1．（5分）復(fù)數(shù)的虛部為
A．B．C．D．
2．（5分）的值為
A．1B．C．D．
3．（5分）已知正項等比數(shù)列中，為其前項和，且，，則
A．B．C．D．
4．（5分）的展開式中的系數(shù)是
A．B．C．D．
5．（5分）已知函數(shù)對都有，且其導(dǎo)函數(shù)滿足當(dāng)時，，則當(dāng)時，有
A．（2）B．（2）
C．（2）D．（2）
6．（5分）若向量，，滿足，，則的最大值為
A．10B．12C．D．
7．（5分）若對，函數(shù)的函數(shù)值都不超過函數(shù)的函數(shù)值，則實數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
8．（5分）在三棱柱中，，，在面的投影為△的外心，二面角為，該三棱柱的側(cè)面積為
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9．（6分）對于樣本相關(guān)系數(shù)，下列說法正確的是
A．樣本相關(guān)系數(shù)可以用來判斷成對樣本數(shù)據(jù)相關(guān)的正負(fù)性
B．樣本相關(guān)系數(shù)可以是正的，也可以是負(fù)的
C．樣本相關(guān)系數(shù)越大，成對樣本數(shù)據(jù)的線型相關(guān)程度越強(qiáng)
D．樣本相關(guān)系數(shù)，
10．（6分）為得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象
A．向左平移個單位長度B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度D．向右平移個單位長度
11．（6分）正實數(shù)，滿足，則下列選項一定成立的是
A．B．
C．D．
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12．（5分）命題“，”的否定為 ．
13．（5分）若，，，四點(diǎn)在同一個圓上，則該圓方程為 ．
14．（5分）橢圓左焦點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在橢圓上，則該橢圓離心率為 ．
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15．（13分）設(shè)的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知，且．
（1）求角的大小；
（2）若向量與共線，求、的值．
16．（15分）在校運(yùn)動會上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到以上（含的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎．為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16
假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立．
（Ⅰ）估計甲在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；
（Ⅱ）設(shè)是甲、乙、丙在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計的數(shù)學(xué)期望．
17．（15分）如圖，在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)，分別在棱和棱上，且，，為棱的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．
18．（17分）橢圓左焦點(diǎn)和，構(gòu)成一個面積為的△，且．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）點(diǎn)是在三象限的點(diǎn)，與軸交于，與軸交于，
①求四邊形的面積；②求△面積最大值及相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．
19．（17分）已知函數(shù)．（其中
（Ⅰ）當(dāng)時，證明：；
（Ⅱ）若時，，求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）記函數(shù)的最小值為，求證：．
2024-2025學(xué)年四川省成都市高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．（5分）復(fù)數(shù)的虛部為
A．B．C．D．
【解答】解：復(fù)數(shù)的虛部為．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
2．（5分）的值為
A．1B．C．D．
【解答】解：
．
故選：．
【點(diǎn)評】此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用兩角和的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡求值，是一道基礎(chǔ)題．學(xué)生做題時注意所求式子中“1”的靈活變換．
3．（5分）已知正項等比數(shù)列中，為其前項和，且，，則
A．B．C．D．
【解答】解：由已知得：
，
解得，，
．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的前5項和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．
4．（5分）的展開式中的系數(shù)是
A．B．C．D．
【解答】解：由組合數(shù)性質(zhì)：，可得
展開式中的系數(shù)為：
，
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查二項式定理的應(yīng)用，屬中檔題．
5．（5分）已知函數(shù)對都有，且其導(dǎo)函數(shù)滿足當(dāng)時，，則當(dāng)時，有
A．（2）B．（2）
C．（2）D．（2）
【解答】解：函數(shù)對定義域內(nèi)的任意都有，
關(guān)于直線對稱；
又當(dāng)時其導(dǎo)函數(shù)滿足，
當(dāng)時，，在上的單調(diào)遞增；
同理可得，當(dāng)時，在單調(diào)遞減；
的最小值為（2）
，
，
，又，，在上的單調(diào)遞增；
，
（2），
故選：．
【點(diǎn)評】本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，函數(shù)的對稱性，單調(diào)性的運(yùn)用，綜合運(yùn)用對數(shù)解決問題的能力，屬于中檔題．
6．（5分）若向量，，滿足，，則的最大值為
A．10B．12C．D．
【解答】解：由題設(shè)可知：，
則不妨設(shè)，，，
