一、選擇題
1．[2025屆·陜西寶雞·二模],則( )
A.B.C.D.2
1．答案：C
解析：由,
得,
故選：C.
2．[2025屆·陜西寶雞·二模]已知向量,的夾角為,且,,則在上的投影向量為( )
A.B.C.D.
2．答案：B
解析：因為,所以,即,
所以,解得,
從而,在上的投影向量為.
故選：B.
3．[2025屆·陜西寶雞·二模]已知命題,,命題,,則下列命題中為真命題的是( )
A.且qB.p且qC.p且D.且
3．答案：A
解析：對于命題,,當時,
,所以p為假命題.
對于命題,,
畫出與的圖象如下圖所示,由圖可知,
兩個函數(shù)圖象有1個公共點,所以q為真命題.
所以且q為真命題,
p且q、p且、且為假命題.
故選：A.
4．[2025屆·陜西寶雞·二模]已知動點滿足等式,則點A的軌跡方程是( )
A.B.C.D.
4．答案：D
解析：因為動點滿足等式,
所以表示點A到點,的距離之和為8,且,
所以點A的軌跡是以,為焦點的橢圓,
其中：,,,
所以橢圓的方程是,
故選：D.
5．[2025屆·陜西寶雞·二模]已知正數(shù)x,y滿足,則的最小值是( )
A.B.6C.D.
5．答案：D
解析：由可得,因,,則,
于是,
因,當且僅當時等號成立,
即,時,的最小值為.
故選：D.
6．[2025屆·陜西寶雞·二模]將函數(shù)圖象上所有的點向左平移個單位長度,再把所有點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼暮?得到函數(shù)的圖象.則( )
A.B.C.D.1
6．答案：C
解析：將函數(shù)圖象上所有的點向左平移個單位長度,
可得函數(shù)的圖象,
將函數(shù)圖象上所有點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?橫坐標不變,可得函數(shù)的圖象,
所以,故.
故選：C.
7．[2025屆·陜西寶雞·二模]如圖,在四棱臺中,底面為平行四邊形,側(cè)棱平面,,,若四棱臺的體積為.則直線與平面所成角的正切值是( )
A.B.C.D.
7．答案：A
解析：如圖所示：
過點,作,連接,
因為平面,平面,
所以平面平面,
所以平面,連接,
則為與平面的夾角,
在平面中,,,,則,
,,
所以四棱臺的體積為：,
所以,,
E為的中點, ,
.
故選：A.
8．[2025屆·陜西寶雞·二模]“求方程的解”有如下解題思路：設(shè),則在R上單調(diào)遞減,且,所以原方程有唯一解.類比上述解題思路,不等式的解集是( )
A.B.
C.D.
8．答案：D
解析：原式化簡為：,
即
令,則,則在R上單調(diào)遞增,
則不等式轉(zhuǎn)化為,所以方程解集為.
故選：D.
二、多項選擇題
9．[2025屆·陜西寶雞·二模]已知a,,有一組樣本數(shù)據(jù)為,3,,,8,10,,12,13,若在這組數(shù)據(jù)中再插入一個數(shù)8,則( )
A.平均數(shù)不變B.中位數(shù)不變C.方差不變D.極差不變
9．答案：AD
解析：對于A選項,原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8,插入一個數(shù)8,平均數(shù)不變,正確;
對于B選項,取,,原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為9,新數(shù)據(jù)的中位數(shù)為8.5,錯誤;
對于C選項,新數(shù)據(jù)的方差為,錯誤;
對于D選項,因為,所以8不是最值,故新數(shù)據(jù)的極差不變,正確.
故選：AD.
10．[2025屆·陜西寶雞·二模]已知函數(shù),則( )
A.在單調(diào)遞增B.的圖象關(guān)于點對稱
C.的圖象關(guān)于直線對稱D.函數(shù)有兩個零點
10．答案：ACD
解析：函數(shù)定義域為,又,
令,,
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
又為單調(diào)遞增函數(shù),
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故選項A正確;
因為函數(shù)的對稱軸為,則函數(shù)關(guān)于直線對稱,故選項B錯誤,選項C正確;
因為,所以函數(shù),
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
又函數(shù)在R上為增函數(shù),
則函數(shù)與函數(shù)在平面直角坐標系中的圖象如下圖所示：
故函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上有兩個交點,即函數(shù)有兩個零點,故D正確.
