今天是小芳的生日，她的4個小伙伴約好為她舉辦一個生日晚會，鄰居張叔叔路過晚會現(xiàn)場，想了解一下他們的年齡．小芳說：我是最小的，我們5個的年齡從小到大依次恰好相差1歲．小明說：我們中較大的兩個的年齡的平方和恰好等于較小的三個人的年齡的平方和．張叔叔說：“我可以算出小芳的年齡了”．
[問題] 張叔叔是怎樣算出小芳年齡的？



知識點一 一元二次方程的解集
一般地，Δ＝b2－4ac稱為一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判別式．
(1)當(dāng)Δ>0時，方程的解集為
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，\f(－b－\r(b2－4ac),2a)))；
(2)當(dāng)Δ＝0時，方程的解集為eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)))；
(3)當(dāng)Δ0，∴方程2x2－5x＋3＝0有兩個不相等的實數(shù)根．故選A.
2．若關(guān)于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是________．
解析：因為一元二次方程x2＋4x＋k＝0有兩個實數(shù)根，所以Δ＝16－4k≥0，即k≤4.
答案：(－∞，4]
知識點二 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解集不是空集，設(shè)x1，x2是該一元二次方程的兩個根，則x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1x2＝eq \f(c,a)．
1．已知一元二次方程的兩根分別是4和－5，則這個一元二次方程可以是( )
A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋9x－1＝0
C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－20＝0
解析：選D 設(shè)所求方程為ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，則由題意，可得4＋(－5)＝－eq \f(b,a)，4×(－5)＝eq \f(c,a)，即eq \f(b,a)＝1，eq \f(c,a)＝－20，驗證四個選項，只有D項符合條件．
2．已知m，n是方程2x2－x－2＝0的兩個實數(shù)根，則eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的值為( )
A．－1 B.eq \f(1,2)
C．－eq \f(1,2) D．1
解析：選C 因為m，n是方程2x2－x－2＝0的兩個實數(shù)根，所以m＋n＝eq \f(1,2)，mn＝－1，所以eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝eq \f(m＋n,mn)＝eq \f(\f(1,2),－1)＝－eq \f(1,2).故選C.
3．若2和－5為一元二次方程x2＋bx－c＝0的兩根，則b，c的值分別等于________．
解析：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2＋（－5）＝－b，,2×（－5）＝－c，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝3，,c＝10.))
答案：3，10
角度一 直接開平方法
[例1] 用直接開平方法求下列一元二次方程的解集：
(1)4y2－25＝0；(2)3x2－x＝15－x.
[解] (1)移項，得4y2＝25.
兩邊都除以4，得y2＝eq \f(25,4).
解得y1＝eq \f(5,2)，y2＝－eq \f(5,2)，
所以原一元二次方程的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，－\f(5,2))).
(2)移項，合并同類項，得3x2＝15.
兩邊都除以3，得x2＝5，
解得x1＝eq \r(5)，x2＝－eq \r(5).
所以原一元二次方程的解集是{eq \r(5)，－eq \r(5)}．
eq \a\vs4\al()
應(yīng)用直接開平方法求一元二次方程解集的主要步驟
(1)化為x2＝p(p≥0)的形式；
(2)直接開平方；
(3)解兩個一元一次方程，寫出方程的兩個根；
(4)總結(jié)寫成解集的形式．
角度二 配方法
[例2] 用配方法求下列方程的解集：
(1)x2＋4x－1＝0；
(2)4x2＋8x＋1＝0.
[解] (1)∵x2＋4x－1＝0，∴x2＋4x＝1，
∴x2＋4x＋4＝1＋4，∴(x＋2)2＝5，
∴x＝－2±eq \r(5)，
∴x1＝－2＋eq \r(5)，x2＝－2－eq \r(5).
∴原一元二次方程的解集是{－2＋eq \r(5)，－2－eq \r(5)}．
(2)移項，得4x2＋8x＝－1.
二次項系數(shù)化為1，得x2＋2x＝－eq \f(1,4)，
配方，得x2＋2x＋12＝12－eq \f(1,4)，即(x＋1)2＝eq \f(3,4).
∴x＋1＝±eq \f(\r(3),2).
