2.1.2　一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系第1課時　學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過對一元二次方程的解集及根與系數(shù)的關(guān)系的學(xué)習(xí),培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).2.通過求一元二次方程的解集,提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)閱讀課本P47~50,填空.1.一元二次方程的一般形式是什么?思考:你認(rèn)為最簡單的一元二次方程具有什么樣的形式?可以怎樣得到這種方程的解集?舉例說明.   總結(jié):(1)一般地,方程x2=t.當(dāng)t>0時,解集為　; 當(dāng)t=0時,解集為　; 當(dāng)t<0時,解集為　. (2)方程(x-k)2=t.當(dāng)t>0時,解集為　; 當(dāng)t=0時,解集為　; 當(dāng)t<0時,解集為　. 2.將x2+2x+3=0化為(x-k)2=t的形式,并寫出這個方程的解集.   歸納總結(jié):直接開平方法:利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法.課堂探究問題1:如何利用配方法,將ax2+bx+c=0(a≠0)化為(x-k)2=t的形式?歸納總結(jié):(1)配方法:通過方程的簡單變形,將左邊配成一個含有未知數(shù)的完全平方式,若右邊是一個非負(fù)常數(shù),則可以運用直接開平方法求解,這種解一元二次方程的方法叫做配方法.(2)ax2+bx+c=0(a≠0)=　　　　　　　　(配方后的形式). 問題2:方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集情況如何?誰決定方程的解集情況?二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)圖像與x軸交點情況如何? 歸納總結(jié):1.一般地,　　　　　　　　　　　　稱為一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判別式.通常用Δ表示,即Δ=b2-4ac. 2.當(dāng)Δ>0時,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有　　　　　實數(shù)根,函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)與x軸有　　　　　個交點;當(dāng)Δ=0時,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有　　　　　實數(shù)根,函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)與x軸有　　　　　個交點;當(dāng)Δ<0時,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)　　　　　實數(shù)根,函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)與x軸有　　　　　個交點. 問題3:當(dāng)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集時,方程的解是什么?  歸納總結(jié):公式法:將一元二次方程中的系數(shù)a,b,c的值代入式子x=中,就求得方程的根,這種解一元二次方程的方法叫做公式法.當(dāng)堂練習(xí)1.用這節(jié)課所學(xué)習(xí)的方法解前邊情境與問題中的一元二次方程.2.求下列方程的解集:(1)(x-3)2-49=0;(2)(x-1)2=(4-2x)2;(3)2x2+4x-1=0.   例題　求方程x-2-1=0的解集.   變式:解方程(1)x4-x2-2=0;(2)x2--2=0.  課堂小結(jié)求解一元二次方程的方法有哪些?  課堂練習(xí)1.一元二次方程x2-16=0的解集是(　　)　 　　　　　 　　　　　 　　　　A.{-8,8} B.{-4} C.{4} D.{-4,4}2.用配方法解方程x2-8x+5=0,將其化為(x+a)2=b的形式,正確的是(　　)A.(x+4)2=11 B.(x+4)2=21C.(x-8)2=11 D.(x-4)2=113.用公式法解方程6x-8=5x2時,a,b,c的值分別是 (　　)A.5,6,-8 B.5,-6,-8C.5,-6,8 D.6,5,-84.求下列方程的解集:(1)(x+1)2=12;　　　　　(2)3x2-x=15-x;  (3)x4+4x2-12=0; (4)4x2+8x+1=0.  核心素養(yǎng)專練1.一元二次方程x2-9=0的解集是(　　)　 　　　　　 　　　　　 　　　　A.{3} B.{-3} C.{-3,3} D.{-9,9}2.一元二次方程x2=3x的解集是(　　)A.{0} B.{3} C.{-3} D.{0,3}3.一元二次方程4x2+1=4x的解集情況是(　　)A.為空集 B.只有一個元素C.有兩個元素 D.無法確定元素的個數(shù)4.用配方法解下列方程,配方正確的是(　　)A.2y2-4y-4=0可化為(y-1)2=4B.x2-2x-9=0可化為(x-1)2=8C.x2+8x-9=0可化為(x+4)2=16D.x2-4x=0可化為(x-2)2=45.將方程x2-2x=3化為(x-m)2=n的形式,則m,n分別是　　　　　. 6.