本試卷共4頁，19小題，滿分150分.
注意事項(xiàng)：
1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合并集的定義直接得到結(jié)果.
【詳解】.
故選：D.
2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義得出對(duì)應(yīng)不等式即可得結(jié)果.
【詳解】復(fù)數(shù)，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，
則，解得．
故選：A
3. 在梯形 中，滿足 ，則 （ ）
A. 4B. 6C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】由向量線性運(yùn)算得，然后由計(jì)算．
【詳解】∵，∴，
，
故選：C．
4. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)兩角和的余弦公式求出，再將平方結(jié)合平方關(guān)系化簡(jiǎn)即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，則，
即，
即，
即，
所以.
故選：C.
5. 圓臺(tái)的高為2，體積為，兩底面圓的半徑比為，則母線和軸的夾角的正切值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)圓臺(tái)的體積公式求出圓臺(tái)的上下底半徑，再求母線和軸的夾角的正切值.
【詳解】設(shè)圓臺(tái)上底半徑為，則下底半徑為，
由題意：.
所以圓臺(tái)母線和軸的夾角的正切值為：.
故選：B
6. 已知球的半徑為，是球表面上的定點(diǎn)，是球表面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則線段軌跡的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以球的球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)題設(shè)可得，在線段取點(diǎn)，使，從而得線段軌跡為圓錐的側(cè)面，即可求解.
【詳解】如圖，以球的球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)榍虻陌霃綖椋瑒t，設(shè)，
則，，所以，
又，，則，得到，
如圖，在線段取點(diǎn)，使，所以線段軌跡為圓錐的側(cè)面，
又，則，所以圓錐的側(cè)面積為，
所以線段軌跡的面積為，
故選：C.
7. 在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)在直線上，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)投影向量的公式求解.
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)，則，
則在上的投影向量為
.
故選：C
8. 已知兩個(gè)不同的圓，均過定點(diǎn)，且圓，均與軸、軸相切，則圓與圓的半徑之積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】按點(diǎn)的位置分不在坐標(biāo)軸與在坐標(biāo)軸上兩種情況討論，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)在圓上，以及方程根的情況綜合分析的值即可.
【詳解】當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，圓，的方程為的形式，
代入點(diǎn)的坐標(biāo)，可得關(guān)于的方程，
圓，的半徑，是該方程的兩個(gè)不同實(shí)根，
所以，同理，當(dāng)點(diǎn)在第二、三、四象限時(shí)也可得．
當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，，
此時(shí)圓，的圓心分別位于第一、二象限（或第三、四象限），兩圓在點(diǎn)處相切，
且，滿足．
同理，當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，，同樣滿足．
故選：C.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中圓心為，半徑為.
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分. 在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求. 全部選對(duì)得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列說法不正確的是（ ）
A. 至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使
B. 若定義域?yàn)椋瑒t的定義域是
C. 命題p：，，則，
D. “集合中只有一個(gè)元素”是“”的必要不充分條件
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)求解范圍判斷A，根據(jù)抽象函數(shù)定義域法則求解判斷B，根據(jù)全稱量詞命題的否定求解判斷C，根據(jù)集合只有一個(gè)元素得只有一根，分類討論求解其充要條件即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，，則，故A不正確；
對(duì)于B，因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，即?br>所以對(duì)于，，解得，
所以的定義域是，故B不正確；
對(duì)于C，命題p：，，則，，故C不正確；
對(duì)于D，若集合中只有一個(gè)元素，
當(dāng)時(shí)，，符合題意；
當(dāng)時(shí)，由題意可得，即，綜上或，
所以必要性成立，故D正確；
故選：ABC
10. 投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣三次，設(shè)隨機(jī)變量．記A表示事件“”，表示事件“”，表示事件“”，則（ ）
A. 和互為對(duì)立事件B. 事件和不互斥
