考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．已知，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若公比，，則（ ）
A．49B．56C．63D．112
3．玉溪市正在創(chuàng)建全國(guó)文明城市，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁 4人，平均分成兩組，其中一組指揮交通，一組打掃街道衛(wèi)生，則甲、乙不在同一組的概率為（ ）
A．B．C．D．
4．設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，則是的（ ）條件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
5．已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離的最小值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
6.已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
A. B. C. D.
7.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)滿足，則
A. B. C. D.
8．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，左，右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為在雙曲線上，是的中垂線，若的周長(zhǎng)與的周長(zhǎng)之差為，則雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.
9. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若在處的瞬時(shí)變化率為3，則
B. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1
C. 若在R上單調(diào)遞增，則
D. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是
10．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，公差為，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．當(dāng)時(shí)，取得最大值
C． D．使得成立的最大自然數(shù)是17
11．如圖，已知圓臺(tái)的軸截面為，其中為圓弧的中點(diǎn)，，則（ ）
A．圓臺(tái)的體積為
B．圓臺(tái)母線所在直線與平面所成角的最大值為
C．過(guò)任意兩條母線作圓臺(tái)的截面，截面面積的最大值為
D．過(guò)三點(diǎn)的平面與圓臺(tái)下底面的交線長(zhǎng)為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 .
13．已知數(shù)列滿足且則的通項(xiàng)公式 ．
14. 若曲線有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)切線，則a的取值范圍是________________．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
15．（13分）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.
(1)求角A的大小；
(2)若，，求的面積.
16.（15分）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
（2）求在上的最大值．
17．（15分）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)
(1)求的方程和離心率；
(2)若過(guò)點(diǎn)A且斜率為1的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，求的面積．
18．（17分）已知等差數(shù)列滿足，是關(guān)于的方程的兩個(gè)根.
(1)求和；
(2)求和；
(3)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和．
19.（17分） 對(duì)于函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)和，使得成立，則稱是“躍點(diǎn)”函數(shù)，并稱是函數(shù)的“躍點(diǎn)”.
（1）若函數(shù)是“躍點(diǎn)”函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若函數(shù)是定義在上的“1躍點(diǎn)”函數(shù)，且在定義域內(nèi)存在兩個(gè)不同的“1躍點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若函數(shù)是“1躍點(diǎn)”函數(shù)，且在定義域內(nèi)恰存在一個(gè)“1躍點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
玉溪一中高2026屆高二下學(xué)期月考試卷
數(shù) 學(xué)
參考答案
1．【答案】B
【詳解】因?yàn)椋?故選：B
2.【答案】B
【詳解】∵，∴.故選：B.
3.【答案】C
【詳解】根據(jù)指揮交通組選人打掃街道組選人，基本事件總數(shù)為6，
甲乙在同一組包含基本事件總數(shù)為2，其概率為，
其對(duì)立事件：“甲、乙不在同一組”
所以甲、乙不在同一組概率為.故答案為：C
4．【答案】B
【詳解】已知直線的方向向量為，平面的法向量為，則由得到或,
故是的非充分條件；
由可得，故是的必要條件.故選：B
5．【答案】C
【詳解】因?yàn)閳A可化為，
所以圓心坐標(biāo)為，半徑，
因?yàn)閳A心到直線的距離，
所以直線與圓相離，
所以點(diǎn)到直線距離的最小值是.故選：C.
6.【答案】A
【詳解】若恒成立，則，
，由，得；由，得，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
由，得，故選：A
7.【答案】B
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，R，則，所以函數(shù)為R上的減函數(shù)，則，即，所以，A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)椋?，即，所以，C錯(cuò)誤，因?yàn)?D錯(cuò)誤．故選B.
8．【答案】B
【詳解】因?yàn)槭堑闹写咕€，所以，，
若的周長(zhǎng)與的周長(zhǎng)之差為，
則，
即，①
又，所以，②
且，③
解①②③組成的方程組可得，
則雙曲線的方程為.故選：B.
