1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2.選擇題的作答:每小題選出答案后，用2B 鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。寫在試卷.草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效。
3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交。
一、單項選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.下列命題中，真命題的是（ ）
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則 D. 若，則
2.已知函數(shù)有三個零點，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
3.當時，曲線與交點的個數(shù)為（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4.已知向量，，對任意實數(shù)，恒有，則（ ）
A. B. C. D.
5.已知數(shù)列an滿足，，，則數(shù)列an的第2024項為（ ）
A. B. C. D.
6.已知為直角三角形，為直角頂點，分別以邊上的高、中線的內角平分線為折線，將三角形折成直二面角，記折疊后的四面體的體積分別為，，，則（ ）
A. B. C. D.
7.已知點P在拋物線上，且，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
8.把8個相同的籃球分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，不同的分發(fā)種數(shù)為（ ）
A. 70 B. 99 C. 110 D. 165
二、多項選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9. 已知函數(shù)，若方程有四個不同的零點，，，且，則下列結論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
10.設一組樣本數(shù)據(jù)滿足，則（ ）
A. 拿走，這組數(shù)據(jù)的方差變大 B. 拿走，這組數(shù)據(jù)的方差變大
C. 拿走，這組數(shù)據(jù)的方差減小 D. 拿走，這組數(shù)據(jù)的方差減小
11.已知函數(shù)f(x)＝sin[cs x]＋cs[sin x]，其中[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，下列結論中不正確的是( )
A. f(x)的一個周期是2π B. f(x)是偶函數(shù)
C. f(x)在(0，π)內單調遞減 D. f(x)的最大值不大于
三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.在的展開式中，若含x項的系數(shù)為80，則實數(shù)a的值為________.
13.(2023·益陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝，g(x)＝，當x1，x2∈(0，＋∞)時，≤恒成立，則正數(shù)k的取值范圍是____________．
14. 將函數(shù)的圖象上的每個點橫坐標不變，縱坐標擴大為原來的2倍，再將所得圖象向右平移得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)與函數(shù)圖象交于點，其中，則的值為__________.
四、解答題:本題共5 小題，其中第 15 題 13 分，第 16、17 題 15 分,第18、19題17分，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.氮氧化物是一種常見的大氣污染物，下圖為我國2015年至2023年氮氧化物排放量(單位：萬噸)的折線圖，其中年份代碼1～9分別對應年份2015～2023．
已知，，，．
(1)可否用線性回歸模型擬合與的關系？請分別根據(jù)折線圖和相關系數(shù)加以說明．
(2)若根據(jù)所給數(shù)據(jù)建立回歸模型，可否用此模型來預測2024年和2034年我國的氮氧化物排放量？請說明理由．
附：相關系數(shù)．
16.已知函數(shù)（且）.
（1）若對于任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，是否存在，使在區(qū)間上的值域是？若存在，求實數(shù)的取值范圍：若不存在，說明理由.
17. 已知數(shù)列的首項，且滿足，記.
（1）證明：是等比數(shù)列；
（2）記，證明：數(shù)列的前項和.
18.已知橢圓的離心率為，左、右頂點分別為A、B，左、右焦點分別為．過右焦點的直線l交橢圓于點M、N，且的周長為16．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）記直線AM、BN的斜率分別為，證明：為定值．
19.如圖，有一個半圓形場館，政府計劃改建為一個方艙醫(yī)院，改建后的場館由病床區(qū)（矩形）及左右兩側兩個大小相同的休閑區(qū)（矩形和）組成，其中半圓的圓心為，半徑為50米，矩形的一邊在上，矩形的一邊在上，點，，，在圓周上，，在直徑上，且，設．若每平方米病床區(qū)的造價和休閑區(qū)造價分別為萬元和萬元，記病床區(qū)及休閑區(qū)的總造價為（單位：萬元）.
（1）求的表達式；
（2）為進行改建預算，當為何值時，總造價最大？并求出總造價的最大值．
數(shù)學試題答案
一、單選題
1.【正確答案】D
對于A選項，當時，可以取等號，所以A錯誤；
對于B選項，當a=1,b=?3時，a2=1,b2=9,a20)，h′(x)＝－1－0，f(x)單調遞增；在區(qū)間(1，＋∞)上，f′(x)0時，g(x)＝>0，
又k>0，所以≤?≤，
即≥max，
由于g(x2)>0，故f(x1)>0，
所以max＝＝.
所以≥，又k>0，則ke≥k＋1，故k≥，
所以k的取值范圍是.
14.【正確答案】
函數(shù)的圖象上的每個點橫坐標不變, 縱坐標擴大為原來的 2 倍,得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象向右平移得到函數(shù)的圖象,
因為函數(shù)與函數(shù)圖象交于點，
所以，即 ，
整理得，
因為，所以，
又因為，所以.
四、解答題
15.【正確答案】解：(1)從折線圖看，各點落在一條直線附近，因而可以用線性回歸模型擬合與的關系.
由題意知，
相關系數(shù)
可得．
故可以用線性回歸模型擬合與的關系．
(2)可以預測2024年的氮氧化物排放量，但不可以預測2034年的氮氧化物排放量．
理由如下：
①2024年與所給數(shù)據(jù)的年份較接近，因而可以認為短期內氮氧化物排放量將延續(xù)該趨勢，故可以用此模型進行預測；
②2034年與所給數(shù)據(jù)的年份相距過遠，而影響氮氧化物排放量的因素有很多，這些因素在短期內可能保持不變，但從長期看很有可能會變化，因而用此模型預測可能是不準確的．
16.【正確答案】解：（1）對于任意的，都有，等價于，
∵，
設，
則t在上是增函數(shù)，下面按照的單調性分類討論：
當時，在上遞減，
則，解得，
當時，在上遞增，
則，解得與矛盾，故舍去；
綜上，.
（2）∵，∴在上遞減，
∴，即，
即關于x方程在上有兩個不等的實根，
設，
則12≤m03m+12>5m2?5m2>0，即12≤m0m103．
綜上，不存在這樣的，滿足條件.
17.【正確答案】證明：（1）因為，
所以，，所以，
因為，，所以，
因為，
因為，
又因為當時，所以，所以，
所以是以5為首項，2為公比的等比數(shù)列.
（2）由（1）可得，
因為，
所以.
18.【正確答案】解：（1）由的周長為16，且得，所以，
又離心率為，所以，．
所以橢圓C的方程為：．
（2）證明：由題易知，直線l斜率不可能為0，
設l的方程為：．
聯(lián)立整理得：，
因為在橢圓內，所以直線l與橢圓一定會有交點，即恒成立。
設，
由韋達定理得．
又，
故
又因為，即：
所以.
19.【正確答案】解：（1）設，由圖可知在矩形中，，，
所以，
在矩形中，，
所以，
因為病床區(qū)每平方米的造價為萬元，休閑區(qū)每平方米造價為萬元，
，
（萬元），.
（2）由（1）得，
，
因為，所以，
令，解得，因為，所以，
當變化時，，的變化情況如下表：
所以當時，總造價取得極大值，
即當時，總造價的最大值為萬元.

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