則
，
由題意知，的最大值為4，的最大值為3，
則當(dāng)與同向時，，取得最大值，
即的最大值為12．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，屬中檔題．
7．（5分）若對，函數(shù)的函數(shù)值都不超過函數(shù)的函數(shù)值，則實數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【解答】解：在同一平面直角坐標(biāo)系中作出，的圖象如下圖所示：
且，即與軸交于，
當(dāng)位于其對稱軸右側(cè)的圖象經(jīng)過時，此時在的圖象上，所以，
當(dāng)位于其對稱軸左側(cè)的圖象經(jīng)過時，此時在的圖象上，所以，解得；
接下來分析當(dāng)與相切時的情況：
令，解得（負(fù)值舍去），，
所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，
則，解得；
由上可知，當(dāng)時，經(jīng)過且與相切，
結(jié)合圖象，通過平移的圖象可知，當(dāng)時，恒成立．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)圖象的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合思想以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
8．（5分）在三棱柱中，，，在面的投影為△的外心，二面角為，該三棱柱的側(cè)面積為
A．B．C．D．
【解答】解：設(shè)△的外心為，則由題意可得面，
如圖，連接，，，，，則，
△△△，
，
又，△，△均為正三角形，且△△，
取中點(diǎn)，連接，，則，，且，，
是二面角的平面角，故，
△是正三角形，，
，
；
延長交于點(diǎn)，則由為△的外心和，
，
又由面，面，，
又，、平面，
平面，平面，，
由平行線性質(zhì)，，
該三棱柱的側(cè)面積．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查柱體側(cè)面積的計算，屬于中檔題．
二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9．（6分）對于樣本相關(guān)系數(shù)，下列說法正確的是
A．樣本相關(guān)系數(shù)可以用來判斷成對樣本數(shù)據(jù)相關(guān)的正負(fù)性
B．樣本相關(guān)系數(shù)可以是正的，也可以是負(fù)的
C．樣本相關(guān)系數(shù)越大，成對樣本數(shù)據(jù)的線型相關(guān)程度越強(qiáng)
D．樣本相關(guān)系數(shù)，
【解答】解：對于，樣本相關(guān)系數(shù)可以用來判斷成對樣本數(shù)據(jù)相關(guān)的正負(fù)性，故選項正確；
對于，樣本相關(guān)系數(shù)可以是正的，也可以是負(fù)的，故選項正確；
對于，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度也越強(qiáng)，故選項錯誤；
對于，樣本相關(guān)系數(shù)，，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查了相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
10．（6分）為得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象
A．向左平移個單位長度B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度D．向右平移個單位長度
【解答】解：為得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，
或向右平移個單位，得到的圖象．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)：函數(shù)圖象的平移變換，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
11．（6分）正實數(shù)，滿足，則下列選項一定成立的是
A．B．
C．D．
【解答】解：正實數(shù)，滿足，
選項，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，選項錯誤．
選項，，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以選項正確．
選項，，
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，最小值為，
所以當(dāng)時，有最小值為，
而，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以選項正確．
選項，
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，正確．
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12．（5分）命題“，”的否定為 ， ．
【解答】解：因為全稱命題的否定是特稱命題，所以，命題“，”的否定為，
故答案為：，
【點(diǎn)評】本題考查命題的否定，全稱命題與特稱命題的否定關(guān)系，是基礎(chǔ)題．
13．（5分）若，，，四點(diǎn)在同一個圓上，則該圓方程為 ．
【解答】解：假設(shè)圓的一般方程為，
將，，三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入可得
，
解得，，，
所以圓的方程為：，
點(diǎn)也在該圓上，
即．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題主要考查圓的方程，屬于基礎(chǔ)題．
14．（5分）橢圓左焦點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在橢圓上，則該橢圓離心率為 ．
【解答】解：橢圓左焦點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在橢圓上，
設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
則，解得，
將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得，
，而，
所以，
，，
，
，則，，，
所以離心率．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，是中檔題．
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15．（13分）設(shè)的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知，且．
