本試卷共4頁，19小題，滿分150分
注意事項：
1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
1. 若集合，且，則（ ）
A. 10或13B. 13C. 4或7D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】利用元素與集合的關(guān)系計算即可.
【詳解】當(dāng)，即時，，此時與4重復(fù)，則.
當(dāng)，即時，.
故選：B
2. 已知，則p是q的（ ）
A. 充要條件B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義分析判斷即可.
【詳解】因為當(dāng)時，成立，而當(dāng)時，不一定成立，
所以p是q的充分不必要條件.
故選：B
3. 已知實數(shù)且，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由等式得到關(guān)于的表達(dá)式，再由條件得到，進(jìn)而分析各不等式得到的取值范圍，從而得解.
【詳解】由，得，
因為且，所以，
所以由，得，所以，
由，得，所以，
由，得，
綜上，，即.
故選：B.
4. 已知，，，則以下不等式不成立的是（ ）
A B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用基本不等式即可判斷ACD，由，整理后利用不等式的性質(zhì)即可判斷B.
【詳解】對于A，，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時取等號，故A正確；
對于B，由D選項證得，則有：
，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，即，故B正確
（也可利用三元基本不等式，，相加得證）；
對于C，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故C正確；
對于D，因為，，，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故D錯誤．
故選：D．
5. 已知，，則的最大值是（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】結(jié)合，利用不等式的性質(zhì)即可求解.
【詳解】因為，所以，
又，
所以由不等式的可加性可得，
故的最大值是2.
故選：B.
6 已知函數(shù)，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先分析在各段區(qū)間上的值域，再根據(jù)條件由外而內(nèi)依次求得，從而得解.
【詳解】因為，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
令，則由，得，
由上述分析可得且，解得，即，
所以且，解得.
故選：D.
7. 函數(shù)為定義在上的減函數(shù)，若，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)是定義域R上的減函數(shù)，且，然后比較與的大小關(guān)系，從而得出選項A錯誤；比較與的大小即可得出選項B錯誤；可得出，從而得出選項C正確；比較大小即可判斷D.
【詳解】是定義在R上的減函數(shù)，，
與的大小關(guān)系不能確定，從而關(guān)系不確定，故A錯誤；
，時，；時，，故的關(guān)系不確定，故B錯誤；
，，，故C正確．
，時，；時，，故關(guān)系不確定，D錯誤，
故選：C．
8. 定義在上的函數(shù)和的最小周期分別是和，已知的最小正周期為1，則下列選項中可能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先設(shè)，可知，然后根據(jù)每一個選項的，去求，判斷選項是否成立即可.
【詳解】令，則有，
若，則，此時，有，此時，故A錯誤；
若，則，因為，此時，而的整數(shù)倍，相同的最小的數(shù)為，
所以，此時，故B錯誤；
若，則，因為，此時，而的整數(shù)倍，相同的最小的數(shù)為，
所以，此時，故C錯誤；
若，則，因為，此時，而的整數(shù)倍，相同的最小的數(shù)為，
所以，此時，故D正確；
故選：D
【點睛】關(guān)鍵點點睛：當(dāng)兩個最小正周期不同的函數(shù)相互加或減的時候，形成的新函數(shù)的周期為初始兩個函數(shù)周期的整數(shù)倍，且相同的最小的數(shù).
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分. 在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求. 全部選對得 6 分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列各組中M，N表示不同集合的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】ABC
【解析】
【分析】由兩集合相等定義可判斷集合是否相同.
【詳解】A選項，為數(shù)集，為點集，則兩集合不同，故A正確；
B選項，為點集，為數(shù)集，則兩集合不同，故B正確；
C選項，為數(shù)集，表示射線上的點，則兩集合不同，故C正確；
D選項，兩集合均表示全體奇數(shù)，故兩集合相同，故D錯誤.
故選：ABC
10. 對于實數(shù)，下列說法錯誤的是（ ）
A. 若，則B. 若，，則
C. 若，則D. 若，，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】對ABD，舉反例說明不等式不恒成立，對C，根據(jù)不等式的性質(zhì)，證明不等式恒成立.
【詳解】對A：令，，則，但不成立，所以A錯誤；
對B：令，，，，則，，但不成立，所以B錯誤；
對C：由題意，根據(jù)不等式的性質(zhì)，有即，故C成立；
對D：令，，，，則，，但不成立，所以D錯誤.
