數(shù)學(xué)試題
命題人：高軍 審題人：楊立雅
一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）
1. 已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且方向向量，則方程為（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知，且，則的值為（ ）
A. 5B. C. 3D. 4
3. “”是“直線與直線平行”的（ ）
A. 充要條件B. 必要不充分條件C. 充分不必要條件D. 既不充分也不必要條件
4. 以點(diǎn)為圓心，并與軸相切的圓的方程是（ ）
A. B.
C. D.
5. 空間四邊形中，，點(diǎn)在上，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上的一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
7. 已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，上的頂點(diǎn)為P，且，則此橢圓長(zhǎng)軸為（ ）
A. B. C. 6D. 12
8. 已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在的右支上，與的一條漸近線平行，交的另一條漸近線于點(diǎn)，若，則的離心率為（ ）

A. B. C. 2D.
二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）
9. 已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 與垂直B. 與共線
C. 與所成角為銳角D. ，，，可作為空間向量的一組基底
10. 下列說法正確的是（ ）
A. 直線的傾斜角為
B. 若直線經(jīng)過第三象限，則，
C. 點(diǎn)在直線上
D. 存在使得直線與直線垂直
11. 如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，則下列選項(xiàng)中正確的有（ ）

A. 異面直線與夾角的正弦值為
B. 二面角的平面角的正切值為
C. 四棱錐的外接球體積為
D. 三棱錐與三棱錐體積相等
12. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓動(dòng)弦，圓，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. 當(dāng)圓和圓存在公共點(diǎn)時(shí)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
B. 的面積最大值為1
C. 若原點(diǎn)始終在動(dòng)弦上，則不是定值
D. 若動(dòng)點(diǎn)滿足四邊形為矩形，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）
13. 兩條平行直線與之間的距離是_______．
14. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是、，離心率為，為雙曲線上一點(diǎn)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的面積為______.
15. 已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上的一點(diǎn)，且，若的面積為9，則的值為______．
16. 已知棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD，M為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，則_______
四．解答題（共6小題，滿分70分）
17. 已知等腰的一個(gè)頂點(diǎn)在直線：上，底邊的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，．
（1）求邊上的高所在直線方程；
（2）求點(diǎn)到直線的距離．
18. 已知圓C的方程為：．
（1）若直線與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）過點(diǎn)作圓C的切線，求切線方程．
19. 已知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍.
（1）求方程；
（2）若傾斜角為的直線與交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求.
20. 如圖，已知平面，底面為正方形，，M，N分別為，的中點(diǎn).

（1）求證：平面；
（2）求與平面所成角的正弦值.
21. 設(shè)拋物線：（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上位于第一象限的一點(diǎn)，且.

