一、單選題（每題3分）
1. 在Rt△ABC中，已知a邊及∠A，則斜邊應(yīng)為（ ）
A. asinAB. C. acsAD.
【答案】B
【解析】在Rt△ABC中，由銳角三角函數(shù)的定義可得，sinA=，所以斜邊=.
故選B.
2. 一位籃球運(yùn)動(dòng)員跳起投籃，籃球運(yùn)行的高度y（米）關(guān)于籃球運(yùn)動(dòng)的水平距離x（米）的函數(shù)解析式是y=﹣（x﹣2.5）2+3.5．已知籃圈中心到地面的距離3.05米，如果籃球運(yùn)行高度達(dá)到最高點(diǎn)之后能準(zhǔn)確投入籃圈，那么籃球運(yùn)行的水平距離為（ ）
A. 1米B. 2米C. 4米D. 5米
【答案】C
【解析】令y=3.05得：﹣（x﹣2.5）2+3.5=3.05，解得：x=4或x=1.5（舍去）．
所以運(yùn)行的水平距離為4米．故選C．
3. △ABC為等腰直角三角形，∠C=90°，D為BC上一點(diǎn)，且AD=2CD，則∠DAB=（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 15°
【答案】D
【解析】在Rt△ADC中，∠C=90°，sin∠CAD=，∴∠CAD＝30°，∴∠ADC＝60°,而∠ADC＝∠B＋∠DAB,∵△ABC為等腰直角三角形，∠C=90°，∴∠B＝45°,∴∠DAB＝15°．故選：D．
4. 若二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則關(guān)于的方程的解為（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】拋物線的對(duì)稱軸為直線，拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，
即或時(shí)，函數(shù)值，
所以關(guān)于的方程的解為，．
故選：．
5. 函數(shù)與的圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由四個(gè)選項(xiàng)可知，二次函數(shù)開口均向上，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，
∴，，
∴一次函數(shù)圖像應(yīng)該經(jīng)過第一、三、四象限，
當(dāng)時(shí)，即，，當(dāng)時(shí)，即，
則二次函數(shù)與一次函數(shù)在x軸上有一交點(diǎn)，且為
A．一次函數(shù)圖像經(jīng)過第一、二、四象限，故本選項(xiàng)不符合題意．
B．一次函數(shù)圖像經(jīng)過第一、三、四象限，且有一交點(diǎn)在x軸上，故本選項(xiàng)符合題意．
C．一次函數(shù)圖像經(jīng)過第一、三、四象限，但交點(diǎn)均不在x軸上，故本選項(xiàng)不符合題意．
D．一次函數(shù)圖像經(jīng)過第二、三、四象限，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
6. 若實(shí)數(shù)x、y滿足2x2﹣6x+y＝0，則x2+y+2x的最大值是（ ）
A. 14B. 15C. 16D. 17
【答案】C
【解析】由，得 ，
∴，
∴當(dāng)x＝4時(shí)，的最大值是16．
故選：C．
7. 已知為銳角，且，則的度數(shù)為（ ）
A 30°B. 45°C. 60°D. 90°
【答案】B
【解析】∵為銳角，且，
又，
∴．
故選：B．
8. 如圖，要測(cè)量一條河兩岸相對(duì)兩點(diǎn),之間的距離，我們可以在岸邊取點(diǎn)和，使點(diǎn)，，共線且直線BD與AB垂直，測(cè)得，，，則AB的長(zhǎng)約為( )
(參考數(shù)據(jù)，，，，，)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設(shè) ，
在中，，
，
在中，，且，
，
由得，
解得x=30，
的長(zhǎng)約為，
故選：B．
9. 如圖，在的正方形網(wǎng)格中，的值等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如圖，在直角三角形中，.
故選C.
10. 如圖，考古隊(duì)在A處測(cè)得古塔BC頂端C的仰角為45°，斜坡AD長(zhǎng)10米，坡度i＝3：4，BD長(zhǎng)12米，請(qǐng)問古塔BC的高度為（ ）米．

