1.全民閱讀已成為一種良好風(fēng)尚，現(xiàn)在的圖書是人們閱讀的好地方．下列圖書館標(biāo)志的圖形中不是軸對(duì)稱圖形的是( )
A. B. C. D.
2.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(2,4)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A. (-2,4)B. (2,-4)C. (-4,2)D. (4,-2)
3.下列各式從左到右的變形為分解因式的是( )
A. x(x-y)=x2-xy
B. x2+2xy+1=x(x+2y)+1
C. (y-1)(y+1)=y2-1
D. x(x-3)+3(x-3)=(x+3)(x-3)
4.如圖，廠房屋頂外框是等腰三角形，其中AB=AC，AD是△ABC的中線，且∠ABC=30°，AB=50米，則AD=( )米.
A. 15B. 20C. 25D. 30
5.下列運(yùn)算正確的是( )
A. a2+a2=a4B. (a2)3=a6C. 2a2-a2=aD. a2?a3=a6
6.下列各選項(xiàng)中，因式分解正確的是( )
A. (a2+b2)=(a+b)2B. x2-4=(x-2)2
C. m2-4m+4=(m-2)2D. -2y2+6y=-2y(y+3)
7.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，將△ADE沿DE折疊至△FDE位置，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F.若∠A=15°，∠BDF=120°，則∠DEF的度數(shù)為( )
A. 135°
B. 130°
C. 125°
D. 120°
8.如圖，△ABC中，AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E.若AD=3，△ACE的周長(zhǎng)為8，則△ABC的周長(zhǎng)為( )
A. 11
B. 13
C. 14
D. 19
9.如圖，已知直線l垂直平分AB，點(diǎn)C在直線l的左側(cè)，且AB=9，AC=7，BC=5，P是直線l上的任意一點(diǎn)，則PB+PC的最小值是( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 9
10.計(jì)算(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)的結(jié)果為( )
A. 235+2B. 264+1C. 264-1D. 232-1
二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。
11.計(jì)算(1- 3)0+| 3-1|=______.
12.如圖，已知△ABC≌△DEF，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)依次在同一條直線上.若BC=8，CE=5，則CF的長(zhǎng)為______.
13.若x2+kx+4是一個(gè)完全平方式，則k=______.
14.已知xm=3，xn=2，則x2m+n=______.
15.如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)P是CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，且PB=PD.若CP+CD=10，BD=3，則AB的長(zhǎng)為______.
三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.(本小題7分)
計(jì)算：
(1)(a2)3÷a2；
(2)因式分解：3x3-12x.
17.(本小題7分)
先化簡(jiǎn)，再求值.[(xy+2)(xy-2)+4]÷xy，其中x=2,y=-12.
18.(本小題7分)
如圖，已知點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在同一直線上，AB//DE，BC=EF，AB=ED.求證：∠A=∠D.
19.(本小題9分)
如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)O(0,0)，A(-1,2)，B(2,1).
(1)在圖中畫出△AOB關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1OB1，并直接寫出點(diǎn)A1和點(diǎn)B1的坐標(biāo)；(不寫畫法，保留畫圖痕跡)
(2)在x軸上存在點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______.
20.(本小題9分)
如圖，已知：在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°.
(1)作BC的垂直平分線，分別交AB、BC于點(diǎn)E、F；
(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明)
(2)求證：E是AB中點(diǎn).
21.(本小題9分)
為著力打造天藍(lán)地綠水凈、宜居宜業(yè)宜游的綠都鄭州，完成2023年12月31日前的新建綠地任務(wù)，鄭州加快推進(jìn)生態(tài)鄭州、美麗鄭州建設(shè).如圖，現(xiàn)新建一塊長(zhǎng)為3a+2b，寬為2a+b的長(zhǎng)方形綠地，并在綠地中間修建橫向和縱向?qū)挾榷紴閍的道路，將空地分成四塊大小不同區(qū)域.
(1)求綠地(空白部分)的面積；(用含a、b的式子表示)
(2)若a=2，b=3，求綠地(空白部分)的面積.
22.(本小題13分)
對(duì)于一個(gè)圖形，通過不同的方法計(jì)算圖形的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式.例如由圖1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，這樣就用圖形面積驗(yàn)證了完全平方公式.
(1)類似地，寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式為______；
(2)如圖3，用不同的代數(shù)式表示大正方形的面積，由此得到的數(shù)學(xué)等式為______；
(3)利用上面(2)的結(jié)論解決問題：若x+y=7，xy=6，求(x-y)2的值；
(4)利用此方法也可以求出一些不規(guī)則圖形的面積.如圖4，將兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形拼在一起，B、C、G三點(diǎn)在同一直線上，連接BD和BF，若這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)滿足a2+b2=130，ab=63，請(qǐng)求出陰影部分的面積.
