浙江省麗水市五校高中發(fā)展共同體2024-2025學年高二上學期11月期中聯(lián)考數(shù)學試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

考生須知：
1．本卷共4 頁滿分150分，考試時間120分鐘．
2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字．
3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．
4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．
選擇題部分
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.
1. 直線的傾斜角為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求得直線的斜率，然后確定直線的傾斜角即可.
【詳解】直線方程的斜截式為：，所以直線的斜率為，
設直線的傾斜角為：，所以，因為，
所以.
故選：D
2. 已知空間向量，，且，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量垂直得，即可求出的值.
【詳解】.
故選：B.
3. 圓與圓的位置關(guān)系是（）
A. 內(nèi)含B. 內(nèi)切C. 外離D. 相交
【答案】D
【解析】
【分析】由圓心距與半徑的和差比較可得．
【詳解】，
，，因此兩圓相交，
故選：D．
4. 已知雙曲線的焦距為，則該雙曲線的漸近線方程為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】根據(jù)題意求，即可得漸近線方程.
【詳解】由題意可知：，且焦點在軸上，
即，可得，
所以該雙曲線的漸近線方程為.
故選：C.
5. 在正方體中，和分別為和的中點，那么直線與所成角的余弦值是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
作出異面直線和所成的角，然后解三角形求出兩條異面直線所成角的余弦值.
【詳解】設分別是的中點，由于分別是的中點，結(jié)合正方體的性質(zhì)可知，
所以是異面直線和所成的角或其補角，
設異面直線和所成的角為，設正方體的棱長為，
，，
則.
故選：A.
【點睛】思路點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：
（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；
（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；
（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．
6. 如圖，太陽灶是一種將太陽光反射至一點用來加熱水或食物的設備，上面裝有拋物面形的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線的一部分，已知太陽灶的口徑（直徑）為4m，深度為0.5m，則該拋物線頂點到焦點的距離為（）