（1）求拋物線的方程；
（2）如圖，過點(diǎn)作兩條直線，分別與拋物線交于異于的，兩點(diǎn)，若直線，的斜率存在，且斜率之和為0，求證：直線的斜率為定值.
22. 已知四棱柱中，底面為梯形，平面，其中.是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．
（1）求證平面；
（2）求平面與平面的夾角余弦值；
（3）求點(diǎn)到平面的距離．河南省信陽高級(jí)中學(xué)北湖校區(qū)
2024-2025學(xué)年高二上期期中測(cè)試
數(shù)學(xué)試題
命題人：高軍 審題人：楊立雅
一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）
1. 已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且方向向量，則方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由直線的方向向量求出斜率，再由點(diǎn)斜式得到直線方程即可；
【詳解】因?yàn)橹本€的方向向量，所以直線的斜率為2，
又直線經(jīng)過點(diǎn)，所以直線方程為，即，
故選：B.
2. 已知，且，則的值為（ ）
A. 5B. C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由題意可得，代入坐標(biāo)計(jì)算可得答案．
【詳解】由題意可得，則，解之可得.
故選：D．
3. “”是“直線與直線平行”的（ ）
A. 充要條件B. 必要不充分條件C. 充分不必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)直線平行的條件，判斷“”和“直線與直線平行”之間的邏輯關(guān)系，即可得答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，直線與平行；
當(dāng)直線與直線平行時(shí)，
有且，解得，
故“”是“直線與直線平行”的充要條件.
故選：A.
4. 以點(diǎn)為圓心，并與軸相切圓的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題意確定圓的半徑，即可求解.
【詳解】解：由題意，圓心坐標(biāo)為點(diǎn)，半徑為，
則圓的方程為．
故選：D．
5. 空間四邊形中，，點(diǎn)在上，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量的三角形法則和平行四邊形法則，利用基底表示向量．
【詳解】點(diǎn)為的中點(diǎn)，則有，
所以.
故選：B.
6. 已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上的一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】求出拋物線焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，設(shè)，結(jié)合與拋物線方程，得到，由焦半徑公式得到答案.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，
設(shè)，則，解得或（舍去），
則．
故選：B．
7. 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，上的頂點(diǎn)為P，且，則此橢圓長(zhǎng)軸為（ ）
A. B. C. 6D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得到c，再由得到a，c的關(guān)系求解.
【詳解】因?yàn)闄E圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，則，
又上頂點(diǎn)為P，且，所以，所以，故長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12.
故選：D
8. 已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在的右支上，與的一條漸近線平行，交的另一條漸近線于點(diǎn)，若，則的離心率為（ ）

A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)出直線的方程，與漸近線的方程聯(lián)立，求出的坐標(biāo)，由為的中點(diǎn)，，得為的中點(diǎn)，求出的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程求解即可.
【詳解】令，由對(duì)稱性，不妨設(shè)直線的方程為，
由，解得，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由為的中點(diǎn)，，得為的中點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
代入雙曲線的方程，有，
即，，
解得，所以雙曲線的離心率為．
故選：A
二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）
9. 已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 與垂直B. 與共線
C. 與所成角為銳角D. ，，，可作為空間向量的一組基底
【答案】BC
【解析】
【分析】對(duì)A：計(jì)算出即可得；對(duì)B：由向量共線定理計(jì)算即可得；對(duì)C：計(jì)算并判斷與是否共線即可得；對(duì)D：借助空間向量基本定理即可得.
【詳解】對(duì)A：，故與不垂直，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B：由、，有，故與共線，故B正確；
對(duì)C：，且與不共線，
故與所成角為銳角，故C正確；
對(duì)D：由與共線，故，，不可作為空間向量的一組基底，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
10. 下列說法正確的是（ ）
A. 直線的傾斜角為
B. 若直線經(jīng)過第三象限，則，
C. 點(diǎn)在直線上
D. 存在使得直線與直線垂直
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出直線的斜率，從而得到傾斜角，即可判斷A；利用特殊值判斷B；將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程即可判斷C；根據(jù)兩直線垂直求出參數(shù)的值，即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A：直線的斜率，所以該直線的傾斜角為，故A正確；
對(duì)于B：當(dāng)，時(shí)，直線經(jīng)過第三象限，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：將代入方程，則，即點(diǎn)在直線上，故C正確；
對(duì)于D：若兩直線垂直，則，解得，故D正確.
故選：ACD.
11. 如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，則下列選項(xiàng)中正確的有（ ）

A. 異面直線與的夾角的正弦值為
B. 二面角的平面角的正切值為
C. 四棱錐的外接球體積為
D. 三棱錐與三棱錐體積相等
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)于選項(xiàng)A：根據(jù)異面直線的夾角分析求解；對(duì)于B：分析可知為二面角的平面角，運(yùn)算求解即可；對(duì)于C：四棱錐的外接球即為正方體的外接球，求正方體的外接球即可；對(duì)于D：根據(jù)錐體的體積公式分析判斷即可.
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)椋?br>在中，就是異面直線所成的角，
且，則，故A正確；
對(duì)于B：連接交于點(diǎn)O，連接，