故選：ACD.
11．[2025屆·陜西寶雞·二模]設(shè)曲線C的方程為,則( )
A.曲線C既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形
B.曲線C圍成圖形的面積為
C.曲線C的周長為
D.曲線上任意兩點間距離的最大值為4
11．答案：ABD
解析：當,時方程為,
當,時方程為,
當,時方程為,
當,時方程為,
如圖所示,
,
對于A：易知曲線關(guān)于x軸對稱,關(guān)于y軸對稱,關(guān)于原點中心對稱,A正確;
對于B：因為曲線關(guān)于x軸對稱,關(guān)于y軸對稱,關(guān)于原點中心對稱,
所以只需要計算第一象限內(nèi)圖像的面積即可,
因為,且圓的半徑,所以弦心距,
所以所對的圓心角為,
所以該圖形為圓心角為的扇形剪去等腰直角三角形得到的弓形,
所以,所以總面積為,B正確;
對于C：第一象限內(nèi)的圖形是圓心角為的扇形的弧長,所以,
所以曲線C的周長為,C錯誤;
對于D：曲線上任意兩點間距離的最大值為,D正確,
故選：ABD.
三、填空題
12．[2025屆·陜西寶雞·二模]從2024年伊始,各地旅游業(yè)爆火,兵馬俑是陜西省旅游勝地.某大學一個寢室6位同學A,B,C,D,E,F慕名而來,游覽結(jié)束后,在門前站一排合影留念,要求A,B相鄰,C在D的左邊,則不同的站法共有____________;（用數(shù)字做答）
12．答案：120
解析：先將A,B “捆綁”看成一個元素,與另外四人在五個位置上進行全排,
再考慮C在D的左邊,最后“解綁”,故有種方法.
故答案為：120.
13．[2025屆·陜西寶雞·二模]設(shè)等比數(shù)列滿足,,則的最大值為_____________.
13．答案：64
解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由得,,
解得.所以,
于是當或4時,取得最大值.
14．[2025屆·陜西寶雞·二模]已知,,則________________.
14．答案：
解析：因為,,
所以,
所以,
即,
即,
因為,
則.
故答案為：.
四、解答題
15．[2025屆·陜西寶雞·二模]已知的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且.
(1)求角A;
(2)若,D為邊邊上一點,為的平分線,且,求的面積.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由,即,
因為,所以,
所以,得.
(2)由為的平分線,得,
因為,
所以,
即,①
由余弦定理得,
即,②
由①②,得,
所以.
16．[2025屆·陜西寶雞·二模]某趣味運動設(shè)置了“謎語競猜”活動,在活動中設(shè)置①、②、③三道謎語題,猜謎者按照一定的順序猜謎,只有猜對當前謎語才能繼續(xù)競猜下一道謎語,并且獲得本謎語的獎金.每次猜謎的結(jié)果相互獨立.猜對三道謎語的概率及獲得的相應獎金如下表：
(1)若,按“①、②、③”的順序猜謎,求所獲獎金至少為30元的概率;
(2)假設(shè)只按“①、②、③”和“③、②、①”兩種順序猜謎.若以猜謎所獲獎金的數(shù)學期望為決策依據(jù),按哪種順序猜謎所獲獎金更多？
16．答案：(1)0.4
(2)答案見解析
解析：(1)設(shè)“猜謎者①猜對”為事件A;“猜謎者②猜對”為事件B;“猜謎者③猜對”為事件C.
記“所獲得獎金至少為30元”為事件D,則包括獲得獎金30元或60元.
獎金30元指①、②猜對,③猜錯,即事件發(fā)生;
獎金60元指①、②猜對,③猜對,即事件發(fā)生.