A. 0.25mB. 0.5mC. 1mD. 2m
【答案】D
【解析】
【分析】建立坐標系，求出拋物線方程即可求解.
【詳解】以該拋物線頂點為原點建立平面直角坐標系，如圖所示：

設此拋物線方程為，依題意點在此拋物線上，
所以，解得，則該拋物線頂點到焦點的距離為.
故選：D
7. 已知橢圓分別為左右焦點，為橢圓上一點，滿足，則的長為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合余弦定理可得，再利用向量求的長.
【詳解】由橢圓方程可知：，
可得，
在中，由余弦定理可得
，
即，解得，
因為為線段的中點，則，
可得
，
所以的長為.
故選：A.
8. 已知EF是棱長為8的正方體的一條體對角線，空間一點M滿足，AB是正方體的一條棱，則的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由空間向量的數(shù)量積運算計算可得，即可得的軌跡，即可根據(jù)數(shù)量積的幾何意義求解即可．
【詳解】取的中點,,
則，
所以．
所以在以為球心，為半徑的球面上，如圖
可知在上的投影數(shù)量最小值為，
所以的最小值為，
所以的最小值為．
故選：B．
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得 6 分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知是空間中不共面的三個向量，則下列向量能構(gòu)成空間的一個基底的是（）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的基底向量的定義結(jié)合共面向量的定義逐項分析判斷.
【詳解】對于選項：因為，
所以三個向量共面，
故不能構(gòu)成空間的一個基底，故A錯誤；
對于選項：因為，
所以三個向量共面，
故不能構(gòu)成空間的一個基底，故D錯誤；
因為是空間中不共面的三個向量，
對于選項B：設，顯然不存在實數(shù)使得該式成立，
所以不共面，可以作為基底向量，故B正確；
對于選項C：設，
則，方程無解，即不存在實數(shù)使得該式成立，
所以不共面，可以作基底向量，故C正確；
故選：BC.
10. 設為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與交于兩點，為的準線，則（）
A. B.
C. 以為直徑的圓與相切D.
【答案】CD
【解析】
【分析】求出拋物線方程，利用拋物線的定義，結(jié)合直線與拋物線的位置關(guān)系計算弦長和三角形面積判斷選項的正誤即可
【詳解】直線過拋物線的焦點，
可得，則，所以A選項錯誤；
拋物線方程為，準線的方程為，
直線與拋物線交于兩點，設Ax1,y1,Bx2,y2，
直線方程代入拋物線方程消去可得，
則，得，所以B選項錯誤；
的中點的橫坐標，中點到拋物線的準線的距離為，
則以為直徑的圓與相切，所以C選項正確；
點到直線的距離，，所以D選項正確．
故選：CD．
11. 已知線段是圓的一條動弦，，直線與直線相交于點，下列說法正確的是（）
A. 直線恒過定點
B. 直線與圓恒相交
C. 直線，的交點在定圓上
D. 若為中點，則的最小值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】由直線過定點即可判斷A，由直線過定點以及點與圓的位置關(guān)系即可判斷B，聯(lián)立直線方程，然后消去即可得到點的軌跡方程，即可判斷C，先求得點的軌跡方程，再由點的軌跡方程，即可得到的最小值，即可判斷D.
【詳解】對于選項A，因為直線，即，
令，解得，則直線恒過定點，故A正確；
對于選項B，因為直線，即，
令，解得，所以直線恒過定點，
將點代入圓可得，
即點在圓外，所以直線與圓不一定相交，故B錯誤；
對于選項C，聯(lián)立兩直線方程可得，解得，
消去可得，即，故C正確；
對于選項D，設，因為，且為中點，所以，
而圓的圓心，半徑為，
則圓心到弦的距離為，即，
即點的軌跡方程為，圓心，半徑為，
由選項C可知，點的軌跡方程為，圓心，半徑為，
兩圓圓心距為，
所以的最小值為，故D正確；
故選：ACD
非選擇題部分
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 拋物線的準線方程為______.
【答案】
【解析】
【詳解】試題分析：拋物線的標準方程是，所以準線方程是
考點：拋物線方程
13. 已知空間中三點，則點到直線的距離為__．
【答案】
【解析】
【分析】空間直角坐標系中在的平分線上，在的平分線上，若面，連接，根據(jù)已知坐標及線面垂直的性質(zhì)求點面距.
【詳解】由題設，在的平分線上，在的平分線上，如下圖所示，
若面，連接，顯然，，
由都在面內(nèi)，則面，
由面，則，故為等腰直角三角形，
由面，則，即的長度是點到直線的距離，
由題設有，故，則.
故答案為：
14. 已知分別是橢圓的右頂點，上頂點和右焦點，若過三點的圓恰與軸相切，則的離心率為______．
【答案】
【解析】
【分析】利用過三點的圓恰與軸相切，求出圓的標準方程，再利用點在圓上，坐標適合方程即可求解．
【詳解】由已知可得：，
線段的垂直平分線方程為，過三點的圓恰與軸相切，
所以圓心坐標為，圓的半徑為，
所以經(jīng)過過三點的圓的圓的方程為，
在圓上，所以，
整理得：，所以，所以，
化為：，由，解得.
故答案為：．
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 直線經(jīng)過兩直線和的交點．
（1）若直線與直線平行，求直線的方程；
（2）若點到直線的距離為2，求直線的方程．
【答案】（1）；
（2）或
【解析】
【分析】（1）求出交點坐標，由平行設的方程為，代入交點坐標求解可得．
（2）分類討論，判斷斜率不存在的直線是否滿足題意，斜率存在時設出直線方程，由點到直線距離公式求解．
【小問1詳解】
由，求得，
可得兩直線和的交點為,
當直線與直線平行，設的方程為，
把點代入求得，
可得的方程為．
【小問2詳解】
當?shù)男甭什淮嬖跁r，直線的方程為，滿足點到直線的距離為2．
當?shù)男甭蚀嬖跁r，設直限的方程為，即，
則點到直線的距離為，求得，
故的方程為，即．
綜上，直線的方程為或．
16. 如圖，在空間四邊形中，點為的中點，，設，，．
（1）試用向量，，表示向量；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量的線性運算代入計算，即可得到結(jié)果；
（2）由空間向量數(shù)量積的運算律代入計算，即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
點為的中點，，
，
．
【小問2詳解】
，由（1）得
．
17. 已知圓圓心在直線上，且經(jīng)過點和2,3.
（1）求圓標準方程；
（2）自點發(fā)出的光線射到軸上，被軸反射，其反射光線所在的直線與圓相切，求光線所在直線的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法設圓的一般方程，即可求解；
（2）因為反射光線所在的直線與圓相切，故對稱圓與入射光線相切，利用圓心到直線的距離等于半徑列方程即可求.
【小問1詳解】
設圓的方程為，
可得解得
所以圓的方程為，即圓的標準方程為；
【小問2詳解】
圓關(guān)于軸對稱方程是，
設的方程為，即，
因為反射光線所在的直線與圓相切，故對稱圓與入射光線相切，
所以對稱圓心到的距離為圓的半徑1，
則，
從而可得，
故光線所在直線的方程是或．
18. 如圖，已知四棱錐，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，為中點.
（1）證明：平面；
（2）證明：；
（3）若是線段上一動點，直線與平面所成角正弦值為，求的值.
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析（3）
【解析】
【分析】（1）設中點為，連接,．證明四邊形為平行四邊形，再由線面平行的判定定理證明即可；
（2）取中點記為，連結(jié),，由線面垂直的判定定理證明平面即可；
（3）建立空間直角坐標系，求平面法向量，再由線面角公式計算即可.
【小問1詳解】
設中點為，連接，．如圖①所示，
，分別為，中點，
且，
且，
即四邊形為平行四邊形，
又平面,平面，
平面.
【小問2詳解】
取中點記為，連結(jié),，如圖②所示，
由等腰三角形得：,
,且平面,
平面,
平面,
【小問3詳解】
由（2）得，為平面與平面所成二面角的平面角，
設則，則，
即平面與平面所成二面角的平面角為
如圖建立空間直角坐標系，
,
設,設平面的法向量為，
由取，則，
且
令與平面所成線面角為，
由,
得：
解得：（舍去）,
所以.