∴x1＝－1＋eq \f(\r(3),2)，x2＝－1－eq \f(\r(3),2)，
∴原一元二次方程的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1＋\f(\r(3),2)，－1－\f(\r(3),2))).
eq \a\vs4\al()
利用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，先把二次項系數(shù)變?yōu)?，即方程兩邊都除以a，然后把常數(shù)項移到方程右邊，再把方程兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方，把方程的一邊配方化為一個完全平方式，另一邊化為非負數(shù)，然后用直接開平方法求解(若另一邊為負數(shù)，則此方程無實數(shù)根)．
角度三 公式法
[例3] 用公式法求下列方程的解集：
(1)x2－4eq \r(3)x＋10＝0；
(2)eq \f(1,2)x2＋eq \f(1,2)x＋eq \f(1,8)＝0.
[解] (1)∵a＝1，b＝－4eq \r(3)，c＝10，
Δ＝b2－4ac＝(－4eq \r(3))2－4×1×10＝8＞0，
∴x＝eq \f(－（－4\r(3)）±\r(8),2×1)＝eq \f(4\r(3)±2\r(2),2)＝2eq \r(3)±eq \r(2)，
∴x1＝2eq \r(3)＋eq \r(2)，x2＝2eq \r(3)－eq \r(2).
∴原一元二次方程的解集是{2eq \r(3)＋eq \r(2)，2eq \r(3)－eq \r(2)}．
(2)方程兩邊都乘以8，得4x2＋4x＋1＝0.
∵a＝4，b＝4，c＝1，
Δ＝b2－4ac＝42－4×4×1＝0，
∴x＝eq \f(－4±\r(0),2×4)＝－eq \f(1,2)，
∴x1＝x2＝－eq \f(1,2).
∴原一元二次方程的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))).
eq \a\vs4\al()
利用公式法解一元二次方程時，首先將方程化為一般形式，找出二次項系數(shù)，一次項系數(shù)及常數(shù)項，計算b2－4ac的值；當(dāng)b2－4ac≥0時，把a，b，c的值代入求根公式即可求出原方程的解，然后總結(jié)寫出解集．
[跟蹤訓(xùn)練]
1．用直接開平方法求下列一元二次方程的解集：
(1)(x＋1)2＝12；
(2)(6x－1)2－25＝0.
解：(1)直接開平方，得x＋1＝±2eq \r(3)，
∴x1＝2eq \r(3)－1，x2＝－2eq \r(3)－1.
∴原一元二次方程的解集是{2eq \r(3)－1，－2eq \r(3)－1}．
(2)移項，得(6x－1)2＝25.
開平方，得6x－1＝±5，
∴x1＝1，x2＝－eq \f(2,3).
∴原一元二次方程的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，－\f(2,3))).
2．用配方法求下列方程的解集：
(1)x2＋3＝2eq \r(3)x；
(2)2x2－5＋eq \r(2)x＝0.
解：(1)移項，得x2－2eq \r(3)x＝－3.
配方，得x2－2eq \r(3)x＋(eq \r(3))2＝－3＋(eq \r(3))2，
即(x－eq \r(3))2＝0.∴x1＝x2＝eq \r(3)，
∴原一元二次方程的解集是{eq \r(3)}．
(2)移項，得2x2＋eq \r(2)x＝5.
二次項系數(shù)化為1，得x2＋eq \f(\r(2),2)x＝eq \f(5,2).
配方，得x2＋eq \f(\r(2),2)x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(5,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)))eq \s\up12(2).
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(\r(2),4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(21,8).
∴x＋eq \f(\r(2),4)＝±eq \f(\r(42),4).
∴x1＝eq \f(－\r(2)＋\r(42),4)，x2＝eq \f(－\r(2)－\r(42),4)，
∴原一元二次方程的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(－\r(2)＋\r(42),4)，\f(－\r(2)－\r(42),4))).
3．用公式法求下列方程的解集：
(1)x2＋3＝2eq \r(2)x；
(2)3x2＝－6x－1.
解：(1)將方程化為一般形式為x2－2eq \r(2)x＋3＝0.
∵a＝1，b＝－2eq \r(2)，c＝3，
Δ＝b2－4ac＝(－2eq \r(2))2－4×1×3＝－4＜0，
∴原方程沒有實數(shù)根．
∴原一元二次方程的解集是?.