因事件與事件互斥,且A,B,C相互獨立,
則
.
即所獲得獎金至少為30元的概率為0.4;
(2)若猜謎者按“①、②、③”的順序猜謎語.
則他所獲獎金X的所有可能取值為0,10,30,60（元）,
,
,
,
,
列出X的分布列為：
故;
若猜謎者按“③、②、①”順序猜謎語.
則他所獲獎金Y的所有可能取值為0,30,50,60（元）,
,
,
,
,
列出Y的分布列為：
故.
由,
當,即時,應按①、②、③順序猜謎所獲得獎金更多;
當,即時,按①、②、③和③、②、①順序猜謎所獲獎金一樣多;
當,即時,應按③、②、①順序猜謎所獲得獎金更多.
17．[2025屆·陜西寶雞·二模]如圖,在四棱錐中,底面為菱形,,底面,,E是上任一點,.
(1)求證：平面平面.
(2)四棱錐的體積為,三棱錐的體積為,若,求直線與平面所成角的正弦值.
17．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1)在四棱錐中,底面為菱形,所以,
又因為底面ABCD,底面,所以,
,,平面,所以平面,
因為平面,所以平面平面.
(2)四棱錐的體積為,三棱錐的體積為,,
設(shè)E到平面的距離為h,
則,
所以,所以E是PC的中點,
取的中點F,連接,因為底面為菱形且,
所以為等邊三角形,所以,所以,
如圖以A為坐標原點,以,,所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,
令,則,,,
,,所以,,,
設(shè)平面的法向量為,所以,
即,令,則,
設(shè)直線與平面所成角為,
則,
所以直線與平面所成角的正弦值為.
18．[2025屆·陜西寶雞·二模]已知a,b為實數(shù),函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若對任意的,恒成立,求的最小值.
18．答案：(1)答案見解析
(2)
解析：(1)易知,因為,所以,
當時,恒成立,此時在R上單調(diào)遞增,
當時,由,得到,
當時,,當時,,即在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,
綜上,時,在R上單調(diào)遞增,
時,的減區(qū)間為,增區(qū)間為.
(2)因為當時,時,,
由(1)知,要使對任意的,恒成立,則,且恒成立,
即恒成立,得到,
所以,
令,則,由,得到,
當時,,時,,
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,
所以,故的最小值為.
19．[2025屆·陜西寶雞·二模]已知曲線,對坐標平面上任意一點,定義.若兩點P,Q,滿足,稱點P,Q在曲線同側(cè);若,稱點P,Q在曲線兩側(cè).
(1)直線l過原點,線段上所有點都在直線l同側(cè),其中、,求直線l的斜率的取值范圍;
(2)已知曲線,O為坐標原點,求點集的面積;
(3)記到點與到x軸距離和為5的點的軌跡為曲線C,曲線,若曲線C上總存在兩點M,N在曲線兩側(cè),求曲線C的方程與實數(shù)a的取值范圍.
19．答案：(1)
(2)
(3)和,
解析：(1)由題意知：直線l斜率存在,可設(shè)其方程為,即,
,解得：,
直線l斜率的取值范圍為.
(2),,
,即,
點集S表示圓在直線下方的部分（不含邊界）,如下圖陰影部分所示,
設(shè)直線與圓交于A,B兩點,
則圓心到直線的距離為,,
,,
陰影部分面積,
即點集的面積為.
(3)設(shè)曲線C上的動點為,則,
化簡得曲線C的方程為：和,其軌跡為兩段拋物線弧;
由得：;
設(shè)曲線C上的點,點P到點的距離為d,
則;
當時,;
當時,;
則曲線C上的點到的距離的范圍是,
曲線C上總存在兩點M,N在曲線兩側(cè),
,解得：,即實數(shù)a的取值范圍為.
謎語
①
②
③
猜對的概率
0.8
0.5
獲得的獎金（元）
10
20
30
X
0
10
30
60
P
0.2
Y
0
30
50
60
P
0.5

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