一 、選擇題（本題共10個小題，每小題3分，滿分30分，每小題都給出標(biāo)號為A，B，C，D四個備選答案，其中有且只有一個是正確的．）
1. 下列各式由左邊到右邊的變形中，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、，故該選項變形錯誤，不符合題意；
B、，變形正確，是因式分解，符合題意；
C、，不是因式分解，不符合題意；
D、，故該選項變形錯誤，不符合題意．
故選：B．
2. 計算下列四個算式：①；②；③；④，其結(jié)果是分式的是（ ）．
A. ①③B. ①④C. ②④D. ③④
【答案】B
【解析】，故①是分式；
，故②不是分式；
，故③不是分式；
，故④是分式；
故選：B
3. 在下列分式中，最簡分式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】、，不是最簡分式，不合題意；
、，不是最簡分式，不合題意；
、，不是最簡分式，不合題意；
、，是最簡分式，符合題意；
故選：D．
4. 下面是昆明市2024年春節(jié)8天的空氣質(zhì)量指數(shù)（）：
下列說法正確的是（ ）
A. 這8天的空氣質(zhì)量指數(shù)的眾數(shù)是47
B. 這8天的空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是49.5
C. 這8天的空氣質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)是50
D. 這8天空氣質(zhì)量指數(shù)的極差是22
【答案】A
【解析】A.這8天的空氣質(zhì)量指數(shù)中47出現(xiàn)了3次，次數(shù)最多，所以眾數(shù)為47，
故選項A正確；
B. 從小到大排列這8天的空氣質(zhì)量指數(shù)，第4、第5個數(shù)據(jù)分別是47，47，所以中位數(shù)是，
故選項B錯誤；
C. 這8天的空氣質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)為：，
故選項C錯誤；
D. 這8天的空氣質(zhì)量指數(shù)的極差是，
故選項D錯誤；
故選：A
5. 小強(qiáng)是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：，分別對應(yīng)下列六個字：節(jié)、我、愛、游、畢．現(xiàn)將因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（ ）
A. 愛畢節(jié)B. 我愛游C. 愛我畢節(jié)D. 我游畢節(jié)
【答案】C
【解析】，
信息中的漢字有：愛、畢、節(jié)、我．
所以結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能為：愛我畢節(jié)．
故選：C．
6. 下列約分正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A、，A選項不符合題意；
B、，B選項符合題意；
C、為最簡分式，C選項不符合題意；
D、為最簡分式，D選項不符合題意．
故選：B．
7. 若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值是（ ）
A. 或B. C. D. 或
【答案】A
【解析】，
去分母得到，
∵關(guān)于x的分式方程有增根，
∴是方程 的根，
當(dāng)時，解得：
當(dāng)時，解得：
故選：A．
8. 已知a，b，c分別是的三邊長，若，則是（ ）．
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等邊三角形D. 不能確定
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
∵a，b，c分別是的三邊長，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
故選：A．
9. 已知非零有理數(shù)，滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴，
∴．
故選C．
10. 《九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學(xué)專著之一，其中記錄的一道題譯為把一份文件用慢馬送到900里外的城市需要的時間比規(guī)定時間多1天；如果用快馬送，所需的時間比規(guī)定時間少3天．已知快馬的速度是慢馬的2倍．根據(jù)題意列方程為，其中x表示（ ）
A. 快馬的速度B. 慢馬的速度C. 規(guī)定的時間D. 以上都不對
【答案】C
【解析】快馬的速度是慢馬的2倍，所列方程為，
表示慢馬的速度，表示快馬的速度；
把一份文件用慢馬送到900里外的城市，需要的時間比規(guī)定時間多1天；如果用快馬送，所需的時間比規(guī)定時間少3天，
表示規(guī)定的時間．
故選：C
二、填空題（共6個小題，每小題3分，滿分18分）
11. 若分式 有意義，則x應(yīng)滿足的條件為_______．
【答案】且
【解析】∵分式 有意義，
∴，
∴，
∴且，
∴且，
故答案為：且．
12. 知，則代數(shù)式的值為_____________．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
13. 一組數(shù)據(jù)1，3，5，x的平均數(shù)與中位數(shù)相同，則x的值是_____________．
【答案】或3或7
【解析】由題意得，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
當(dāng)時，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，
∴，
解得；
當(dāng)時，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，
∴，
解得；
當(dāng)時，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，
∴，
解得；
綜上所述，x的值是或3或7．
故答案為：或3或7．
14. 若a，b互為倒數(shù)，且，則分式 的值為_______________．
【答案】
【解析】∵a，b互為倒數(shù)，
∴，
∴
，
故答案為：．
15. 已知分式 （m，n為常數(shù)）滿足表格中的信息，則的值為_________．
