【高二】信陽高中北湖校區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

數(shù)學(xué)試題
命題人：楊立雅審題人：龔宏偉
一、單選題
1．如圖，平行四邊形O?A?B?C?是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O? A? ? 4 ，
O?C? ? ，? A?O?C? ? 30? ，則原圖形OA與 BC 間的距離為
2
A．1 B． 2 C．2 2 D．4
A．?x|?1? x ? 2? B．?x|?1? x ? 5?
4．直線l1 :ax ? y ?1 ? 0 與 2 :3 ( 2) 4 0
l x ? a ? y ? a ? ? 平行，則實(shí)數(shù) a 的值是
2
A．-1 或 3 B．-1 C．-3 或 1 D．3
6．已知m,n是兩條不同的直線，? ，? 是兩個(gè)不重合的平面，則有下列命題
①m/ /? ，n / /? ，? / /? ? m / /n；
②? ? ? ，m ?? ，n ? ? ? m ? n；
1 司2．為了得到函數(shù) y ? 2sin 3x 的圖象，只要把函數(shù)
? π ?
y ? 2sin?3x ? ?
圖象上所有的點(diǎn)
? ?
5
A．向左平移
π
5
個(gè)單位長度 B．向右平移
π
5
個(gè)單位長度
π
C．向左平移
15
π
個(gè)單位長度 D．向右平移
15
個(gè)單位長度
3．已知函數(shù) f ?2x ?1?的定義域?yàn)??1，2?，則函數(shù)
y ?
f x
? ?
x ?1
的定義域?yàn)?br>? 1?
C． x|?1? x ?
? ?
? ?
2
D．{x | ?1? x ? 5}
?
5．已知a
?
，b
?
，c
是三個(gè)非零平面向量，則下列敘述正確的是
? ? ? ?
A．若|a |?|b |，則a ? ?b
? ? ? ?
? ?
B．若| a ? b |?| a ? b |，則a ? b
? ?
C．若a?b ? a?c ，則b ? c
? ? ? ? ? ?
D．若a / /b，則a?b ?| a || b |
③m// n，m ?? ，n ? ? ? ? ? ? ；
④? ? ? ，m ?? ? m ? ? .
其中正確命題的個(gè)數(shù)為
A．0 B．1 C．2 D．3
則三棱錐 P ? AMN 和三棱錐 P ? ABC 的體積之比為
二、多選題
8．已知i 為虛數(shù)單位，則
B．若 x, y ?C，則 x ? yi ?1? i 的充要條件是 x ? y ?1
9．已知a ? 0，b ? 0，且a ?b ? 4 ，則
A．a(chǎn) ? 2b ? 4 B．?a ?1??b ?1? ?1
C．lg2 a ?lg2 b ? 2 D．2 4 8
a ? b ?
10．下列說法不正確的有
A．若兩條直線2x ? ay ?5 ? 0與ax ? 2y ?5 ? 0 互相平行，則實(shí)數(shù) a 的值為?2
B．若直線 y ? kx ?b不經(jīng)過第三象限，則點(diǎn)(k,b) 在第二象限
C．過點(diǎn)(?2,?3) 且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線 l 的方程為 x ? y ? ?5
D．已知直線kx ? y ? k ?1? 0 和以M (?3,1)，N(3,2)為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù) k
11．V ABC 中，角A ， B ，C 所對(duì)的邊為a ，b ，c ，下列敘述正確的是
A．若acsB ? bcsA，則V ABC 是等腰三角形
C．若 A ? B ，則csA ? csB
2 司7．在三棱錐 P ? ABC 中，點(diǎn) M,N 分別在棱 PC,PB 上，且
1 2
PM ? PC ，PN ? PB ，
3 3
1
9
A．
B．
1
3
C．
2
9
D．
4
9
A．若復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù)為 z ，則
2 2
z ? z ? z ? z
C．若復(fù)數(shù) z ? z ，則
1 2
z ， z2 ?R
1
D．若復(fù)數(shù)
z ?
3i
2 ?i
，則 3 5
z ?
5
3
的取值范圍為k ? 或
2
k ? ?