C. 事件和相互獨(dú)立D. 事件和相互獨(dú)立
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由對(duì)立事件的定義分析A，由互斥事件的定義分析B，由相互獨(dú)立事件的定義分析CD，綜合可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，表示事件“”，即前兩次拋擲中，一次正面，一次反面，則，
表示事件“”，即第二次拋擲中，正面向上，則，
表示事件“”，即前三次拋擲中，一次正面，兩次反面，，
依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于A，事件、可能同時(shí)發(fā)生，則事件、不是對(duì)立事件，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，事件、可能同時(shí)發(fā)生，則事件和不互斥，B正確；
對(duì)于C，事件，即前兩次拋擲中，第一次反面，第二次正面，，
由于，則事件和相互獨(dú)立，C正確；
對(duì)于D，事件，即三次拋擲中，第一次和第三次反面，第二次正面，，
，事件、不是相互獨(dú)立事件，D錯(cuò)誤．
故選：BC．
11. 已知兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)M滿足條件，其軌跡是曲線C，過B作直線l交曲線C于P，Q兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 取值范圍是
B. 當(dāng)點(diǎn)A，B，P，Q不共線時(shí)，面積的最大值為6
C. 當(dāng)直線l斜率時(shí)，AB平分
D. 最大值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】分析可知曲線C是以為圓心，半徑的圓.對(duì)于A：根據(jù)圓的性質(zhì)分析求解；對(duì)于B：設(shè)，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理可得，即可得面積最大值；對(duì)于C：利用韋達(dá)定理可得，進(jìn)而分析角度關(guān)系即可；對(duì)于D：根據(jù)AB平分，結(jié)合切線分析求解即可.
【詳解】設(shè)，
因?yàn)?，即，整理可得?br>可知曲線C是以為圓心，半徑的圓.
對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，可知點(diǎn)B在曲線C內(nèi)，且直線l與曲線C必相交，
且，則的最大值為，最小值為，
所以取值范圍是，故A正確；
設(shè)，
聯(lián)立方程，消去x可得，
則.
對(duì)于選項(xiàng)B：可得，
令，則，
可得，
因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，則的最小值為，
即，則，
可得的面積，
所以面積的最大值為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋?br>又因?yàn)椋?br>則，
即，可知，所以AB平分，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)锳B平分，則，
可知當(dāng)與曲線C相切時(shí)，取到最大值，
此時(shí)，且為銳角，則，
即的最大值為，則的最大值為，
所以最大值為，故D正確；
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式分析可知曲線C是以為圓心，半徑的圓，結(jié)合圓的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 設(shè)，若，則的值為__________．
【答案】
【解析】
【分析】由同角的三角函數(shù)，二倍角的正余弦、兩角差的正弦展開式計(jì)算即可；
【詳解】，若，，
，
，，
．
故答案為：.
13. 已知三棱臺(tái)上、下底面均為正三角形，且平面平面，，為的中點(diǎn)，則直線與夾角的余弦值為______．
【答案】
【解析】
【分析】因?yàn)?，所以直線與的夾角即為直線與的夾角，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，確定的大小，結(jié)合余弦定理即可得夾角余弦值.
【詳解】如圖所示，
因?yàn)?，所以直線與的夾角即為直線與的夾角，
取的中點(diǎn)為，由題知和為等邊三角形，
則，
又，則也是等邊三角形，故，
設(shè)為在平面上的投影，則平面，
因?yàn)槠矫嫫矫妫痪€為，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以
又平面，所以平面，
則，且，故四邊形為矩形，
故，且，則，
又，所以，則，
又，所以，
又，則，
所以在中，由余弦定理得，
所以直線與夾角的余弦值為．
故答案為：．
14. 點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，過作圓的切線，且直線與直線平行，則與之間的距離是________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由條件可得過點(diǎn)的切線斜率，即可得到直線方程，再由兩平行直線間的距離公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可得圓的圓心，半徑為，
則，所以過的切線斜率為，
所以直線的方程為，即，
又直線與直線平行，所以，
則與之間的距離是.
故答案為：.
15. 在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合二倍角的正弦公式即可得解；
（2）根據(jù)余弦定理結(jié)合已知求出之間的關(guān)系，再利用余弦定理即可得解.
【小問1詳解】
因?yàn)?，所以由正弦定理得?br>因?yàn)?，所以?br>所以，則，
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)椋裕?br>【小問2詳解】
，由余弦定理可得，，
又，，，
，即，
.
16. 已知圓過，兩點(diǎn)，且圓心在直線上．
（1）求圓的方程；
