出題人：楊美金 校對(duì)人：張晶
注意事項(xiàng)
1.考試時(shí)間120分鐘，滿分150分
2.答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名?班級(jí)?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并準(zhǔn)確填涂.
3.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦凈后，再選涂其他答案的標(biāo)號(hào).非選擇題答案使用0.5毫米中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整?筆跡清楚.
4.按照題號(hào)在各答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫答案無效.
一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合，，則=（ ）
A. B. C. D.
2.已知，則（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量，滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A.1 B. C. D.
4.給出下列四個(gè)命題，其中正確命題為（ ）
A.“”的否定是“”
B.在上單調(diào)遞減
C.若為的導(dǎo)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)
D.若是奇函數(shù)，則
5.已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則的最小值是（ ）
A.2 B. C.4 D.
6.已知雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)為分別為，過點(diǎn)的直線與該雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，且是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則為（ ）
A. B. C. D.
7.已知四棱錐中，底面為平行四邊形，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且滿足平面，則（ ）
A. B. C. D.
8.將函數(shù)圖象上每點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)，函數(shù)的部分圖象如圖所示，且在上恰有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.下列說法中，正確的是（ ）
A.若隨機(jī)變量，且，則
B.一組數(shù)據(jù)6，7，7，9，13，14，16，17，21的第70百分位數(shù)為15
C.在一元線性回歸模型分析中，決定系數(shù)用來刻畫模型的擬合效果，若值越小，則模型的擬合效果越好
D.設(shè)隨機(jī)事件，，已知事件發(fā)生的概率為，在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率為，在事件不發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率為，則事件發(fā)生的概率為
10.在三棱錐中，已知，點(diǎn)M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，則（ ）
A.
B.異面直線AN，CM所成的角的余弦值是
C.三棱錐的體積為
D.三棱錐的外接球的表面積為
11.已知雙曲線：（，）的左右焦點(diǎn)分別為，，是圓：上一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線于上的點(diǎn)，則（ ）
A.的離心率為2
B.的漸近線方程為
C.到的漸近線的距離為
D.內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為___________.
13.在中，，的平分線與交于點(diǎn)，且，，則的面積為___________.
14.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：，該數(shù)列的特點(diǎn)是：從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，則是斐波那契數(shù)列中的第___________項(xiàng).
四?解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16?17小題15分，第18?19小題17分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.近年來，解放軍強(qiáng)軍興軍的深刻變化，感召了越來越多的高中優(yōu)秀青年學(xué)子獻(xiàn)身國(guó)防，投身軍營(yíng).2024年高考，很多高考畢業(yè)學(xué)生報(bào)考了軍事類院校.從某地區(qū)內(nèi)學(xué)校的高三年級(jí)中隨機(jī)抽取了900名學(xué)生，其中男生500人，女生400人，通過調(diào)查，有報(bào)考軍事類院校意向的男生?女生各100名.
（1）完成給出的列聯(lián)表，并分別估計(jì)該地區(qū)高三男?女學(xué)生有報(bào)考軍事類院校意向的概率；
（2）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生有報(bào)考軍事類院校的意愿與性別有關(guān).
參考公式及數(shù)據(jù)：.
16.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為已知，且，
（1）求的面積；
（2）若，求A.
17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，分別是的中點(diǎn)，
（1）求證：平面⊥平面；
（2）求二面角的余弦值.
18.已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，直線是曲線的切線，求的最小值；
（3）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.證明：
19.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，設(shè)集合，記T的元素個(gè)數(shù)為.
（1）若數(shù)列，且，，求數(shù)列和集合T；
（2）若是遞增的等差數(shù)列，求證：；
（3）請(qǐng)你判斷是否存在最大值，并說明理由
參考答案：
1.C 【詳解】解：，
故.
2.B 【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以.
3.C 【詳解】因?yàn)椋?，所以，即?br>所以，所以向量在向量上的投影向量為.
4.B 【詳解】對(duì)于A，易知“”的否定是“”，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由冪函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，可得B正確；
對(duì)于C，若，則；顯然是的一個(gè)零點(diǎn)，但在上單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若是奇函數(shù)，不妨取，不滿足，即D錯(cuò)誤；
5.B 【詳解】①，
為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，
②，①+②得
①-②得
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
的最小值為，
6.D 【詳解】試題分析：設(shè)，由已知，.由雙曲線的定義得：
，又由
得，，
又，選D.
7.C 【詳解】如下圖，四棱錐中，連接交分別于點(diǎn)，連接，
因底面為平行四邊形，則是中點(diǎn)，也是中點(diǎn)，
而點(diǎn)是中點(diǎn)，于是得點(diǎn)是重心，從而得，
因平面平面，平面平面，
因此得，于是得，所以.
