考試時間：120 分鐘； 滿分：150 分 命題人：黃 旭 審題人：趙文強
一、單選題（本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項中，只有一 項符合題目要求）
1 ．已知集合A = {x lnx < 1} ，若a ∈ A ，則a 可能是 ( )
A ． B ．1 C ．2 D ．3
2 ．已知a, b ∈ R ，i 是虛數(shù)單位，若a - i 與2 +bi 互為共軛復數(shù)，則(a +bi)2 = ( )
A ．5 + 4i B ．5 - 4i C ．3 + 4i D ．3 - 4i
3 ．已知sin α + cs β= , csα - sin β= ，則sin
A ．- B ． C ．- D .
4 ．下列命題中，真命題的是 ( )
A ．若a < b ，則 > B ．若a > b ，則a2 > ab > b2
C ．若0 < a < b < c ，則lgc a < lgc b D ．若a + 2b = 2 ，則2a + 4b ≥ 4
5 ．函數(shù)f 的圖象大致為 ( )
A ． B ． C ． D.
6 ．設Sn 是數(shù)列 的前 n 項和，且a1 = 1 ，Sn = Sn+1 ，則 ）
A ．- B ．- C ．-2 D ．-
7 ．已知橢圓 1 的左、右焦點分別為F1 ，F(xiàn)2 ，過點F1 的直線與橢圓C 交于A, B 兩點，
若 B | ，且上AB = 90。，則橢圓的離心率為 ( )
A ． B ． C ． D .
8 ．已知函數(shù)f (x) = ax3 - 3x2 + 4a (a ≠ 0) ，若f (x) 存在唯一的零點x0 ，且x0 < 0 ，則a 的取值范
圍是 ( )
A ．(-∞, 0) (1, +∞) B ．(-∞, 0) (0, 1) C ．(-∞, -1) (0, +∞) D ．(1, + ∞)
二、多選題（本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分。在每小題給出的四個選項中，有多項 符合題目要求。全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分。）
9 ．已知a ，b ，c 為非零實數(shù)，則下列說法一定正確的有 ( )
A ．若a ，b ，c 成等差數(shù)列，則a2 ，b2 ，c2 成等差數(shù)列
B ．若a ，b ，c 成等比數(shù)列，則 ， ， 成等比數(shù)列
C ．若a ，b ，c 成等差數(shù)列，則2a ，2b ，2c 成等比數(shù)列
D ．若a2 ，b2 ，c2 成等比數(shù)列，則a ，b ，c 成等比數(shù)列
10 ．在VABC 中，內(nèi)角A, B, C 所對的邊分別為a, b, c ，若A, B, C 成等差數(shù)列，b = ，D 是AC
中點，則下面正確的是 ( )
A ．VABC 周長的最大值為3 B ．VABC 面積的最大值為
C ．中線BD 長度的最大值為 D ．若A 為銳角，則c ∈(1, 2]
—→ —
11．若Ox, Oy是平面內(nèi)兩條相交成120角的數(shù)軸，e1 和e2 是x 軸、y 軸正方向上的單位向量，
若向量—P—→ = xe+ ye— ，則規(guī)定有序數(shù)對(x, y) 為向量—P—→ 在坐標系xOy 中的坐標，記作 = (x, y)， 設 —A = (1, 1) , —B—→ = (-1, 1) , — = (1, t ) ，則 ( )
A ． —A = ·、i2 B ． —A 丄 —B—→
C ．若B——/ /—A ，則t = 3 D ．若ABC 構成銳角三角形，則t ∈(2, 5)
三、填空題（本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分）
12 ．向量 , 滿足| |= 2, | |= 1, 與 的夾角為 ，則| - 2 |= .
13 ．已知正四棱臺上底面邊長為 2cm ，側(cè)棱和下底面邊長都是 4cm ，則它的體積為
3
cm .
14 ．已知函數(shù)f (x) = a sin wx +bcswx (w > 0) 滿足下列條件：① 為y = f (x ) 的極值點；② f (x) 在區(qū)間 上是單調(diào)函數(shù)，則w 的取值范圍是 .
四、解答題（本題共 5 小題，共 77 分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15 ．（13 分）已知數(shù)列{an } 的前n 項和為Sn ，且Sn+1 = Sn + an +1, .
在① a3 + a11 = 16 ；②a2, a5, a11 成等比數(shù)列；③ S11 = 77三個條件中任選一個補充在橫線上，并 解答下面問題：
(1)求數(shù)列{an } 的通項公式；
(2)若數(shù)列 的前n 項和 ，求證： .
16．（15 分）如圖，在四棱錐P - ABCD 中，AD//BC ，PA = BC = 2AD = 2AB = 4 ，AD 丄 平面PAB ， PA 丄 AB ，E 、F 分別是棱PB 、PC 的中點.
(1)證明：DF// 平面ACE ；
(2)求平面ACE 與平面PCD 的夾角的余弦值.
17．（15 分）在平面直角坐標系xOy 中，已知點F1 (-2, 0) , F2 (2, 0) ,
= 2 ，動點M 的軌
MF1
-
MF2
跡為C .
(1)求C 的方程；
(2)過F2 作直線l 與C 交于C、D 兩點，若 -F- = 3F- ，求直線CD 的斜率.
18 ．（17 分）已知函數(shù)f (x) = x2 - (2a +1)x + aln x (a ∈ R) .
(1)若函數(shù)y = f (x ) 在x = 1 處的切線平行于x 軸，求a 的值；
(2)討論f (x) 的單調(diào)性；
(3)若g (x) = f (x)- x2 - (a -1)ln x 有兩個不同的零點x1 , x2 ，求a 的取值范圍.
19 ．（17 分）第二十五屆中國國際高新技術成果交易會（簡稱“高交會”）在深圳閉幕.會展 展出了國產(chǎn)全球首架電動垂直起降載人飛碟.觀察它的外觀造型，我們會被其優(yōu)美的曲線折 服.現(xiàn)代產(chǎn)品外觀特別講究線條感，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度.考察如圖所示的光滑 曲線C : y = f (x) 上的曲線段AB ，其弧長為Δs ，當動點從A 沿曲線段AB 運動到B 點時，A 點
的切線lA 也隨著轉(zhuǎn)動到B 點的切線lB ，記這兩條切線之間的夾角為Δθ（它等于lB 的傾斜角 與lA 的傾斜角之差）.顯然，當弧長固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當夾角固
定時，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段AB 的平均曲率；顯然當B
越接近A ，即 Δs 越小，K 就越能精確刻畫曲線C 在點A 處的彎曲程度，因此定義
若極限存在）為曲線C 在點A 處的曲率.（其中y, ，y,, 分別表示y = f x,
在點A 處的一階、二階導數(shù)）
(1)已知拋物線x2 = 2py(p > 0) 的焦點到準線的距離為 3 ，則在該拋物線上點(3, y) 處的曲率是 多少？
(2)若函數(shù) 不等式對于x ∈ R恒成立，求w 的取值范
圍；
(3)若動點A 的切線沿曲線f (x) = 2x2 -8 運動至點B (xn , f (xn ))處的切線，點B 的切線與x 軸的
交點為(xn+1, 0)(n ∈ N*) .若x1 = 4 ，bn = xn - 2 ，Tn 是數(shù)列{bn }的前n 項和，證明Tn < 3 .

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