圖① 圖②
19. 已知橢圓的左、右焦點分別為，，且經(jīng)過點和，點是橢圓上不在軸上的任意一點，射線，分別與橢圓交于點，．
（1）求橢圓的方程；
（2）求內(nèi)切圓面積的最大值；
（3）設，，的面積分別為，，．求證：為定值．
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）將兩點坐標代入橢圓方程，求得方程組的解即可；
（2）先將面積表示成，又，設所在直線方程為，直曲聯(lián)立結(jié)合韋達定理，即可求出的最大值，由此可求出的最大值，即可求解.
（3）設，，，通過直線與橢圓聯(lián)立方程組，利用韋達定理，先把三角形的面積都用、、表示，再利用、，把變量都用表示，即可求解.
【小問1詳解】
將點和代入橢圓方程得解得
則橢圓的標準方程為；
【小問2詳解】
周長為，設內(nèi)切圓半徑為，內(nèi)切圓面積為，
則，又，
設所在直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立得：
，所以

令，（時取最大值），
所以，，所以，
即內(nèi)切圓面積的最大值為.
【小問3詳解】
設，，，
因為點在橢圓上，所以，即．
由（1）得，，
設直線的方程為，，
聯(lián)立，消去并整理得，
此時，由韋達定理得，
同理得：，
所以

.
故為定值．
【點睛】方法點睛：
解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去(或)，
建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設條件，
建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，
不要忽略直線斜率為或不存在等特殊情形，
強化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，
重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．

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