8.C 【詳解】由已知得函數(shù)，由圖象過點(diǎn)以及點(diǎn)在圖象上的位置，
知，
由在上恰有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，，
.
9.AD 【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，且，所?br>，故A正確；
B選項(xiàng)，數(shù)據(jù)共有9個(gè)數(shù)，，所以第70百分位數(shù)是第7個(gè)數(shù)16，故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，在一元線性回歸分析中可以用決定系數(shù)來刻畫回歸的效果，若的值越小，則模型的擬合效果越差，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，，所以，
又因?yàn)?，則，
所以，故D正確.
10.ABD 【詳解】三棱錐中，已知，
三棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，如圖所示，
則有解得，
以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，
則有，
，
，
所以選項(xiàng)正確；
，
，
所以異面直線所成的角的余弦值是選項(xiàng)正確；
三棱錐，三棱錐，三棱錐，三棱錐，體積都為
，
三棱錐的體積等于長(zhǎng)方體體積減去這四個(gè)三棱錐體積，為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；長(zhǎng)方體的外接球的半徑為，這個(gè)外接球也是三棱錐的外接球，
其表面積為，D選項(xiàng)正確.
11.ABD 【詳解】由題意，可知，所以.又由題意，知，所以
，
所以，故的方程為，所以的離心率為，漸近線方程為，故A，B正確；
焦點(diǎn)到漸近線的距離為，所以C錯(cuò)誤；
設(shè)的內(nèi)切圓與軸相切于點(diǎn)，則由雙曲線定義得
，所以，即內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為，所以D正確，
12.60 【詳解】展開式的通項(xiàng)為.
令，得，則的常數(shù)項(xiàng)為.
13. 【詳解】因?yàn)闉榈钠椒志€，所以，又，所以，
由余弦定理可得，又，
所以所以，
所以V的面積.
14.2017 【詳解】依題意有：
，
所以：，
15.【詳解】（1）根據(jù)已知條件，填寫列聯(lián)表如下：
男生有報(bào)考軍事類院校意向的概率為，
女生有報(bào)考軍事類院校意向的概率為.
（2），
所以能認(rèn)為學(xué)生有報(bào)考軍事類院校的意愿與性別有關(guān).
16.【詳解】（1）在中，由余弦定理及，得，整理得，而，所以的面積.
（2）由（1）及正弦定理得，即，于是，即，整理得，即，
因此，即，由，得，解得或，
所以或.
17.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)
所以且且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以?br>又因?yàn)?，所以平面，所以平面又因?yàn)槠矫?，所以平面平?br>（2）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，平面平面，所以平面，所以兩兩垂直?br>以為原點(diǎn)，向量的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
，
，
設(shè)是平面的法向量，
則，取，則，所以，
設(shè)是平面的法向量，
則，即，取，則，
所以，
，
由圖可知，二面角的為銳二面角，
所以二面角的余弦值為.
18.【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br>當(dāng)時(shí)，在上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，由，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)切點(diǎn)為，
則切線斜率，
切線方程為，
，所以，
令，則，
由，可得，由，可得，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，即的最小值為；
（3）由，可得，令，則，
由，可得，由，可得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，
，不妨設(shè)，則，故，
令，所以，
要證，只要證，只要證，
令，則，
設(shè)，則，
由，可得，由，可得，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
則存在，使得，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
在上恒成立，
所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
19.【分析】（1）根據(jù)新定義列舉出集合的元素即可求；根據(jù)題意可知，求出，即可求解；
（2）設(shè)公差為，則，即可分析得.
（3）利用的定義結(jié)合特例可判斷存在最大值.
【詳解】（1）由，且，得均不相等，
則都是集合中的元素，而，
于是，解得，
所以數(shù)列.
（2）因?yàn)闉檫f增的等差數(shù)列，設(shè)的公差為，
當(dāng)時(shí)，，則，
所以.
（3）存在最大值，理由如下：
依題意，集合中的元素個(gè)數(shù)最多為個(gè)，即，
取，此時(shí)，
若存在，則，其中，
故，若，不妨設(shè)，
則，而，
故為偶數(shù)，為奇數(shù)，矛盾，
即有，因此由得到的彼此相異，
于是，即的最大值為，所以必有最大值.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：數(shù)列新定義問題，解答的關(guān)鍵在于理解題意并根據(jù)數(shù)列中項(xiàng)的大小及數(shù)字特征分析清楚任意兩項(xiàng)的所有可能取值，從而分析得出的值.
有報(bào)考意向
無報(bào)考意向
合計(jì)
男學(xué)生
女學(xué)生
合計(jì)
α
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
B
B
D
C
C
AD
ABD
題號(hào)
11
答案
ABD
有報(bào)考意向
無報(bào)考意向
合計(jì)
男學(xué)生
100
400
500
女學(xué)生
100
300
400
合計(jì)
200
700
900

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