因?yàn)槠矫鍭BCD，BD?平面ABCD，則BD，
又因?yàn)锽D⊥AO，，?平面，可得BD⊥平面，
且平面，則BD⊥，
可知為二面角的平面角，
在中，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，顯然四棱錐的外接球即為正方體的外接球，
因?yàn)檎襟w外接球的半徑，
所以正方體的外接球體積為，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋?br>三棱錐的高與三棱錐的高相等，底面積，
故三棱錐與三棱錐體積相等，故D正確.
故選：ACD
12. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的動(dòng)弦，圓，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. 當(dāng)圓和圓存在公共點(diǎn)時(shí)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
B. 的面積最大值為1
C. 若原點(diǎn)始終在動(dòng)弦上，則不是定值
D. 若動(dòng)點(diǎn)滿足四邊形為矩形，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)兩圓位置關(guān)系列不等式求解實(shí)數(shù)的范圍判斷A，根據(jù)三角形面積結(jié)合正弦函數(shù)可求出面積最大值判斷B，分類討論，設(shè)直線方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合數(shù)量積數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算求解判斷C，先根據(jù)矩形性質(zhì)結(jié)合垂徑定理得到點(diǎn)的軌跡，然后利用圓的周長(zhǎng)公式求解判斷D.
【詳解】對(duì)于A，圓的圓心為1,0，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
當(dāng)圓和圓存在公共點(diǎn)時(shí)，，
所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，正確；
對(duì)于B，的面積為，
當(dāng)時(shí)，的面積有最大值為1，正確；
對(duì)于C，當(dāng)弦垂直x軸時(shí)，，所以，
當(dāng)弦不垂直x軸時(shí)，設(shè)弦所在直線為，
與圓聯(lián)立得，，
設(shè)，
則，，
綜上，恒為定值，錯(cuò)誤；
對(duì)于D，設(shè)Px0,y0，OP中點(diǎn)，該點(diǎn)也是AB中點(diǎn)，且，
又，所以，
化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)的軌跡為以1,0為圓心，半徑為的圓，
其周長(zhǎng)為長(zhǎng)度為，正確.
故選：ABD
三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）
13. 兩條平行直線與之間的距離是_______．
【答案】##
【解析】
【分析】將直線的方程可化為，利用平行線間的距離公式可求得結(jié)果.
【詳解】直線的方程可化為，且直線的方程為，
所以，平行直線與之間的距離為.
故答案為：.
14. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是、，離心率為，為雙曲線上一點(diǎn)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的面積為______.
【答案】
【解析】
【分析】由雙曲線的離心率可求得的值，可求得的值，推導(dǎo)出為直角，利用勾股定理結(jié)合雙曲線的定義可求出的值，再利用三角形的面積公式可求得的面積.
【詳解】如圖所示：因?yàn)殡p曲線的離心率，所以，，
設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上，由，
可得，，
所以，，
由雙曲線定義可得，由勾股定理可得，
所以，可得，
因此的面積為.

故答案為：.
15. 已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上的一點(diǎn)，且，若的面積為9，則的值為______．
【答案】3
【解析】
【分析】由橢圓的性質(zhì)結(jié)合三角形面積公式計(jì)算即可.
【詳解】
，
，①
又
②
①-②得：，
的面積為9，
，
故答案為：3.
16. 已知棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD，M為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，則_______
【答案】##
【解析】
【分析】由題意可得：，根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可知：，且，
因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，