23.(本小題14分)
綜合與探究：
在△ABC中，AB=AC=BC=3cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以1cm/s的速度沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).
(1)如圖1，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)，當(dāng)t=______ s時(shí)，△PBC是直角三角形，
(2)如圖2，若另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，如果動(dòng)點(diǎn)P，Q都以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)，求當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形.
(3)如圖3，若另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)，連接PQ交AC點(diǎn)D，且動(dòng)點(diǎn)P，Q都以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā).
①設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)，那么當(dāng)t為______ s時(shí)，△DCQ是等腰三角形？
②如圖4，連接PC在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過程中，請(qǐng)證明△PCD和△QCD的面積始終相等.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確；
C、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：B.
根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析．
此題主要考查了軸對(duì)稱圖形，判斷軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合．
2.【答案】A
【解析】解：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(2,4)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-2,4)，
故選：A.
根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可解答．
本題考查了關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練掌握關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．
3.【答案】D
【解析】解：A、沒把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積，故A錯(cuò)誤；
B、沒把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積，故B錯(cuò)誤；
C、是整式的乘法，故C錯(cuò)誤；
D、把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積，故D正確；
故選：D.
根據(jù)因式分解的定義：將多項(xiàng)式和的形式化為整式積的形式，判斷即可．
此題考查了因式分解的意義，熟練掌握因式分解的定義是解本題的關(guān)鍵．
4.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，AD是△ABC的中線，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABC=30°，
∴AD=12AB=12×50=25(米)，
故選：C.
根據(jù)“等腰三角形三線合一”得到AD⊥BC，再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果．
本題考查等腰三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握“等腰三角形三線合一”的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5.【答案】B
【解析】解：A、a2+a2=2a2，故選項(xiàng)不符合題意；
B、(a2)3=a6，故選項(xiàng)符合題意；
C、2a2-a2=a2，故選項(xiàng)不符合題意；
D、a2?a3=a5，故選項(xiàng)不符合題意；
故選：B.
根據(jù)合并同類項(xiàng)、冪的乘方與積的乘法和同底數(shù)冪乘法法則求解判斷即可．
本題主要考查了合并同類項(xiàng)，冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪乘法，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．
6.【答案】C
【解析】解：A、原式不能分解，不符合題意；
B、原式=(x+2)(x-2)，不符合題意；
C、原式=(m-2)2，符合題意；
D、原式=-2y(y-3)，不符合題意．
故選：C.
各式分解得到結(jié)果，即可作出判斷．
此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．
7.【答案】A
【解析】解：由題意得，∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED，
∵∠BDF=120°，
∴∠ADF=180°-120°=60°，
∴∠ADE=12∠ADF=30°，
∴∠DEA=180°-∠A-∠ADE=180°-15°-30°=135°，
∵△ADE沿DE折疊至△FDE位置，
∴∠DEF=∠DEA=135°，
故選：A.
由折疊的性質(zhì)可得∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED，由鄰補(bǔ)角定義可解得∠ADF=60°，繼而解得∠ADE=12∠ADF=30°，再由三角形內(nèi)角和180°解得∠DEA=135°，最后由折疊的性質(zhì)解答即可．
本題考查三角形的內(nèi)角和、折疊的性質(zhì)等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
8.【答案】C
【解析】解：∵DE是AB的垂直平分線，
∴EA=EB，AB=2AD=6，
∵△ACE的周長(zhǎng)為8，
∴AC+CE+EA=8，
∴AC+CE+EB=AC+CB=8，
∴△ABC的周長(zhǎng)=AC+CB+AB=8+6=14，
故選：C.
根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA=EB，AB=2AD=6，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．
本題的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
9.【答案】C
【解析】解：連接BP，
∵直線l垂直平分AB，
∴BP=AP，
∴PB+PC=PA+PC≥AC，
所以PB+PC的最小值是AC，值為7，
故選：C.
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，找出最短距離并求解．
本題考查了最短路徑，理解兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本題考查了平方差公式的應(yīng)用，注意：(a+b)(a-b)=a2-b2.
把前面的1變?yōu)?2-1)，再依次運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】
解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)，
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)，
=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)，
=(28-1)(28+1)(216+1)(232+1)，
=(216-1)(216+1)(232+1)，
=(232-1)(232+1)，
=264-1
故選：C.
11.【答案】 3
【解析】解：原式=1+ 3-1
=1-1+ 3
= 3，
故答案為： 3.