1
2
B．若
a b c
? ? ，則V ABC 一定是等邊三角形
csA csB csC
? π?
D．若2b ? a ? c ，則 ?? ?
B 0,
? ?
3
12．陽馬和鱉臑［biē nà］是我國古代對(duì)一些特殊錐體的稱謂，取一長方體按下
圖斜割一分為二，得兩個(gè)一模一樣的三棱柱（圖 2，圖 3），稱為塹堵．再沿塹堵
的一頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開（圖 4），得四棱錐和三棱錐各一個(gè)．以矩形為底，有
一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽馬（圖 5）．余下的三棱錐是由四個(gè)直角三角
形組成的四面體，稱為鱉臑（圖 6）．若圖 1 中的長方體是棱長為 4 的正方體，
則下列結(jié)論正確的是
A．鱉臑中只有一個(gè)面不是直角三角形 B．鱉臑的外接球半徑為2 3
? π ? 1
14．若? ?? ? ? ? ，則sin? ?cs? ? ．
0, , tan ? ?
2 2
15．已知一組數(shù)據(jù) x1, x2 ,?, xn 的平均數(shù) x ? 6 ，方差 s2 ? 21，去掉一個(gè)數(shù)據(jù)之后，剩
余數(shù)據(jù)的平均數(shù)沒有變，方差變?yōu)?24，則這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)n ? .
16．在三棱錐 P ? ABC 中，V ABC 是等邊三角形，PA ?平面 ABC ，PA ? 4 ，AB ? 2 2 ，
D 是 AC 的中點(diǎn)，球O為三棱錐 P ? ABD 的外接球，G 是球O上的一點(diǎn)，則三棱錐
G ? PDC 體積的最大值是 .
3 司C．鱉臑的體積為正方體的
1
4 D．鱉臑內(nèi)切球半徑為2 2 ? 2
三、填空題
???? ????
13．正方形 ABCD 的邊長是2,E是 AB 的中點(diǎn)，則 EC ? ED ?
.
四、解答題
? ???? ? ????
17．已知點(diǎn) A(?2, 0, 2) ， B(?1,1, 2) ，C(?3, 0, 4) ，設(shè)a ? AB ，b ? AC
．
? ?
（1）求a ，b 夾角的余弦值．
? ? ? ?
（2）若向量ka ?b，ka ?2b垂直，求k 的值．
18．某城市醫(yī)保局為了對(duì)該城市多層次醫(yī)療保障體系建設(shè)加強(qiáng)監(jiān)管，隨機(jī)選取了
100 名參保群眾，就該城市多層次醫(yī)療保障體系建設(shè)的推行情況進(jìn)行問卷調(diào)查，
并將這 100 人的問卷根據(jù)其滿意度評(píng)分值（百分制）按照[50,60),[60,70),?,[90,100]
分成 5 組，制成如圖所示頻率分布直方圖.
（1）求圖中 x 的值；
（2）求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；
（3）已知滿意度評(píng)分值在[80,90)內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)的比為3: 2 ，若在滿意度評(píng)
分值為[80,90)的人中按照性別采用分層抽樣的方法抽取 5 人，并分別依次進(jìn)行座
談，求前 2 人均為男生的概率.
19．已知圓 C 和直線l1 ：x ? y ?1? 0 ，l2 ：2x ? y ? 2 ? 0，若圓 C 的圓心為?2,1?且經(jīng)
過直線l 和l 的交點(diǎn).
1 2
（1）求圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線 l：kx ? y ? 2 ? 0與圓 C 交于 M，N 兩點(diǎn)，且 MN ? 2 6 ，求直線 l 的方
程.
4 司? ?
（3）若向量?a ?b
? ?
，a ??b
平行，求? 的值．
B
20．在?ABC 中，內(nèi)角 A,B,C 的對(duì)邊分別是a,b,c ，且bsinC ? 3csin .
2
（1）求角 B 的大小；
21．如圖，三棱錐 A? BCD中， DA ? DB ? DC ， BD ? CD ，?ADB ? ?ADC ? 60? ，E
為 BC 的中點(diǎn)．
（1）證明： BC ? DA ；
???? ????
