一、單選題（本大題共8小題）
1．設(shè)，其中為虛數(shù)單位.則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2．在矩形ABCD中，，則以A，B為焦點(diǎn)，且過(guò)C，D兩點(diǎn)的橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
3．若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的最大值是（ ）
A．B．C．1D．
4．已知圓，圓，兩圓的公共弦所在直線方程是（ ）
A．B．C．D．
5．若（a，b為有理數(shù)），則a=（ ）
A．-25B．25C．40D．41
6．在研究變量與之間的關(guān)系時(shí)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)后得到了一組樣本數(shù)據(jù),利用此樣本數(shù)據(jù)求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)和誤差較大，剔除這兩對(duì)數(shù)據(jù)后，求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且則（ ）
A．8B．12C．16D．20
7．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，對(duì)任意，且都有成立．若，，，則的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
8．設(shè)是首項(xiàng)為，公比為q的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（ ）．
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．如圖，四邊形的斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖為等腰梯形，已知，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．四邊形的面積為D．四邊形的周長(zhǎng)為
10．若曲線（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值可以是（ ）
A．B．C．0D．1
11．甲、乙兩個(gè)口袋各裝有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同．把從甲、乙兩個(gè)口袋中各任取一個(gè)球放入對(duì)方口袋中稱為一次操作，重復(fù)n次操作后，甲口袋中恰有0個(gè)紅球，1個(gè)紅球，2個(gè)紅球分別記為事件，，，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題（本大題共3小題）
12．雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線右支上，若，則 .
13．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是到平面的距離的 倍．
14．把1?2?3?4?5這五個(gè)數(shù)隨機(jī)地排成一個(gè)數(shù)列，要求該數(shù)列恰好先遞增后遞減，則這樣的數(shù)列共有 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)（ω＞0，）在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：
(1)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫(xiě)出函數(shù)的解析式；
(2)當(dāng)時(shí)，求使成立的x的取值集合．
16．已知平面上動(dòng)點(diǎn)到的距離比到直線的距離小1，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為（在第一象限），若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于M，N兩點(diǎn)，證明：．
17．已知函數(shù)．
(1)若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求證：．
18．如圖1，是等邊三角形，為等腰直角三角形，，將沿AC翻折到的位置，且點(diǎn)不在平面內(nèi)（如圖2），點(diǎn)在線段PB上（不含端點(diǎn)）．
(1)證明：；
(2)若直線PC與AB所成角的余弦值為．
（i）當(dāng)直線PB與平面所成角為60°時(shí)，求PF；
（ii）設(shè)平面與平面的夾角為，求的取值范圍．
19．材料一：在伯努利試驗(yàn)中，記每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，試驗(yàn)進(jìn)行到事件第一次發(fā)生時(shí)停止，此時(shí)所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)為，其分布列為，我們稱服從幾何分布，記為.
材料二：求無(wú)窮數(shù)列的所有項(xiàng)的和，如求，沒(méi)有辦法把所有項(xiàng)真的加完，可以先求數(shù)列前項(xiàng)和，再求時(shí)的極限：
根據(jù)以上材料，我們重復(fù)拋擲一顆均勻的骰子，直到第一次出現(xiàn)“6點(diǎn)”時(shí)停止.設(shè)停止時(shí)拋擲骰子的次數(shù)為隨機(jī)變量.
(1)證明：；
(2)求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；
(3)求隨機(jī)變量的方差.
參考答案
1．【答案】A
【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再求出，令求出相應(yīng)的的取值范圍，最后根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>令，即，解得或，
所以推得出，所以充分性成立，
由推不出，所以必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選A.
2．【答案】A
【詳解】由題知：，則，
因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上，所以由橢圓的定義知：，即，
所以.
故選：A.
3．【答案】A
【詳解】解：，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，
所以，則，
所以，
則的最大值是，
故選：A
4．【答案】B
【詳解】由圓，圓，
兩式作差得，，即，
所以兩圓的公共弦所在直線方程是.
故選：B.
5．【答案】D
【解析】先求得二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，然后令求解.
【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，
則，
故選：D
6．【答案】C
【分析】由題意，求出剔除后的平均數(shù)，進(jìn)而求出剔除前的平均數(shù)，根據(jù)回歸直線必過(guò)樣本點(diǎn)中心得到，進(jìn)而得到，將點(diǎn)代入，即可求解.
【詳解】設(shè)沒(méi)剔除兩對(duì)數(shù)據(jù)前的平均數(shù)分別為，，
剔除兩對(duì)數(shù)據(jù)后的平均數(shù)分別為，，
因?yàn)椋?br>所以，，
則，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以，
解得.
故選C.