【答案】
【解析】∵當(dāng)時分式無意義，
∴，
∴；
∵當(dāng)時，分式的值為0，
∴，
∴；
∴，，
解得，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，
∴，
故答案為：．
16. 若關(guān)于x的分式方程=2a無解，則a的值為_____．
【答案】1或
【解析】去分母得：x-3a=2a（x-3），
整理得：（1-2a）x=-3a，
當(dāng)1-2a=0時，方程無解，故a=；
當(dāng)1-2a≠0時，x==3時，分式方程無解，
則a=1，
∴關(guān)于x的分式方程=2a無解，則a的值為：1或．
故答案為：1或．
三、解答題（本大題共9個題． 滿分72分，解答題要寫出必要的計算步驟或文字說明或說理過程）
17. 把下列各式分解因式：
（1）
（2）
（3）
解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
18. 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》關(guān)于運算能力解釋為：運算能力主要是指根據(jù)法則和運算律進(jìn)行正確運算的能力． 因此，我們面對沒有學(xué)過的數(shù)學(xué)題時，方法可以創(chuàng)新，但在創(chuàng)新中要遵循法則和運算律，才能正確解答，下面介紹一種分解因式的新方法—拆項補項法：把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數(shù)的兩項（或幾項），使原式轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的知識進(jìn)行分解．
例題：用拆項補項法分解因式
解：添加兩項
原式
請你結(jié)合自己的思考和理解完成下列各題：
（1）分解因式：；
（2）分解因式：．
解：（1）
；
（2）
．
19. 計算：
（1）；
（2）
解：（1）原式
；
（2）原式
．
20. 先化簡后求值： 其中滿a足
解：
，
∵，
∴，
∴原式．
21. 已知的值為正整數(shù)，求整數(shù)x的值．
解：
∵的值為正整數(shù)，
∴或2，
∴或5．
22. 為弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，校學(xué)生處在八、九年級各抽取50名同學(xué)開展傳統(tǒng)文化知識競賽，為便于統(tǒng)計成績，制定了取整數(shù)的計分方式，滿分10分，競賽成績?nèi)鐖D所示：
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）填空：表中的________，________，________；
（2）該校九年級學(xué)生共有1900人，若九年級學(xué)生都參加傳統(tǒng)文化知識競賽，請估計滿分有多少人？
（3）求九年級被抽取的50名同學(xué)競賽成績的方差m，并比較八、九年級那個年級成績更穩(wěn)定？
解：（1）∵九年級得8分的人數(shù)14人，人數(shù)最多，
∴；
把八年級競賽成績按照從低到高的順序排列處在第25名和第26名的成績分別為8分，8分，
∴；
八年級平均成績,
故答案為：8；8；8。
（2）人，
∴估計滿分有228人；
（3），
∵，
∴九年級成績更穩(wěn)定。
23. 解方程：
（1）；
（2）．
解：（1）兩邊同乘得：



，
經(jīng)檢驗：把代入，
∴是原方程的解．
（2），
兩邊同乘以去分母，得，
即，
整理得：
解得，
經(jīng)檢驗，是分式方程的解，
故分式方程的解為；
24. 中國是世界文明古國之一．?dāng)?shù)學(xué)是中國古代科學(xué)中一門重要學(xué)科，其發(fā)展源遠(yuǎn)流長，成就輝煌．《孫子算經(jīng)》、《周髀算經(jīng)》是我國古代較為普及的算書，許多問題淺顯有趣．某書店的《孫子算經(jīng)》單價是《周髀算經(jīng)》單價的，用600元購買《孫子算經(jīng)》比購買《周髀算經(jīng)》多買5本．
（1）求《孫子算經(jīng)》、《周髀算經(jīng)》兩種圖書的單價分別為多少元？
（2）國際數(shù)學(xué)節(jié)是為了紀(jì)念中國古代數(shù)學(xué)家祖沖之而設(shè)立的節(jié)日．為籌備“3.14數(shù)學(xué)節(jié)”活動，某校計劃到該書店購買這兩種圖書共80本，且購買的《周髀算經(jīng)》數(shù)量不少于《孫子算經(jīng)》數(shù)量的一半．由于購買量大，書店打折優(yōu)惠，兩種圖書均按八折出售，求兩種圖書分別購買多少本時費用最少？
解：（1）設(shè)《周髀算經(jīng)》的單價是x元，則《孫子算經(jīng)》的單價是元，
根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是所列方程的解，且符合題意，
∴．
答：《孫子算經(jīng)》的單價是30元，《周髀算經(jīng)》的單價是40元；
（2）設(shè)購買m本《孫子算經(jīng)》，則購買本《周髀算經(jīng)》，
根據(jù)題意得：，解得：．
設(shè)購買這兩種圖書共花費w元，則，
∴，
∵，
∴w隨m的增大而減小，
又∵，且m為正整數(shù)，
∴當(dāng)時，w取得最小值，此時．
答：當(dāng)購買53本《孫子算經(jīng)》27本《周髀算經(jīng)》時，總費用最少．
25. 發(fā)現(xiàn)：（1）；（2）；（3）…
嘗試：直接寫出第n個式子____________________________；（用含n的代數(shù)式表示）
論證：請證明你在“嘗試”中猜想的等式成立；
應(yīng)用：請利用上述規(guī)律解方程：
解：嘗試：∵（1）；（2）；（3）…
∴第n個式子為：，
故答案為：；
論證：右邊左邊，
∴；
應(yīng)用：解方程：
∴
∴
∴
∴
∴
經(jīng)檢驗：當(dāng)時，或，
所以，原方程無解
日期
2月10日
2月11日
2月12日
2月13日
2月14日
2月15日
2月16日
2月17日
46
47
47
42
57
50
69
47
x的取值
4
a
16
分式的值
無意義
0
b
眾數(shù)
中位數(shù)
平均數(shù)
方差
八年級競賽成績
7
b
c
九年級競賽成績
a
8
8
m

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