求的最小值．
【答案】（1）；；；.
（2）11個 （3）37
【解析】
【分析】（1）根據(jù)相鄰數(shù)列的概念直接求解即可；
（2）任取的一個“相鄰數(shù)列”，根據(jù)相鄰數(shù)列的概念可得且，對于的取值分情況討論，利用為遞增數(shù)列可得是公差為1的等差數(shù)列，列不等式組求解即可；
（3）令可得對任意，設，證明與要么是空集，要么是連續(xù)自然數(shù)構成集合，進而根據(jù)定義求解即可.
【小問1詳解】
根據(jù)“相鄰數(shù)列”的概念可知，，
或，或，
所以的所有“相鄰數(shù)列”有；；；.
【小問2詳解】
任取的一個“相鄰數(shù)列”，
因為或，
或，
所以有且，
對于的取值分以下4種情形：
（a），
（b），
（c），
（d）
由數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，前3種情形顯然都能得到，所以只需考慮第4種情形，
遞增，，即，
由是遞增的整數(shù)數(shù)列得，從而是公差為1的等差數(shù)列，
于是，則，即滿足數(shù)列的有11個.
【小問3詳解】
令，所以對任意，
設，則且，
先證明與要么是空集，要么是連續(xù)自然數(shù)構成的集合，
若，令，則，由得，
所以，即，即是空集，或是連續(xù)自然數(shù)構成的集合．
若，令，則，由得，
所以，即，即是空集，或是連續(xù)自然數(shù)構成集合，
因此，的分布只可能是如下三種情況：
（i），此時，對任意的，由得，
所以對任意的，注意到，所以，
等號當且僅當時取到；
（ii）存在整數(shù)，使得
對任意的，對任意的，所以
（iii）．此時，對任意的，與情形1類似，
對任意的，注意到，
所以，
綜上，的最小值為．
【點睛】思路點睛：根據(jù)“相鄰數(shù)列”的定義，按照或分類討論不同情形，結合數(shù)列的定義求解即可.
條件
①周長為10
②面積為10
③中，
方程
男生
98
92
92
91
90
90
88
87
87
85
82
79
77
67
57
女生
97
99
96
93
92
91
90
87
85
81
80
77
76
76
48

0
1
2
3