根據(jù)零指數(shù)冪的性質(zhì)和絕對(duì)值的性質(zhì)，計(jì)算乘方和去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后算加減即可．
本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握零指數(shù)冪的性質(zhì)和絕對(duì)值的性質(zhì)．
12.【答案】3
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，
又BC=8，
∴EF=8，
∵EC=5，
∵CF=EF-EC=8-5=3.
故答案為：3.
根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到EF=BC=7，計(jì)算即可．
本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．
13.【答案】±4
【解析】解：∵(x±4)2=x2±4x+4，
∴若x2+kx+4是一個(gè)完全平方式，則k=±4，
故答案為：±4.
運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算、求解．
此題考查了完全平方公式的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用以上知識(shí)進(jìn)行求解．
14.【答案】18
【解析】解：x2m+n=(xm)2?xn=32×2=9×2=18，
故答案為：18.
利用冪的乘方以及同底數(shù)的冪的乘法公式，x2m+n=(xm)2?xn=32×2代入求值．
本題考查了同底數(shù)冪的乘法，積的乘方的性質(zhì)，同底數(shù)冪的除法，熟練掌握運(yùn)算性質(zhì)和法則是解題的關(guān)鍵．
15.【答案】163
【解析】解：過P作PM⊥BC于點(diǎn)M，
∵PB=PD，BD=3，
∴DM=12BD=32，
設(shè)CD=x，則CM=CD+DM=x+32，
∵CP+CD=10，
∴CP=10-x，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠C=60°，AB=BC，
∵PM⊥BC，
∴∠PMC=90°，
∴∠MPC=30°，
∴CM=12CP，即x+32=12(10-x)，
解得x=73，
∴BC=BD+CD=3+73=163，
∴AB=163.
故答案為：163.
由PB=PD可過P作垂直，利用三線合一求出DM=12BD=32，再設(shè)CD=x，則CP=10-x，CM=x+32，最后在Rt△PCM中，利用30度所對(duì)直角邊是斜邊的一半建立方程，求出x，進(jìn)而求出BC，即可得解．
本題主要考查了含有30度的直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
16.【答案】解：(1)原式=a6÷a2=a4；
(2)3x3-12x=3x(x2-4)=3x(x+2)(x-2).
【解析】(1)根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則、冪的乘方與積的乘方法則進(jìn)行解題即可；
(2)根據(jù)提公因式法與公式法進(jìn)行解題即可．
本題考查同底數(shù)冪的除法、冪的乘方與積的乘方、提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
17.【答案】解：原式=(x2y2-4+4)÷xy
=x2y2÷xy
=xy，
當(dāng)x=2,y=-12時(shí)，
原式=2×(-12)
=-1.
【解析】按照平方差公式進(jìn)行中括號(hào)內(nèi)的乘法，然后合并同類項(xiàng)，再根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后把x，y的值代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行計(jì)算即可．
本題主要考查了整式的化簡(jiǎn)求值，解題關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式、合并同類項(xiàng)和單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則．
18.【答案】證明：∵AB//DE，
∴∠B=∠E，
在△ABC與△DEF中，
AB=ED∠B=∠EBC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴∠A=∠D.
【解析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠B=∠E，進(jìn)而利用SAS證明△ABC與△DEF全等，利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．
此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，其中全等三角形的判定方法有：SSS；SAS；ASA；AAS；以及HL(直角三角形的判定方法).
19.【答案】(1,0)
【解析】解(1)如圖所示，即為所求，
由圖形知，A1(1,2)，B1(-2,1)；
(2)如圖，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接BB'交x軸于點(diǎn)P，
由圖形知，點(diǎn)P即為所求，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)，
故答案為：(1,0).
(1)根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置即可；
(2)根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短可知：作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接BB'交x軸于點(diǎn)P，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
本題主要考查了作圖-軸對(duì)稱變換，軸對(duì)稱-最短路線問題，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20.【答案】(1)解：如圖，直線EF即為所求．
(2)證明：∵直線EF為線段BC的垂直平分線，
∴點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，∠BFE=90°，
∵∠A=30°，∠B=60°，
∴∠C=90°，
∴EF//AC，
∴點(diǎn)E是AB中點(diǎn)．
【解析】(1)根據(jù)線段垂直平分線的作圖方法作圖即可．
(2)由線段垂直平分線的性質(zhì)可得點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，∠BFE=90°，可得EF//AC，進(jìn)而可得點(diǎn)E是AB中點(diǎn)．
本題考查作圖-基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
21.【答案】解：(1)用平移法得到變換圖形如下，空白部分為長(zhǎng)為2a+2b，寬為a+b的長(zhǎng)方形，
故面積為：
(2a+2b)(a+b)
=2(a+b)2
=2a2+4ab+2b2；
答：綠地(空白部分)的面積是2a2+4ab+2b2.
(2)解：當(dāng)a=2，b=3時(shí)，
原式=2(a+b)2
=2×25
=50.