（1）求角的大??；
（2）若向量與共線，求、的值．
【解答】解：（1）
，
；
又，
，
，
解得；
（2）向量與共線，
，
，
即①；
又，，
②；
由①②聯(lián)立解得，．
【點(diǎn)評】本題考查了三角恒等變換以及向量共線定理和正弦、余弦定理的應(yīng)用問題，是綜合性題目．
16．（15分）在校運(yùn)動會上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到以上（含的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎．為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16
假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立．
（Ⅰ）估計甲在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；
（Ⅱ）設(shè)是甲、乙、丙在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計的數(shù)學(xué)期望．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)事件為“甲在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎”，
其概率為；
（Ⅱ）記事件為：“乙在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎”，
則，
事件為：“丙在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率”，
則，
依題意可知的可能取值為0，1，2，3，
則，
，
，
，
所以的分布列為：
所以．
【點(diǎn)評】本題考查了古典概型的概率公式的應(yīng)用，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與期望的求解，屬于中檔題．
17．（15分）如圖，在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)，分別在棱和棱上，且，，為棱的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）在三棱柱中，平面，
則該三棱柱是個直三棱柱（各側(cè)棱均垂直底面，各側(cè)面均與底面垂直）
，
為棱的中點(diǎn)，
，
又平面平面，
平面，
，
；
方法二：
（Ⅰ）以為原點(diǎn)，，，的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，0，，，0，，，2，，，0，，
，0，，，2，，，0，，，0，，，1，，
，1，，，，，
，；
（Ⅱ）依題意，，0，是平面的一個法向量，
，2，，，0，，
設(shè)，，為平面的法向量，
則，即，不妨設(shè)，則，，，
，，
，，
二面角的正弦值；
（Ⅲ）依題意，，2，，
由（Ⅱ）知，，，為平面的一個法向量，
，，
由直線與平面所成角與直線和法向量所在直線的夾角互余，
直線與平面所成角的正弦值為．
【點(diǎn)評】本題考查了空間向量在幾何中的應(yīng)用，線線平行和二面角和線面角的求法，考查了運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，邏輯推理能力，屬于中檔題．
18．（17分）橢圓左焦點(diǎn)和，構(gòu)成一個面積為的△，且．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）點(diǎn)是在三象限的點(diǎn)，與軸交于，與軸交于，
①求四邊形的面積；②求△面積最大值及相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：（Ⅰ）
令，根據(jù)，解得，三角形為等腰直角三角形，
所以，
根據(jù)三角形面積為，可得，
又因為，
所以，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為
（Ⅱ）
①設(shè)，，那么，
根據(jù)第一問得，，
直線，直線，
所以，，
所以四邊形的面積
．
②根據(jù)第一問得，
要求出三角形面積最大值那么只需求出三角形面積最大值即可．
根據(jù)，，解得，，
因此到的距離，
所以．
因為，
所以，
所以，所以，
當(dāng)時，，此時，
根據(jù)，解得，
根據(jù)三角形面積最大值為，可得三角形面積最大值為．
【點(diǎn)評】本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
19．（17分）已知函數(shù)．（其中
（Ⅰ）當(dāng)時，證明：；
（Ⅱ）若時，，求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）記函數(shù)的最小值為，求證：．
【解答】解：（Ⅰ）證明：當(dāng)時，函數(shù)，
所以導(dǎo)函數(shù)，
當(dāng)時，，導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，得證．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)，所以導(dǎo)函數(shù)，
所以．
①當(dāng)時，，，，
所以導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，，
所以函數(shù)單調(diào)遞增，，所以成立；
②當(dāng)時，當(dāng)，，
所以導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞減，，
所以函數(shù)單調(diào)遞減，，與條件矛盾，所以不成立；
綜上所述：．
（Ⅲ）證明：，則導(dǎo)函數(shù)，
設(shè)，則，
又因，
所以導(dǎo)函數(shù)在單調(diào)遞增，
又因為（1），
所以，使得，即①，
且，，單調(diào)遞減；
，，，單調(diào)遞增，
所以，
由①得，
又因為（1），，
所以，使得，即，即，
且，，單調(diào)遞減；
，，，單調(diào)遞增，
所以，
因為，所以（1），
再設(shè)，則在單調(diào)遞減，
因為，所以也即大于，
要證，即證，又即證，
由（Ⅱ）問，
所以，得證．
【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用，屬于難題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/11/23 16:50:53；用戶：邵國海；郵箱：shg0505@163.cm；學(xué)號：196381180
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