（2）點(diǎn) F 滿足 EF ? DA，求二面角 D ? AB ? F 的正弦值．
22．作為世界乒壇本賽季收官戰(zhàn)，首屆WTT( 世界乒乓球職業(yè)大聯(lián)盟) 世界杯總決
賽2021年12月7 日在新加坡結(jié)束男女單打決賽的較量，國乒包攬雙冠成為最大贏
家．我市男子乒乓球隊(duì)為備戰(zhàn)下屆市運(yùn)會(huì)，在某訓(xùn)練基地進(jìn)行封閉式訓(xùn)練，甲、
乙兩位隊(duì)員進(jìn)行對(duì)抗賽，每局依次輪流發(fā)球，連續(xù)贏2 個(gè)球者獲勝，通過分析甲、
球的結(jié)果互不影響，已知某局甲先發(fā)球．
（1）求該局打4 個(gè)球甲贏的概率；
（2）求該局打5個(gè)球結(jié)束的概率．
5 司（2）若b ? 6，且V ABC 的面積為
7 3
2
，求 AC 邊上的中線長.
乙過去對(duì)抗賽的數(shù)據(jù)知，甲發(fā)球甲贏的概率為
2
3
，乙發(fā)球甲贏的概率為
1
4
，不同
河南省信陽高級(jí)中學(xué)北湖校區(qū)
2024-2025 學(xué)年高二上期開學(xué)測(cè)試
數(shù)學(xué)答案
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D B B C ACD AD BC
題號(hào) 11 12
答案 ABC BD
13．3 14．? 5 15．8 16．2 3
5
5
(2)k ? 2或k ? ? .
2
(3)? ? ?1
【分析】（1）利用夾角公式可求夾角的余弦值.
（2）利用向量垂直的坐標(biāo)形式可求參數(shù)的值.
（3）利用共線向量定理可求參數(shù)的值.
（2）由（1）可得
? ? ? ?
因?yàn)橄蛄縦a ?b，ka ?2b k ? 2 k ?1 ? k ?8 ? 0，
垂直，故? ?? ?
2
? ? ? 整理得到：?? ?t?a ? ?t? ?1?b? 0 ，
故? ? ?1.
1 司17．(1)
?
10
10
? ?
【詳解】（1）a ? ?1,1, 0?，b ? ??1, 0, 2?
，
? ?
故cs a,b
?1? 0? 0 10
? ? ?
2 ? 5 10
.
? ?
ka ?b ? ?k ?1,k ,2?
? ?
，ka ? 2b ? ?k ? 2,k,?4?，
5
整理得到：2k2 ? k ?10 ? 0，故k ? 2或k ? ? .
2
? ? ? ?
? ?
（3）由（1）可得a,b 不共線，故?a ?b ，a ? ?b
均不為零向量，
? ?
若向量?a ?b
? ?
，a ??b
? ? ? ?
平行，則存在非零常數(shù)t ，使得?a ?b ? t ?a ?? b?
，
? ?
因?yàn)閍,b
?? ?t ? 0
不共線，故
?
t? ?1? 0
?
，故? ? t ? ?1或? ? t ?1，
18．(1)0.02
540
(2)
7
3
(3)
10
【分析】（1）利用頻率之和為1求解即可；
（2）先判斷中位數(shù)所在區(qū)間，再利用中位數(shù)的定義列式求解即可；
（3）先利用分層抽樣確定男女生人數(shù)，再利用列舉法與古典概型的概率公式求
解即可.
【詳解】（1）依題意，得?0.005? x ? 0.035? 0.030? 0.01? ?10 ?1，解得 x ? 0.02 ；
（2）因?yàn)?0.005?0.02??10 ? 0.25 ? 0.5，0.25? 0.035?10 ? 0.6 ? 0.5，
所以中位數(shù)在?70,80?間，設(shè)為m ，
540
則0.25? ?m ?70??0.035 ? 0.5，解得m ? .