7．【答案】A
【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)是上的偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
又由對(duì)任意，且，都有成立，則函數(shù)在上為增函數(shù)，
又，，，
又，所以，由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，知，
又，所以，故，
故選：A．
8．【答案】C
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，，即且，
所以，且，兩邊都除以，得，可得．
對(duì)于A，由，可得，故A不正確；
對(duì)于B，因?yàn)?，所以不成立，故B不正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以，可得?br>結(jié)合，可得，故C正確；
對(duì)于D，根據(jù)且，當(dāng)，時(shí)，，
此時(shí)不成立，故D不正確．
故選C．
9．【答案】BC
【詳解】A選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)，
因?yàn)榈妊菪沃?，?br>所以，
又，所以，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，由斜二測(cè)法可知，B正確；
C選項(xiàng)，作出原圖形，可知，，，⊥，
故四邊形的面積為，C正確；
D選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，
則，
由勾股定理得，
四邊形的周長(zhǎng)為，D錯(cuò)誤.
故選：BC
10．【答案】AD
【分析】設(shè)切點(diǎn)為，求導(dǎo)得出斜率，利用點(diǎn)斜式得到切線方程，因?yàn)榍芯€過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，可得到，有兩條切線轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不等的實(shí)根，即可求出a的取值范圍，進(jìn)而得到正確選項(xiàng).
【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，
所以切線的斜率，
則此曲線在P處的切線方程為，
又此切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，
由此推出有兩個(gè)不等的實(shí)根，所以，解得或，
故選AD．
11．【答案】ABD
【分析】對(duì)于A項(xiàng)，重復(fù)一次操作，甲袋中有1紅的情況有兩種，運(yùn)用互斥事件的概率加法公式計(jì)算即得；對(duì)于B項(xiàng)，運(yùn)用條件概率公式，分別算出和代入公式計(jì)算即得；對(duì)于C項(xiàng)，運(yùn)用獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算即得；對(duì)于D項(xiàng)，運(yùn)用相容事件的并的概率公式計(jì)算即得.
【詳解】因在操作前，甲袋中：1紅2白，乙袋中：1紅2白．
對(duì)于A項(xiàng)，重復(fù)1次操作，甲口袋中有1紅的概率，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B項(xiàng)，，，，故，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)，因事件與相互獨(dú)立，則，，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)正確．
故選ABD．
12．【答案】
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線右支上，且，
則，又，
在中，由余弦定理可得，，
所以.
故答案為：.

13．【答案】2
【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則,
設(shè)平面的法向量為，
則，則，
取，則，所以，
，，
所以點(diǎn)到平面的距離為，
點(diǎn)到平面的距離為,
所以，故點(diǎn)到平面的距離是到平面的距離的2倍.
故答案為：2.
14．【答案】14
【詳解】該數(shù)列為先增后減，則5一定是分界點(diǎn)，且前面的順序和后面的順序都只有一種，
當(dāng)5前面只有一個(gè)數(shù)時(shí)，有4種情況，
當(dāng)5前面只有2個(gè)數(shù)時(shí)，有種情況，
當(dāng)5前面有3個(gè)數(shù)時(shí)，有4種情況，
故一共有．
故答案為：14.
15．【答案】(1)表中數(shù)據(jù)見(jiàn)解析，；
(2)
【詳解】（1）表中數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整為：
（2）由可得
所以，解得
所以使成立的x的取值集合為
16．【答案】(1)
(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析
【詳解】（1）由題意得，
當(dāng)時(shí)，，平方化簡(jiǎn)得，
當(dāng)時(shí)，，平方化簡(jiǎn)得，
由可知，不合題意，舍去，
綜上，曲線的方程為；
（2）設(shè)，因?yàn)?，所以?br>故過(guò)點(diǎn)的切線斜率為，又直線的斜率為，
故，解得，故，
又，所以軸，要使，只需，
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，不合要求，
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，
，解得或，
設(shè)，則，
則
，
故，此時(shí)直線的斜率取值范圍是.
17．【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）由，則可得不等式，
由，則，令，
求導(dǎo)可得，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由題意可得.
（2）由，則，令，
求導(dǎo)可得在上恒成立，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由是函數(shù)的極值點(diǎn)，則，即，
由，則，
所以.
18．【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)（i）；（ii）
【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)為，連接，
因?yàn)椋?br>所以，
又因?yàn)?，平面?br>所以平面，
又因?yàn)槠矫妫?br>所以.
（2）（i）因?yàn)闉榈妊切?，?br>所以，
因?yàn)闉榈冗吶切?，所以?br>設(shè)，
所以，
，，
所以，
，所以或，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以兩兩互相垂直，
以為原點(diǎn)，以為基底，建立空間直角坐標(biāo)系，
，
則，
設(shè)，所以，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，
取，得，
所以，
解得或0（不符合題意，舍去），
所以，即.
（ii）設(shè)平面的法向量為，
，
則，
取，得，
所以
，
令，則，
所以，
因?yàn)闀r(shí)，，
所以，
所以.
19．【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)
【詳解】（1）可知，且，
所以，
則.
（2）設(shè)
，
所以，
兩式相減的，
所以，
則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；
（3）因?yàn)?br>，
而，
，
兩式相減：
，
從而，
那么.0
π
x
0
2
0
－2
0
0
π
x
0
2
0
－2
0

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