A. 25.5B. 26C. 28.5D. 20.5
【答案】B
【解析】如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥BD，交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
由i＝3：4，
可設(shè)AF＝3x，DF＝4x，
∵AD＝10，
∴9x2+16x2＝100，
解得：x＝2（負(fù)值舍去），
則AF＝BE＝6，DF＝8，
∴AE＝DF+BD＝8+12＝20，
∵∠CAE＝45°，
∴CE＝AE＝20，
則BC＝CE+BE＝20+6＝26，
故選B．
11. 如圖，等邊的邊長(zhǎng)為2 cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1 cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)（到達(dá)點(diǎn)C后停止運(yùn)動(dòng)），同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以1 cm/s的速度沿的方向向點(diǎn)C移動(dòng)（到達(dá)點(diǎn)C后停止），若的面積為，則下列最能反映與移動(dòng)時(shí)間之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是圖2（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，作垂直于于點(diǎn)H，即為的高，底為，
∵三角形為等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，作垂直于于點(diǎn)H，即為的高，底為，
∵等邊的邊長(zhǎng)為2cm，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
綜上，關(guān)于S和t的函數(shù)圖像應(yīng)是C．故選C．

12. 如圖，拋物線的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)在和之間（包含端點(diǎn)），頂點(diǎn)坐標(biāo)為.以下判斷：①當(dāng)時(shí)，；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)有（ ）

A. 4個(gè)B. 3個(gè)C. 2個(gè)D. 1個(gè)
【答案】B
【解析】∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴對(duì)稱軸直線是，
∵拋物線與x軸交于點(diǎn)，
∴該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是，
觀察圖象得：當(dāng)時(shí)，，故①正確；
觀察圖象得：拋物線開口方向向下，
∴，
∵對(duì)稱軸，
∴，
∴，即，故②錯(cuò)誤；
∵拋物線與x軸交于點(diǎn)，，
∴方程的兩根為，3，
∴，即，
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在、之間（包含端點(diǎn)），
∴，
∴，即，故③正確；
∵，，∴，
∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴當(dāng)時(shí)，
，
∵，
∴，即，故④正確；
綜上所述，正確的有①③④，共3個(gè)．
故選：B
二、填空題（每題3分）
13. 如圖，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在直線上．若直線且間距相等，AB=4，BC=3，則tan的值為 ________．
【答案】
【解析】過C作CF⊥于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，設(shè)CB交于點(diǎn)G，
由題意得：GEBF，CE＝EF，
∴△CEG∽△CFB，
∴，
∵BC＝3，
∴CG＝BC＝1，
∴GB＝CG＝，
∵，
∴∠α＝∠GAB，
∵四邊形ABCD是矩形，AB＝4，
∴∠ABG＝90°，
∴tan∠BAG＝，
∴tanα＝tan∠BAG＝，
故答案為：．
14. 將二次函數(shù)圖像向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的解析式為___________．
【答案】
【解析】二次函數(shù)圖像向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴，
∴平移后的解析式為，
故答案為： ．
15. 如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、D在x軸上，B、C恰好在二次函數(shù)的圖象上，矩形長(zhǎng)和寬的比為2∶1，則圖中陰影部分的面積之和為________．
【答案】
【解析】∵此二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，
∴．
∵此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是y軸，且矩形ABCD的長(zhǎng)和寬的比為，陰影部分的面積等于正方形OECD的面積，
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
∵四邊形OECD是正方形，
∴，解得（舍去負(fù)值），，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是，
∴．
16. 二次函數(shù)的圖象經(jīng)過、、三點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系是_________. （用“”連接）
【答案】
【解析】，
對(duì)稱軸為直線，
的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，
，
拋物線開口向上，有最小值，在對(duì)稱軸左側(cè)，隨的增大而減小，
，
，
故答案為：．
17. 如圖，是的角平分線，過點(diǎn)D分別作的平行線，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，若，，則四邊形的周長(zhǎng)是__________．
【答案】4
【解析】連接交于，如圖：
，
四邊形是平行四邊形，
是的角平分線，
，
，
，
，
，
四邊形菱形，
，，，
在中，
，
四邊形的周長(zhǎng)是，
故答案為：4．
18. 如圖，在直角三角形ABC紙片上剪出如圖所示的正方體的展開圖，直角三角形的兩直角邊與正方體展開圖左下角正方形的邊重合，斜邊恰好經(jīng)過兩個(gè)正方形的頂點(diǎn)．已知cm，則這個(gè)展開圖中正方形的邊長(zhǎng)是______cm．
【答案】
【解析】如圖，設(shè)這個(gè)展開圖中正方形的邊長(zhǎng)為，
延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，
則，，，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
即這個(gè)展開圖中正方形的邊長(zhǎng)為．
故答案為：．
三、解答題（66分）
19. 已知：如圖，在中，，，，是邊上的中線．