9. 【答案】BD
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，
對(duì)于A，，解得，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
函數(shù)在區(qū)間上最小值為，B正確；
對(duì)于C，在R上單調(diào)遞增，則恒成立， ，解得，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，所以函數(shù)圖像的對(duì)稱中心是，D正確.故選：BD
10.【答案】ABC
【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列中，
，，
所以，，，A正確；
當(dāng)時(shí)，取得最大值，B正確；
，C正確；
，，
故成立的最大自然數(shù)，D錯(cuò)誤．故選：ABC
11．【答案】ABD
【詳解】A.∵，∴圓臺(tái)上底面圓半徑為，下底面圓半徑為，
∴圓臺(tái)的高，
∴圓臺(tái)的體積，A正確.
B.由，，得，由得，.
如圖，將圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，頂點(diǎn)記為，底面圓的圓心記為，連接，
∵為圓弧的中點(diǎn)，∴.
∵平面，平面，∴，
∵平面，
∴平面，
∵平面，∴平面平面，
此時(shí)母線所在直線與平面所成的角最大，最大為，，B正確.
C.由得，，∴，
當(dāng)兩條母線所在直線夾角為時(shí)，截面面積最大，最大值為，C錯(cuò)誤.
D.如圖，在梯形中，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交底面圓于點(diǎn)，則為截面與底面圓的交線.
由得，，，∴，，
取中點(diǎn)，則，
∴，D正確.故選：ABD.
12.【答案】
【詳解】由，得到，所以，
所以拋物線的焦點(diǎn)是.
13.【答案】 .
【詳解】由可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
即可得，所以.
故答案為：
14.【答案】
【詳解】∵，∴，
設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,
切線方程為：,
∵切線過(guò)原點(diǎn)，∴,
整理得：,
∵切線有兩條，∴,解得或,
∴的取值范圍是,
故答案為：
15.【答案】(1)；(2)
【詳解】（1）由正弦定理得.
因?yàn)?，所以，?
因?yàn)樵谥?，，所以?
（2）由，及余弦定理.
得，解得或（舍）
所以，.
16.【答案】(1)(2)
【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?，則.
當(dāng)時(shí)，，得，
當(dāng)
(2)由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
此時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
此時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)，.
綜上所述，.
17．【答案】(1)，; (2)
【詳解】（1）由題意得解得
所以的方程為．
的離心率為．
（2）由題意知直線的方程為，
聯(lián)立得得或所以
觀察可知是等腰三角形，且與軸平行，所以．
18.【答案】(1),; (2) ,;(2)
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為.
當(dāng)時(shí)，是方程的兩根，
由韋達(dá)定理得，①
當(dāng)時(shí)，是方程的兩根，
由韋達(dá)定理得，②
由①②，解得；
（2）由（1）知，所以，
則，對(duì)于方程，
由韋達(dá)定理得，即，
（3），
所以
.
19.【答案】（1）； （2）； （3）.
【詳解】(1)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，
因?yàn)楹瘮?shù)，是“躍點(diǎn)”函數(shù)，
則方程有解，即有解，
而，因此，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
(2)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，
依題意，方程，即上有兩個(gè)不等實(shí)根，
令，因此函數(shù)在上有兩個(gè)不同零點(diǎn)，
則，解得或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
(3)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，
因?yàn)楹瘮?shù)是“1躍點(diǎn)”函數(shù)，且在定義域內(nèi)恰存在一個(gè) “1躍點(diǎn)”，
則方程，顯然，所以上恰有一個(gè)實(shí)根，
令，求導(dǎo)得，
由，得；由，得且，，
于是函數(shù)在上單調(diào)遞減， 恒成立，函數(shù)的取值集合是；函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)的取值集合是；
函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)的取值集合是，函數(shù)的圖象，如圖，
當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有唯一公共點(diǎn)，即方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，從而，
所以b的取值范圍為.

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