一、單項選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上．）
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因為集合，，則.
故選：C.
2. 已知關(guān)于的實系數(shù)方程的一個虛根為，則另外一個根的虛部為（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】將代入中可得，解得，
故，故，
因此另一個虛數(shù)根為，故其虛部為1，
故選：A
3. 已知直三棱柱中，，則直三棱柱外接球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】取的中點為,,連接 ,取的中點,
由于且三棱柱為直三棱柱，
故為外接球的球心，
,,
故外接球的表面積為,
故選：C
4. 已知焦點在軸上的橢圓的焦距為，則其離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因為焦點在軸上的橢圓的焦距為，則，可得，
所以，該橢圓的標準方程為，則，故該橢圓的離心率為.
故選：D.
5. 若，，則實數(shù)、、的大小順序為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由題意可得，，可得，，
因為對數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù)，則，
冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則，故.
故選：B.
6. 展開式中的系數(shù)為（ ）
A. 200B. 230C. 120D. 180
【答案】A
【解析】，
由通項公式可得，，
則的系數(shù)由來確定，由其通項公式可得，.
由，得或，
所以的系數(shù)為.
故選：A.
7. 若函數(shù)為奇函數(shù)，則（ ）
A. B. C. 8D. 16
【答案】D
【解析】由奇函數(shù)性質(zhì)可得，的定義域關(guān)于原點對稱，
又定義域為，即且，，故，解得.
又，故，
此時為奇函數(shù)，故.
故選：D
8. 在棱長為1的正方體中，為棱的中點，為棱上一點，則（ ）
A. 平面
B. 直線不可能相交于同一點
C. 正方體表面上滿足的點的軌跡長度為
D. 平面與平面可能平行
【答案】C
【解析】
選項A：如圖，建立空間直角坐標系，
則，
則，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，令，則，則，
因，故與平面不平行，故A錯誤；
選項B：延長交直線的延長線于，則，
則平面，連接，交直線于，則，
故可知當為的中點時，直線相交于同一點，故B錯誤；
選項C：根據(jù)正方體的對稱性，當時，點在四邊形的邊上，
故點的軌跡長度即為四邊形的周長為，故C正確；
選項D：，，設(shè)平面的一個法向量為，
則，令，得，則，
設(shè)，則，
設(shè)平面一個法向量為，
則，令，則，故，
若平面與平面平行，
則，即，顯然不存在，故D錯誤，
故選：C
二、多項選擇題：（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．）
9. 已知向量，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若與的夾角是，則
D. 若與的方向相反，則在上的投影向量坐標是
【答案】ABC
【解析】因為向量，
若，則，解得，A說法正確；
若，則，解得，B說法正確；
若與的夾角是，因為，，
所以，
所以，C說法正確；
若與的方向相反，所以，
所以在上的投影向量為，D說法錯誤；
故選：ABC
10. 已知、是兩個隨機事件，且，，則下列說法正確的有（ ）
A. 若、相互獨立，則
B. 恒成立
C. 若，則
D. 若，則、相互獨立
【答案】AC
【解析】對于A選項，若、相互獨立，則，
由條件概率公式可得，A對；
對于B選項，拋擲一枚骰子，定義事件向上的點數(shù)為，事件向上的點數(shù)為奇數(shù)，
則，，此時，，B錯；
對于C選項，若，則，
因此，，C對；
對于D選項，對任意的事件、恒成立，故、不一定獨立，D錯.
故選：AC.
11. 近年來，寶雞市教育局致力于構(gòu)建“學好上、上好學、學得好”的“寶雞好教育”品牌體系．在關(guān)注學生身體健康的同時，也高度重視學生的心理健康，為此特別推出了“和風計劃”．某校積極響應“和風計劃”，為了緩解學生的學習壓力，面向1630名高三學生開展了團建活動．如果將所有參加活動的學生依次按照1，2，3，4，5，6，7，…編上號，并按圖所示的順序排隊，我們將2，3，5，7，10，…位置稱為“拐角”，因為指向它的箭頭與離開它時的箭頭方向發(fā)生了改變，那么下面說法正確的有（ ）

A. 站在第20拐角的學生是111號B. 站在第23拐角的學生是137號
C. 第133號同學站在拐角位置D. 站在拐角位置的同學共有79名
【答案】ACD
【解析】觀察給出的前幾個拐角位置對應的編號：2，3，5，7，10，13，17，21，26
將奇數(shù)項的拐角即為，易得：;
偶數(shù)序號的拐角即為，由規(guī)律可得：
第20拐角的學生編號為：正確；
站在第23拐角的學生編號為：錯誤；
由，解得，也即第133號同學站在第22拐角位置；
由，可得，
由，可得，
所以拐角總序號可到第79個，所以站在拐角位置的同學共有79名，正確；
故選：ACD
三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分．）
12. 若一個函數(shù)的定義域為，值域為，則它的解析式可能為：_______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】函數(shù)的定義域為，值域為，
所以.
故答案為：
13. 若函數(shù)的極大值點為，則_______．
【答案】
【解析】由函數(shù)，
求導可得，
令，則，
由題意可得，
由函數(shù)可知當（）時，，
當（）時，，且為函數(shù)的極大值點，
則可得（），解得（），
所以.
故答案為：.
14. 直線恒與圓相切，則圓的方程為_______，若過雙曲線的左焦點，交雙曲線的右支于點，雙曲線的右焦點為，三角形的面積為，則_______．
【答案】①. ②.