（1）求的面積；
（2）求的余切值．
解：（1）過點(diǎn)C作，點(diǎn)H為垂足，
在中，，

是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
，
設(shè)，則，
，
，
，
解得，
，
；
（2）過點(diǎn)D作，點(diǎn)M為垂足，

，
，
，
D為中點(diǎn)，
，
由（1）知：，，，
在中，，．
20. 某數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)小組在學(xué)校無人機(jī)社團(tuán)的幫助下,在操場(chǎng)上對(duì)無人機(jī)進(jìn)行了一次測(cè)高實(shí)驗(yàn).如圖,兩臺(tái)測(cè)角儀分別放在A，B位置,且離地面高均為1m（即），兩臺(tái)測(cè)角儀相距（即）．在某一時(shí)刻無人機(jī)位于點(diǎn)C（點(diǎn)A，B，C所在平面與地面垂直），點(diǎn)A處測(cè)得其仰角恰好為，點(diǎn)B處測(cè)得其仰角為．
（1）求該時(shí)刻無人機(jī)離地面的高度；（單位：m，結(jié)果保留整數(shù)）
（2）無人機(jī)沿方向水平飛行后到達(dá)點(diǎn)P（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，C在同一平面內(nèi)），此時(shí)于A處測(cè)得無人機(jī)的仰角，求無人機(jī)水平飛行的平均速度．（單位：，結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：，，，，）
解：（1）如圖，過點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)H，
，
．
設(shè)，則．
在中，．
，，
．
．
答：無人機(jī)離地面高度約為．
（2）過點(diǎn)P作，垂足為點(diǎn)M，
無人機(jī)沿水平飛行，．
在中，．
．
又．．
答：無人機(jī)水平飛行的平均速度約為．
21. 某超市有甲、乙兩種商品，若買1件甲商品和4件乙商品，共需元；若買2件甲商品和3件乙商品，共需元．
（1）求甲、乙兩種商品每件售價(jià)分別是多少元？
（2）甲商品每件的成本是元，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查：若按（1）中求出的單價(jià)銷售，該超市每天銷售甲商品件，若銷售單價(jià)每上漲1元，甲商品每天的銷售量就減少5件．求甲商品每件售價(jià)為多少元時(shí)，甲商品每天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？
解：（1）設(shè)甲種商品每件售價(jià)是x元，乙種商品每件售價(jià)是y元，
根據(jù)題意得：，
解得，
答：甲種商品每件售價(jià)是元，乙種商品每件售價(jià)是元．
（2）設(shè)甲商品每件售價(jià)為m元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)為n元，