故選：ABD
11. 已知函數(shù)的定義域為為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則下列選項正確的是（ ）
A. 的圖象關(guān)于直線對稱
B. 的圖象關(guān)于點對稱
C.
D. 的一個周期為8
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可推出函數(shù)的對稱性，判斷AB；利用賦值法求出的值，結(jié)合對稱性可求，判斷C；結(jié)合函數(shù)奇偶性、對稱性可推出函數(shù)的周期，判斷D.
【詳解】由于函數(shù)的定義域為為偶函數(shù)，
則，即，則的圖象關(guān)于直線對稱，A正確；
又為奇函數(shù)，則，即，
故的圖象關(guān)于點對稱，B正確；
由于，令，則，
又的圖象關(guān)于直線對稱，故，C錯誤；
又，，則，
故，即，則，
即的一個周期為8，D正確，
故選：ABD
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 已知集合，若，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)集合元素的互異性分別討論集合中三個元素分別為1時的值，再計算即可；
【詳解】因為，
若時，，不符合元素的互異性；
若，即或2時：
當(dāng)時，集合，不符合元素的互異性；
當(dāng)時，，不符合元素互異性；
若，即或2時：
當(dāng)時，由以上可知不符合題意；
當(dāng)時，，符合；
所以，所以，
故答案為：.
13. 已知，則的最小值是________.
【答案】
【解析】
【分析】分子進(jìn)行有理化，然后結(jié)合“1”的妙用，利用，即可結(jié)合基本不等式來求解最值.
【詳解】由題知，，
令
，
因為，所以，
所以，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，
所以的最小值為.
故答案為：.
14. 若函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與單調(diào)性求解即可.
【詳解】由題意，圖象的對稱軸為，
因為在上是減函數(shù)，故，即.
故答案為：
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知全集，集合，，.
（1）若，求的取值范圍；
（2）若，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求得集合，由題意，得到，分和，兩種情況討論，結(jié)合集合的包含關(guān)系，列出不等式，即可求解；
（2）先求得集合，結(jié)合，分類討論求得實數(shù)的范圍，進(jìn)而求得時，實數(shù)的取值范圍，得到答案.
【小問1詳解】
由集合，，
因為，可得，
當(dāng)時，即，解得，此時滿足；
當(dāng)時，要使得，則滿足，解得，
綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.
【小問2詳解】
由集合，，
當(dāng)時，即，解得，此時；
當(dāng)時，要使得，則滿足或，
解得或，
綜上可得，若時，實數(shù)的取值范圍為，
所以，若時，可得實數(shù)的取值范圍為.
16. （1），，求證：；
（2）已知，求的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用作差法結(jié)合已知條件證明即可；
（2）令，整理后求出，然后利用不等式的性質(zhì)可求得結(jié)果.
【詳解】（1），
因為，所以，
又，所以，
即.
（2）令，
所以，解得，
所以，
因為，所以，
又，所以，
故的取值范圍為.
17. （1）已知，求的最大值；
（2）已知，求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）依題意可得，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得；
（2）依題意可得，利用基本不等式計算可得.
【詳解】（1）因為，所以，
所以，
所以當(dāng)，時取得最大值；
（2）因為，所以，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值為.
18. 已知，，且.
（1）求ab的最大值；
（2）求的最小值.
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)基本不等式，即可求解；
（2）根據(jù)，代入，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最小值.
【小問1詳解】
，，得，
當(dāng)時，等號成立，
所以的最大值為2；
【小問2詳解】
，
，
當(dāng)時，時，取得最小值.
19. 已知函數(shù).
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，對，使得成立，求的取值范圍.
【答案】（1）答案見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用分類討論的思想求解含有參數(shù)的不等式的解集.
（2）利用函數(shù)的思想構(gòu)造函數(shù)，借助二次函數(shù)分類討論求函數(shù)的值域，進(jìn)而列出不等式組求解即得.
【小問1詳解】
令，解得或，
①當(dāng)時，，不等式的解集為，
②當(dāng)時，，不等式的解集為，
③當(dāng)時，，不等式的解集為，
所以當(dāng)時，不等式的解集為，
當(dāng)時，不等式的解集為；
當(dāng)時，不等式解集為.
【小問2詳解】
由，得，
令，依題意，，取值集合包含于，
而，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，則，無解；
當(dāng)，即時，則，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.

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