則，
所以
.
故答案為：
四．解答題（共6小題，滿分70分）
17. 已知等腰的一個(gè)頂點(diǎn)在直線：上，底邊的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，．
（1）求邊上的高所在直線方程；
（2）求點(diǎn)到直線的距離．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出的中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用垂直關(guān)系得到高所在直線的斜率，得到高所在直線方程；
（2）聯(lián)立兩直線得到點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線距離公式求出答案.
【小問1詳解】
由題意可知，為的中點(diǎn)，
，，
．
又，
．
所在直線方程為，即．
【小問2詳解】
由，解得，所以．
又直線方程為，即．
點(diǎn)到直線的距離．
18. 已知圓C的方程為：．
（1）若直線與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）過點(diǎn)作圓C的切線，求切線方程．
【答案】（1）或；
（2）或．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，以及垂徑定理，即可求解；
（2）結(jié)合切線的定義和點(diǎn)到直線的距離公式，即可分類討論思想，即可求解．
【小問1詳解】
圓的方程為：，
則圓的圓心為，半徑為2，
直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且，
則，解得或；
【小問2詳解】
當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線，與圓相切，
切線的斜率存在時(shí)，可設(shè)切線為，即，
由切線的定義可知，，解得，
故切線方程為，
綜上所述，切線方程為或．
19. 已知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍.
（1）求的方程；
（2）若傾斜角為的直線與交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件確定的值，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）涉及中點(diǎn)弦問題，可以考慮“點(diǎn)差法”解決問題.
【小問1詳解】
由題意可得，得，所以的方程為.
【小問2詳解】
由題意得.
設(shè)，，依題意可得，且，
由得，
則，解得.
經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)在橢圓內(nèi).
所以為所求.
20. 如圖，已知平面，底面為正方形，，M，N分別為，的中點(diǎn).

（1）求證：平面；
（2）求與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，空間向量法證明直線與法向量平行，即可證明結(jié)論成立；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方法向量，以及平面的一個(gè)法向量，計(jì)算向量夾角余弦值，即可得出結(jié)果；
【小問1詳解】
以原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則,
，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則 ，取，得，
因?yàn)?，所以平面?br>【小問2詳解】
，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取，得，
設(shè)直線與平面所成角為，
則直線與平面所成角的正弦值為：
．
21. 設(shè)拋物線：（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上位于第一象限的一點(diǎn)，且.

（1）求拋物線的方程；
（2）如圖，過點(diǎn)作兩條直線，分別與拋物線交于異于的，兩點(diǎn)，若直線，的斜率存在，且斜率之和為0，求證：直線的斜率為定值.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）代入拋物線的焦半徑公式求，即可求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）首先根據(jù)（1）的結(jié)果求點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線和的直線方程與拋物線方程聯(lián)立，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，并表示直線的坐標(biāo)，即可證明.
【小問1詳解】
由拋物線的定義知，解得，
所以拋物線的方程為.
【小問2詳解】
因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，即，解得，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由題意可知，直線，不與軸平行，設(shè)，，
設(shè)直線：，即，
代入拋物線的方程得，即，
則，故，
所以，
即
設(shè)直線：，即，
同理可得，則，
即
直線的斜率，
所以直線斜率為定值.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用直線與的斜率互為相反數(shù)，與拋物線方程聯(lián)立，利用兩根之和公式求點(diǎn)的坐標(biāo).
22. 已知四棱柱中，底面為梯形，平面，其中.是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．
（1）求證平面；
（2）求平面與平面的夾角余弦值；
（3）求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，借助中位線的性質(zhì)可得四邊形是平行四邊形，再利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合線面平行的判定定理計(jì)算即可得；
（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量后結(jié)合空間向量夾角公式計(jì)算即可得；
（3）借助空間中點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可得.
【小問1詳解】
取中點(diǎn)，連接，，
由是的中點(diǎn)，故，且，
由是的中點(diǎn)，故，且，
則有、，
故四邊形是平行四邊形，故，
又平面，平面，
故平面；
【小問2詳解】
以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
有A0,0,0、、、、C1,1,0、，
則有、、，
設(shè)平面與平面的法向量分別為m=x1,y1,z1、n=x2,y2,z2，
則有，，
分別取，則有、、、，
即，，
則，
故平面與平面的夾角余弦值為；
【小問3詳解】
由，平面的法向量為，
則有，
即點(diǎn)到平面的距離為．

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【高二】信陽高中北湖校區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)：

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數(shù)學(xué)-信陽高中北湖校區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考：

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信陽高中北湖校區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)：

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