（2）若直線過點(diǎn)且被圓截得的線段長(zhǎng)為，求的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先設(shè)圓的一般方程為，結(jié)合題意有，解出D，E，F(xiàn)值，代入即可求得圓的一般方程；
（2）根據(jù)題意，分類討論，斜率存在和斜率不存在兩種情況：①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，滿足題意；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線的斜率為，則直線的方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式求得的值，即可得到直線的方程，再綜合在這兩種情況即可．
【小問1詳解】
設(shè)圓的一般方程為，圓心，
根據(jù)題意有，解得，
故所求圓的一般方程為，
【小問2詳解】
如圖所示，，設(shè)是線段的中點(diǎn)，則，，
又，∴在中，得，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，滿足題意，此時(shí)方程為．
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線的斜率為，則直線的方程為，即，
由點(diǎn)到直線的距離公式，得，此時(shí)直線的方程為．
綜上，所求直線的方程為或．
17. 課外閱讀對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的閱讀興趣、拓寬知識(shí)視野、提高閱讀能力具有重要作用．某市為了解中學(xué)生的課外閱讀情況，從該市全體中學(xué)生中隨機(jī)抽取了500名學(xué)生，調(diào)查他們?cè)诤倨陂g每天課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘），得到如下所示的頻數(shù)分布表，已知所調(diào)查的學(xué)生中寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)均不超過100分鐘．
（1）估計(jì)這500名學(xué)生寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
（2）若按照分層抽樣的方法從本次調(diào)查中寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)在和的兩組中共抽取6人進(jìn)行問卷調(diào)查，并從6人中隨機(jī)選取2人進(jìn)行座談，求這2人中至少有一人寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)在的概率．
【答案】（1）49； （2）.
【解析】
時(shí)長(zhǎng)
學(xué)生人數(shù)
50
100
200
125
25
【分析】（1）利用頻率分布表估算平均數(shù)即可得解.
（2）求出兩個(gè)指定區(qū)間內(nèi)的人數(shù)，利用列舉法求出概率.
【小問1詳解】
依題意，樣本中500名學(xué)生寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)
，
所以估計(jì)這500名學(xué)生寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)為49．
【小問2詳解】
抽取的6人中寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)在內(nèi)有：人，在內(nèi)有4人，
記內(nèi)的2人為A，B，記內(nèi)的4人為，
從這6人中隨機(jī)選2人基本事件有：
，共15種，
其中至少有一人每天課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)在的基本事件有，共9種，
設(shè)“選取的2人中至少有一人每天課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)在”，則．
18. 如圖，三棱錐中，平面，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn).

（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）連，利用三角形中位線性質(zhì)，線面平行的判定推理即得.
（2）根據(jù)給定條件，作出三棱錐底面上的高，利用幾何法求出線面角的正弦.
【小問1詳解】
連，由為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，得，
又平面，平面，
所以平面.
【小問2詳解】
設(shè)，由平面，平面，
得，則，取中點(diǎn)，則，
又平面，則平面，
又平面，于是平面平面，又平面面，
過點(diǎn)在平面內(nèi)作于，于是平面，連，

則為直線與平面所成的角，
在中，，，，
在中，，
所以直線與平面所成角的正弦值.
19. 已知為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線與交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）過點(diǎn)作直線（與軸不重合）與相交于點(diǎn)，，直線與軸交于點(diǎn)，，求的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分析可知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，進(jìn)而可得方程；
（2）設(shè)直線，，根據(jù)向量可得，結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算求解.
小問1詳解】
由題意可知：的圓心為，半徑為4，且，

則，
可知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，則，
所以的方程為.
【小問2詳解】
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，可知直線與橢圓必相交，

設(shè)直線，，則，
聯(lián)立方程，消去x可得，
則，
又因?yàn)椋?br>若，則，即，
可得，解得，
所以的方程為，即.

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