7
（3）依題意，因?yàn)闈M意度評(píng)分值在?80,90?的男生數(shù)與女生數(shù)的比為3: 2 ，
按照分層抽樣的方法在其中隨機(jī)抽取 5 人，則抽中男生 3 人，女生 2 人，依次分
別記為 A1, A2 , A3, B1, B2 ，
個(gè)，
3
所以 P?A? ? ．
10
2 2
19．(1)?x ? 2? ? ?y ?1? ?10
(2)5x ?12y ? 24 ? 0
【分析】（1）求出交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到半徑，得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由垂徑定理得到圓心?2,1?到直線kx ? y ? 2 ? 0的距離，利用點(diǎn)到直線距離公
式求出答案.
2 司對(duì)這 5 人依次進(jìn)行座談，前 2 人的基本事件有： A1 A2 ， A1 A3 ， A1B1 ，
A B ，
1 2
A A ，
2 3
A B ， A2B2 ， A3B1 ，
2 1
A B ， B1B2 ，共 10 件，
3 2
設(shè)“前 2 人均為男生”為事件 A，其包含的基本事件有： A1 A2 ， A1 A3 ，
A A ，共 3
2 3
故半徑為 ?2?1? ??1?0? ? 10 ，
2 2
2 2 故圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為? ? ? ?
x ? 2 ? y ?1 ?10 ；
（2）設(shè)圓心?2,1?到直線kx ? y ? 2 ? 0的距離為d ，
則由垂徑定理得 MN ? 2 10?d2 ? 2 6 ，
(2)4
【分析】（1）利用正弦定理邊角互化，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求角；
（2）首先根據(jù)三角形的面積公式，求得ac ? 14 ，再根據(jù)余弦定理求得a2 ?c2 ? 50，
再根據(jù)中線向量關(guān)系，利用數(shù)量積公式，即可求解.
B B
【詳解】（1）? sin 3 sin
b C ? c ，∴由正弦定理得：sinBsinC ? 3sinCsin ，
2 2
? C??0, π?，∴sinC ? 0，
B B B B
∴sinB ? 3sin ，即2sin cs ? 3sin ，
2 2 2 2
∴cs 3
B
B π
? ，
? ?
2 6 2 2
1 1 3 7 3
（2）? ， ?ac ?14 ，
S ? acsinB ? ?ac? ?
?ABC
2 2 2 2
在V ABC 中，由余弦定理b2 ? a2 ? c2 ? 2accsB 得
36 ? a2 ?c2 ?ac，所以a2 ?c2 ? 50，
3 司?x ? y ?1 ? 0 ?x
【詳解】（1）聯(lián)立，解得
? ?
2x ? y ? 2 ? 0 y
? ?
? ?1
? 0
，
解得d ? 2，即
2k ?1?2
1?
k
2
?
5
k ? ，
12
2 ，解得
5
故直線 l 的方程為
12
x ? y ? 2 ? 0 ，即5x ?12y ? 24 ? 0.
20．(1)
B ?
π
3
?
B ? π ?
??0, ?
2 2
? ?
B
，∴sin ? 0 ，
2
?B ?
π
3
???? ???? ????
設(shè) AC 的中點(diǎn)為 D ，則2BD ? BC ?BA
，
兩邊同時(shí)平方得：
???? ???? ???? ???? ???? ???? ????