【解析】因為原點到直線的距離為，
所以，直線與圓心為原點，半徑為的圓恒相切，故圓的方程為，
因為為的中點，則，則，
不妨設(shè)點位于第一象限，則，，
則
，可得，
又因為，可得，即點，其中，
因為，整理可得，
解得，則，故.
故答案為：；.
四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
15. 在三棱錐中，平面平面，，，，，為的中點，為上一點，．
（1）求證：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
（1）證明：取為中點，連接、，
因為、分別為、的中點，則，
因為，則，
因為，為的中點，所以，，
因為，、平面，所以，平面，
因為平面，故.
（2）解：因為平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
又因為，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、、、，
則，，
設(shè)平面的一個法向量為，則，
取，則，，則，
因為，則點為的中點，即點，
又有，則，設(shè)直線與平面所成角為，
則，
所以直線與平面所成角正弦值.
16. 某企業(yè)對某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進行試產(chǎn)．其芯片質(zhì)量按等級劃分為五個層級，分別對應如下五組質(zhì)量指標值：、、、、．根據(jù)長期檢測結(jié)果，發(fā)現(xiàn)芯片的質(zhì)量指標值服從正態(tài)分布，現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機抽取件作為樣本，統(tǒng)計得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）根據(jù)檢測結(jié)果，樣本中芯片質(zhì)量指標值的標準差的近似值為，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標準差作為的估計值，可得到X服從的正態(tài)分布．求和的值；
（2）從樣本中質(zhì)量指標值在和的芯片中隨機抽取件，記其中質(zhì)量指標值在的芯片件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；
（3）將指標值不低于的芯片稱為等品．通過對芯片長期檢測發(fā)現(xiàn)，在生產(chǎn)線任意抽取一件芯片，它為等品的概率為，用第（1）問結(jié)果試估計的值．
（附：①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表；②參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．）
解：（1）由于在頻率分布直方圖可知，所有矩形面積之和為，
由題可知：，解得，
所以，估計從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機抽取件的平均數(shù)為：
．
所以，.
（2）樣本中質(zhì)量指標值在和的芯片數(shù)量為，
所取樣本的個數(shù)為件，
質(zhì)量指標值在的芯片件數(shù)為件，故可能取的值為、、、，
所以，，，
，，
隨機變量的分布列為：
所以的數(shù)學期望．
（3）由（1）可知：，則，，
由題可知：．
所以：，即.
17. 已知：數(shù)列的前項和為，，當時．
（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）記表示不超過的最大整數(shù)，設(shè)，求數(shù)列前2025項和．
（1）證明：當時，且，
可得，整理得，
即，且，
所以數(shù)列為以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．
（2）解：由（1）可得：，即，
由定義可得：，
當時，，即，
所以；
當且時，不是整數(shù)，
可設(shè)，則，
則，可得；
綜上所述：.
在上，，，
所以.
18. 已知拋物線的焦點為，為上的動點，到點的距離與到的準線的距離之和的最小值為．
（1）求拋物線的方程；
（2）給出如下的定義：若直線與拋物線有且僅有一個公共點，且與的對稱軸不平行，則稱直線為拋物線上點處的切線，公共點稱為切點．請你運用上述定義解決以下問題：
（?。┳C明：拋物線上點處的切線方程為；
（ⅱ）若過點可作拋物線的2條切線，切點分別為、．證明：直線、
的斜率之積為常數(shù)．
解：（1）拋物線的焦點，準線方程為，
設(shè)動點，動點到其準線的距離為，
由拋物線定義得，則，
當且僅當時取等號，
依題意，，所以拋物線的方程為.
（2）（ⅰ）當拋物線上處的切線斜率存在時,設(shè)其方程為，其中，
由得①，
由題意可得，可得，
即，所以，解得，
所以切線方程，即，
即，即②；
即為上處的切線斜率存在時的方程；
當上處的切線斜率不存在時，即時處切線方程為，符合②式．
所以上處的切線方程為.
（ⅱ）設(shè)、，
由（?。┲c處的切線方程為④，
點處的切線方程為⑤，
將分別代入上面兩式得．
所以點、的坐標均滿足方程，
所以直線方程為，
由④⑤知直線、斜率分別為，，則⑥，
由得，則，可得，
由韋達定理可得，則，
所以直線、斜率之積為常數(shù)．
19. 已知函數(shù)，
（1）當時，求在處的切線方程；
（2）若時，恒成立，求的范圍；
（3）若在內(nèi)有兩個不同零點、，求證：.
（1）解：當時，，則，
所以，，.
故切線方程為，即，
（2）解：因為在上恒成立，
進而，即．
令，其中，則，
當時，，則，此時，函數(shù)單調(diào)遞增，
當時，，則，此時，函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，因為，因此，
所以，，故，
因此，實數(shù)的取值范圍是.
（3）證明：因為函數(shù)在內(nèi)有兩個不同零點、，
則方程在內(nèi)有兩個根、，即，
由（2）知，當時，函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減．
故，欲證，即證，
由于且函數(shù)在單調(diào)遞減．所以只需證明，
即證，欲證，即證，即，
即證，即證，而該式顯然成立，
欲證，即證，且，即證，
即證，即證，即證，
令，只需證，
，
令，
所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，故原不等式得證．

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