答：綠地(空白部分)的面積是50.
【解析】(1)根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的乘法法則解決此題．
(2)將a=2，b=3代入求值．
本題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的乘法法則是解決本題的關(guān)鍵．
22.【答案】a(b+c)=ab+ac (a-b)2+4ab=(a+b)2
【解析】解：(1)根據(jù)題意可知，圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式為：a(b+c)=ab+ac，
故答案為：a(b+c)=ab+ac；
(2)由圖可知，用不同的代數(shù)式表示大正方形的面積，得到的數(shù)學(xué)等式為：
(a+b)2=(a-b)2+4ab，
故答案為：(a+b)2=(a-b)2+4ab；
(3)由(2)可知：(x+y)2=(x-y)2+4xy，
∴72=(x-y)2+4×6，
解得：(x-y)2=25.
故答案為：25；
(4)由圖可知：陰影部分的面積為：
a2+b2-12a2-12(a+b)b
=a2+b2-12a2-12ab-12b2
=12a2+12b2-12ab
=12(a2+b2)-12ab
=12×130-12×63
=33.5.
(1)根據(jù)大長(zhǎng)方形的面積等于兩個(gè)小長(zhǎng)方形的面積之和，即可求解；
(2)根據(jù)大正方形的面積等于四個(gè)小長(zhǎng)方形的面積與小正方形的面積之和，即可求解；
(3)由(2)可知：(x+y)2=(x-y)2+4xy，即可求解；
(4)由圖可知：陰影部分的面積=a2+b2-12a2-12(a+b)b，化簡(jiǎn)后即可求解．
本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的定義是關(guān)鍵．
23.【答案】1.5 1
【解析】解：(1)∵CB=BA=CA，
∴△ABC是等邊三角形，
∴當(dāng)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，
∵AB⊥PC，則△PBC是直角三角形，
∵AP=12AB=1.5cm，
∴t=1.5÷1=1.5s，
故答案為：1.5；
(2)根據(jù)題意可得：BQ=t，AP=t，
則BP=AB-AP=3-t，
∵△ABC是等邊三角形，則∠B=60°，
當(dāng)PQ⊥BC時(shí)，如圖2，∠BQP=90°，
∴∠BPQ=90°-∠B=30°，
∴BQ=12BP=12(3-t)，
∴12(3-t)=t，
解得：t=1；
當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，∠BPQ=90°，
∴∠BQP=90°-∠B=30°，
∴2BP=BQ，即2(3-t)=t，
解得：t=2；
綜上所述，當(dāng)t為1s或2s時(shí)，△PBQ是直角三角形；
(3)①∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠A=60°，
∴∠ACQ=∠A+∠B=120°，
∵△DCQ是等腰三角形，此時(shí)只能使CD=CQ，
∴AP=CD=CQ=t，∠Q=∠CDQ=30°，
∴∠CDQ=∠ADP=30°，AD=AC-CD=3-t，
∴∠APD=180°-∠A-∠ADP=180°-60°-30°=90°，
∴AD=2AP，
∴3-t=2t，
解得：t=1，
∴當(dāng)t為1，△DCQ是等腰三角形，
故答案為：1；
②證明：如圖，過點(diǎn)P作PF//BC交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CE⊥PQ于點(diǎn)E，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠APF=60°，
∴△PAF是等邊三角形，
∴PF=PA=CQ=t，
∵BC//FP，
∴∠CQD=∠FPD，
在△PFD和△QCD中，∠FDP=∠CDQ，∠FPD=∠CQD，PF=CQ，
∴△PFD≌△QCD(AAS)，
∴PD=DQ，
∵△PDC和△DQC的高均為CE，
∴S△PCD=12PD?CE，S△QCD=12DQ?CE，
∴S△PCD=S△QCD.
(1)由題意可得△ABC是等邊三角形，推出當(dāng)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，AB⊥PC，此時(shí)△PBC是直角三角形，得到AP=12AB=1.5cm，即可求解；
(2)根據(jù)題意可得：AP=t，BQ=t，進(jìn)而得到BP=3-t，由△ABC是等邊三角形，可得∠B=60°，分兩種情況：當(dāng)PQ⊥BC時(shí)，當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)，列出關(guān)于t的方程即可求解；
(3)①根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠ACQ=120°，推出△DCQ是等腰三角形，此時(shí)只能使CD=CQ，然后證明△APD是直角三角形，再列出關(guān)于t的方程即可求解；②過點(diǎn)P作PF//BC交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CE⊥PQ于點(diǎn)E，可得△APF是等邊三角形，推出AP=PF=CQ=t，證明△PFD≌△QCD，得到PD=DQ，即可證明．
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)．

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