2 2 2 2
=a2 ?c2 ? ac ? 64 4BD ? (BC ? BA) ? BC ? BA ? 2BC ? BA
21．(1)證明見解析；
【分析】（1）根據(jù)題意易證 BC ?平面 ADE ，從而證得 BC ? DA ；
（2）由題可證 AE ? 平面 BCD ，所以以點(diǎn) E 為原點(diǎn)， ED, EB, EA所在直線分別為
x y z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再求出平面 ABD, ABF 的一個(gè)法向量，根據(jù)二面
, ,
角的向量公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系即可解出．
【詳解】（1）連接 AE, DE ，因?yàn)?E 為 BC 中點(diǎn)， DB ? DC ，所以 DE ? BC ①，
因?yàn)?DA ? DB ? DC ，?ADB ? ?ADC ? 60? ，所以?ACD 與△ABD 均為等邊三角形，
? ? ，從而 AE ? BC ②，由①②， AE ? DE ? E ， AE, DE ? 平面 ADE ，
AC AB
所以， BC ?平面 ADE ，而 AD ? 平面 ADE ，所以 BC ? DA ．
（2）不妨設(shè) DA ? DB ? DC ? 2，?BD ? CD ，?BC ? 2 2, DE ? AE ? 2．
? ? ? ? ，? AE ? DE ，又? AE ? BC,DE ? BC ? E ， DE, BC ? 平面
AE2 DE2 4 AD2
BCD? AE ? 平面 BCD ．
以點(diǎn) E 為原點(diǎn)， ED, EB, EA所在直線分別為 x, y, z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖
所示：
設(shè) D( 2, 0, 0), A(0, 0, 2),B(0, 2,0),E(0, 0, 0) ，
?? ??? 設(shè)平面 DAB 與平面 ABF 的一個(gè)法向量分別為 ? ? ? ?
n1 ? x1, y1, z1 ,n2 ? x2 , y2 , z2 ，
????
二面角 D ? AB ? F 平面角為? ,而 AB ? ?0, 2,? 2?
，
4 司所以
????
2
BD ?16
，所以 BD ? 4.
(2)
3
3
．
???? ????
因?yàn)?EF ? DA ? ?? 2, 0, 2?
????
，所以 F ?? 2, 0, 2?，即有 AF ? ?? 2, 0, 0?
，
【分析】（1）先設(shè)甲發(fā)球甲贏為事件 A，乙發(fā)球甲贏為事件 B，然后分析這 4 個(gè)
球的發(fā)球者及輸贏者，即可得到所求事件的構(gòu)成，利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算
公式即可求解；
（2）先將所求事件分成甲贏與乙贏這兩個(gè)互斥事件，再分析各事件的構(gòu)成，利
用互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式即可求得概率．
【詳解】（1）設(shè)甲發(fā)球甲贏為事件 A，乙發(fā)球甲贏為事件 B，該局打 4 個(gè)球甲贏
為事件 C，
（2）設(shè)該局打 5 個(gè)球結(jié)束時(shí)甲贏為事件 D，乙贏為事件 E，打 5 個(gè)球結(jié)束為事
件 F，易知 D，E 為互斥事件，
D ? ABABA， E ? ABABA， F ? D ? E ，
∴ P(D) ? P(ABABA) ? P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)
5 司??? ? ?
2x 2z 0
??
1 1
?
?
2y ? 2z ? 0
1 1
??
，取 x1 ?1，所以 1 (1,1,1)；
n ?
? ? ?
2y 2z 0
?
?
2 2
?
?
? 2x ? 0
2
，取
???
y2 ?1 ，所以
n2 ? (0,1,1)
，
所以，
cs?
?? ???
n ?n
2 6
?? ??? ，從而sin 1 6 3
1 2
? ? ? ? ? ? ? ．
n n 9 3
3? 2 3
1 2
所以二面角 D ? AB ? F 的正弦值為 3
3
．
1
22．(1)
12
(2)
19
216
由題知，
2
P(A) ? ，
3
1
P(B) ? ，∴C ? ABAB ，
4
∴
2 3 2 1 1
P(C) ? P(ABAB) ? P(A)P(B)P(A)P(B) ? ? ? ? ? ，
3 4 3 4 12
1
∴該局打 4 個(gè)球甲贏的概率為
12
．
? 2? 1 ? 2? 1 2 1
? ? ? ?? ?? ? ?? ? ?
1 1
? ? ? ?
3 4 3 4 3 216
，
P(E) ? P(ABABA) ? P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)
2 ? 1 ? 2 ? 1 ? ? 2 ? 1
? ?? ? ?? ?? ? ??? ? ? ?
1 1 1
3 4 3 4 3 12
? ? ? ? ? ?
，
∴
1 1 19
P(F) ? P(D ? E) ? P(D) ? P(E) ? ? ? ，
216 12 216
∴該局打 5 個(gè)球結(jié)束的概率為
19
216
．

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多