求下列方程的解集:(1)2x2+5x=-2; (2)x4-7x2+12=0;   (3)-2(x2-5x)-24=0;   (4)--2=0;　　(5)2x-=5.  參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究略課堂小結(jié)略課堂練習(xí)1.D　2.D　3.C4.(1){2-1,-2-1}　(2){-,}(3){-,}　(4)核心素養(yǎng)專練1.C　2.D　3.B　4.D5.1,46.(1)　(2){-2,-,,2}(3)原方程可化為(x2-5x+4)(x2-5x-6)=0,∴(x-1)(x-4)(x+1)(x-6)=0,∴方程的解集為{-1,1,4,6}.(4)原方程可化為=0,∴+1=0或-2=0,即=0或=0.∴方程的解集為.(5)令=t,則2x=t2-1(t≥0),∴原方程可化為t2-1-t=5,即t2-t-6=0,∴t=3或t=-2(舍),∴=3,∴x=4,方程的解集為{4}.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.學(xué)生在初中已經(jīng)掌握解一元二次方程,本課時進(jìn)一步深化對配方法的理解;2.通過對一元二次方程實根個數(shù)的討論,進(jìn)一步深入理解分類討論的數(shù)學(xué)思想;3.引入換元法解一元二次方程的思想,體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中化繁為簡解決問題的基本方法;4.結(jié)合具體的實際應(yīng)用問題,讓學(xué)生借助數(shù)學(xué)抽象轉(zhuǎn)化為方程求解問題進(jìn)行求解運算,提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)《九章算術(shù)》第九章“勾股”問題二十:今有邑方不知大小,各中開門.出北門二十步有木,出南門一十四步,折而西行一千七百七十五步見木.問邑方幾何.問題二十的譯文:今有正方形小城,其邊長是未知數(shù),城墻各邊正中都開有一門.出北門,20步處有一棵樹,出南門14步,轉(zhuǎn)向西走1 775步恰好能看見那棵樹.求正方形小城的邊長是多少.根據(jù)題中的描述可作出示意圖,如圖所示,其中A點代表北門,B處是木,C點代表南門,而且AB=20,CD=14,DE=1 775,求正方形的邊長.    課堂探究對用因式分解法不容易得到解集的一元二次方程,我們該如何下手去研究呢?提出問題:你認(rèn)為最簡單的一元二次方程具有什么樣的形式?可以怎樣得到這種方程的解集?1.獨立完成P48的第一個嘗試與發(fā)現(xiàn).2.學(xué)生獨立完成后相互交流下各自的答案.一般地,方程x2=t.(1)當(dāng)t>0時,　; (2)當(dāng)t=0時,　; (3)當(dāng)t<0時,　. 一般地,方程(x-k)2=t.(1)當(dāng)t>0時,　; (2)當(dāng)t=0時,　; (3)當(dāng)t<0時,　. 3.結(jié)合前面教師的講解,學(xué)生嘗試獨立完成第二個的“嘗試與發(fā)現(xiàn)”.4.相互交流,談?wù)?/span>“嘗試與發(fā)現(xiàn)”的結(jié)果與初中所學(xué)的用公式法求解的關(guān)系以及判別式研究方程根的情況的異同.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)化為(x-k)2=t的形式,過程如下:     例題　求方程x-2-1=0的解集.     跟蹤練習(xí)求下列方程的解集:(1)x4-x2-2=0;(2)x2--2=0;(3)x2++x--4=0.    核心素養(yǎng)專練1.已知關(guān)于x的一元二次方程|m|x2-2x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)m的取值范圍.  　　2.如圖,要在長25 m的墻EF的一邊,通過砌墻來圍一個矩形花園ABCD,與圍墻平行的一邊BC上要預(yù)留3 m寬的入口(如圖中MN所示,入口不用砌墻),用能砌46 m長墻的材料砌墻,當(dāng)矩形的長BC為多少米時,矩形花園的面積為299 m2? 參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究2.一般地,方程x2=t.(1)當(dāng)t>0時,解集為{,-}.(2)當(dāng)t=0時,解集為{0};(3)當(dāng)t<0時,解集為?.一般地,方程(x-k)2=t.(1)當(dāng)t>0時,解集為{k+,k-}.(2)當(dāng)t=0時,解集為{k};(3)當(dāng)t<0時,解集為?.4.略例題　解法一:設(shè)=y,則y≥0,原方程可變?yōu)?/span>y2-2y-1=0,∴y2-2y+1=2,∴(y-1)2=2,∴y=1+或y=1-(舍).從而=1+,即x=3+2,∴原方程的解集為{3+2}.解法二:原方程可化為x-1=2,因為≥0,所以x-1≥0,即x≥1.方程兩邊平方得x2-2x+1=4x,化簡得x2-6x+1=0,∴x2-6x+9=8,∴(x-3)2=8,∴x=3+2或x=3-2(舍),∴原方程的解集為{3+2}.跟蹤練習(xí)(1){,-}　(2){,-}(3)核心素養(yǎng)專練1.-1<m<1且m≠0.2.23 m 

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2.1.2 一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系

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