，
∴此二次函數(shù)的圖象的開口向下，
∴當(dāng)時(shí)，n有最大值，最大值為元，
答：甲商品每件售價(jià)為元時(shí)，甲商品每天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是元．
22. 如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx﹣3的圖象與軸交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），一次函數(shù)y＝mx+n的圖象經(jīng)過點(diǎn)B和二次函數(shù)圖象上另一點(diǎn)A，點(diǎn)A的坐標(biāo)（4，3）．
（1）求一次函數(shù)解析式；
（2）若點(diǎn)P是直線AB下方，拋物線上第四象限內(nèi)的一點(diǎn)，求S△PBA的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解：將A（4，3）代入y＝x2+bx﹣3中得，3=×42+4b﹣3，
b= -,
∴y＝x2-x﹣3
當(dāng)y=0時(shí)
x2-x﹣3=0，
解得x1=3 x2=-2
∴B(-2，0)、C(3，0)
將A（4，3）、B(-2，0)代入y＝mx+n得：
,解得
∴y＝x+1
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過P作PH垂直于x軸交AB于H點(diǎn)，則H，
∴，
∴
∴，
∴當(dāng)t=1，坐標(biāo)為（1，-3）時(shí)，最大，此時(shí)；
23. 請(qǐng)先閱讀這段內(nèi)容.再解答問題
三角函數(shù)中常用公式.求的值，即
,試用公式，求出的值.
解：，
24. 圖（1）為某大型商場(chǎng)的自動(dòng)扶梯、圖（2）中的為從一樓到二樓的扶梯的側(cè)面
示意圖．小明站在扶梯起點(diǎn)處時(shí)，測(cè)得天花板上日光燈的仰角為37°，此時(shí)他的眼睛與地面的距離，之后他沿一樓扶梯到達(dá)頂端后又沿（）向正前方走了，發(fā)現(xiàn)日光燈剛好在他的正上方．已知自動(dòng)扶梯的坡度為，的長(zhǎng)度是．（結(jié)果精確到十分位．參考數(shù)據(jù)：，，，）
（1）求圖中到一樓地面的高度；
（2）求日光燈到一樓地面的高度．
解：過點(diǎn)作于，如圖（2）所示：

設(shè)，
的坡度為，
，
，
在中，由勾股定理得，
解得：，
，．
答：到一樓地面的高度為；
（2）過點(diǎn)作于交于，過點(diǎn)作于交于，

則，四邊形、四邊形是矩形，，
，，，
由（1）可知，，
，
在中，，
，
，
答：日光燈到一樓地面的高度約為．
25. 如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2－4ax＋c的圖像交x軸于A、B兩點(diǎn)（其中A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C（0，3）．
（1）若tan∠ACO＝，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若OC為OA、OB的比例中項(xiàng)．
①設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)為P，求△PBC的面積；
②若M為y軸上一點(diǎn)，N為平面內(nèi)一點(diǎn)，問：是否存在這樣的M、N，使得以M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
解：（1）在Rt△AOC中，C（0，3），tan∠ACO=23，
∴A（-2，0），
則有
解得
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2+x+3．
（2）①∵對(duì)稱軸x=-=2，如圖1所示，
由OC為OA、OB的比例中項(xiàng)可得△AOC∽△COB．
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，0），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4-m，0），
則OA=-m，OB=4-m，
∴，
解得m1=2+（舍），m2=2-，
∴A（2-，0），B（+2），
則有，解得
∴二次函數(shù)的解析式為y=-x2+43x+3，
∴P（2，），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則有，
解得，
∴直線BC的解析式為y=，
過點(diǎn)P作y軸平行線交BC于點(diǎn)Q，
則Q（2，），
∴PQ=，
∴S=，
②存在，分兩種情況．
情況一：如圖2所示，
此時(shí)M于O重合，∴N（+2，3）．
情況二：如圖3所示，
∵四邊形CBMN為矩形，∴∠CBM=90°，
∴∠CBO=∠OMB，
∵∠COB=∠BOM，
∴△COB∽△BOM，
∴，即
解得OM=，
∴M（0，-），
線段NC可以從BM平移得到，
點(diǎn)B與點(diǎn)C為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)M與點(diǎn)N為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，
點(diǎn)B向左移動(dòng)（2+）個(gè)單位，向上移動(dòng)3個(gè)單位得到點(diǎn)C，
∴點(diǎn)M到點(diǎn)N也是同樣得平移規(guī)律，
∴N（-2-，--）．
綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（+2，3）或（--2，--）.

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