(2)將方程化為一般形式為3x2＋6x＋1＝0，
∵a＝3，b＝6，c＝1，
Δ＝b2－4ac＝62－4×3×1＝24＞0，
∴x＝eq \f(－6±\r(24),2×3)＝eq \f(－3±\r(6),3)，
∴x1＝eq \f(－3＋\r(6),3)，x2＝eq \f(－3－\r(6),3).
∴原一元二次方程的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(－3＋\r(6),3)，\f(－3－\r(6),3))).
[例4] 不解方程，判斷下列一元二次方程的解集情況．
(1)3x2－2x－1＝0；
(2)2x2－x＋1＝0；
(3)4x－x2＝x2＋2.
[解] (1)∵Δ＝(－2)2－4×3×(－1)＝16＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴方程的解集中有兩個元素．
(2)∵Δ＝(－1)2－4×2×1＝－7＜0，∴方程沒有實數(shù)根，∴方程的解集為空集．
(3)方程整理為x2－2x＋1＝0, ∵Δ＝(－2)2－4×1×1＝0, ∴方程有兩個相等的實數(shù)根，∴方程的解集中有一個元素．
eq \a\vs4\al()
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判別式Δ＝b2－4ac.當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程沒有實數(shù)根．
[跟蹤訓(xùn)練]
下列一元二次方程中，解集為空集的是( )
A．x2－2x＝0 B．x2＋4x－1＝0
C．2x2－4x＋3＝0 D．3x2＝5x－2
解析：選C 利用根的判別式Δ＝b2－4ac分別進行判定即可．A項：Δ＝(－2)2－4×1×0＝4＞0，有兩個不相等的實數(shù)根，故此選項不合題意；B項：Δ＝42－4×1×(－1)＝20＞0，有兩個不相等的實數(shù)根， 故此選項不合題意；C項：Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8＜0，沒有實數(shù)根，故此選項符合題意；D項：Δ＝(－5)2－4×3×2＝1＞0，有兩個不相等的實數(shù)根，故此選項不合題意．故選C.
角度一 直接應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系進行計算
[例5] (鏈接教科書第50頁例2)已知一元二次方程x2＋3x－1＝0的兩根分別是x1，x2，請利用根與系數(shù)的關(guān)系求：
(1)xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)；(2)eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2).
[解] 根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝－3，x1x2＝－1.
(1)xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－3)2－2×(－1)＝11.
(2)eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝eq \f(x1＋x2,x1x2)＝eq \f(－3,－1)＝3.
eq \a\vs4\al()
在求含有一元二次方程兩根的代數(shù)式的值時，利用根與系數(shù)的關(guān)系解題可起到化難為易、化繁為簡的作用．在計算時，要先根據(jù)原方程求出兩根之和與兩根之積，再將代數(shù)式變形為局部含有兩根之和與兩根之積的形式，然后代入求值．
常見變形還有：
(1)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；
(2)|x1－x2|＝eq \r(（x1－x2）2)＝eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2).
角度二 求字母系數(shù)的值或范圍
[例6] 已知關(guān)于x的方程x2－(k＋1)x＋eq \f(1,4)k2＋1＝0，根據(jù)下列條件，求出k的值．
(1)方程兩實根的積為5；
(2)方程的兩實根x1，x2，滿足|x1|＝x2.
[解] Δ＝[－(k＋1)]2－4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)k2＋1))＝2k－3，Δ≥0，k≥eq \f(3,2).
(1)設(shè)方程的兩個根為x1，x2，x1x2＝eq \f(1,4)k2＋1＝5，
k2＝16，k＝4或k＝－4(舍去)．
(2)①若x1≥0，則x1＝x2，Δ＝0，k＝eq \f(3,2).
方程為x2－eq \f(5,2)x＋eq \f(25,16)＝0，x1＝x2＝eq \f(5,4)>0滿足．
②若x10，所以此時方程有兩個不相等的實數(shù)根，C錯誤；當(dāng)m＝2時，方程化為2x2－4x＋3＝0，因為Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第一冊電子課本

2.1.2 一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系

版本： 人教B版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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