1．（3分）第33屆夏季奧運(yùn)會將于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行，下列巴黎奧運(yùn)會的項(xiàng)目圖標(biāo)中，是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）工人師傅砌門時，常用一根木條固定長方形門框，使其不變形，這樣做的根據(jù)是（ ）
A．兩點(diǎn)之間的線段最短
B．三角形具有穩(wěn)定性
C．長方形是軸對稱圖形
D．長方形的四個角都是直角
3．（3分）點(diǎn)（3，﹣2）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)是（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（3，2）C．（﹣3，2）D．（3，﹣2）
4．（3分）如果一個三角形的兩邊長分別為3，7，則第三邊的長可以是（ ）
A．3B．4C．7D．10
5．（3分）若等腰三角形的頂角是70°，則它的一個底角的度數(shù)是（ ）
A．55°B．40°C．55°或40°D．20°或40°
6．（3分）如圖，CD、CE、CF分別是△ABC的高、角平分線、中線，則下列各式中錯誤的是（ ）
A．BA＝2BFB．∠ACE＝∠ACB
C．AE＝BED．CD⊥AB
7．（3分）如圖，∠1＝∠2，不能確定△ABC≌△CDA，這個條件是（ ）
A．AB＝CDB．AD＝CBC．∠ACB＝∠DAC D．∠B＝∠D
8．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（﹣3，0），（0，6），若△AOB≌△CDA，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（ ）
A．（﹣9，0）B．（﹣6，0）C．（0，﹣9）D．（﹣12，0）
9．（3分）如圖，在已知的△ABC中，按以下步驟作圖：
①分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)M，N；
②作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD．
若AC＝4，AB＝10，則△ACD的周長為（ ）
A．4B．6C．10D．14
10．（3分）將一副三角板按如圖所示的方式放置，圖中∠CAF的大小等于（ ）
A．50°B．60°C．75°D．85°
11．（3分）如圖，點(diǎn)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，連接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD＝100°，則∠A+∠B+∠D+∠E＝（ ）
A．220°B．240°C．260°D．280°
12．（3分）M是直線l上一點(diǎn)，N是直線l外一點(diǎn)，在直線l上求作一點(diǎn)P，使得|PM﹣PN|的值最大，則這點(diǎn)P（ ）
A．與M重合B．在M的左邊
C．在M的右邊D．是直線l上任一點(diǎn)
二、填空題（本大題共6題，每小題2分，共12分）
13．（2分）四邊形的內(nèi)角和是 ．
14．（2分）如圖，△ABC的一個外角∠ACD＝100°，∠B＝30°，則∠A＝ 度．
15．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2，﹣1）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
16．（2分）某輪船由西向東航行，在A處測得小島P的方位是北偏東75°，又繼續(xù)航行7海里后，在B處測得小島P的方位是北偏東60°，則此時輪船與小島P的距離BP＝ 海里．
17．（2分）定義：當(dāng)三角形中一個內(nèi)角α是另一個內(nèi)角的兩倍時，我們稱此三角形為“友好三角形”，其中α稱為“友好角”．如果一個“友好三角形”的一個內(nèi)角為36°，那么這個三角形的“友好角”α的度數(shù)為 ．
18．（2分）如圖鋼架中，焊上等長的13根鋼條來加固鋼架，若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，則∠A的度數(shù)是 ．
三、解答題（本大題共8題，共72分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明或演算過程.）
19．（6分）如圖，求圖形中x的值．
20．（6分）如圖，已知點(diǎn)C、F、E、B在同一條直線上，DF⊥BC，AE⊥BC，DF＝AE，AB∥CD，求證：△CDF≌△BAE．
21．（10分）如圖，在△ABC中，∠A＝∠C＝45°，AC＝2．
（1）尺規(guī)作圖：求作∠ABC的角平分線BD，交AC于點(diǎn)D（保留作圖痕跡）；
（2）求△ABC的面積．
22．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC的中點(diǎn)若AD＝3cm，求AB的長．
23．（10分）如圖是雨傘開閉過程中某時刻的截面圖，傘骨AB＝AC，支撐桿OE＝OF，AB＝2AE，AC＝2AF．當(dāng)O沿AD滑動時，雨傘開閉．雨傘開閉過程中，∠BAD與∠CAD有何關(guān)系？請說明理由．
24．（10分）如圖，△ABC為等邊三角形，DE∥AC，點(diǎn)O為線段BC上一點(diǎn)，DO的延長線與AC的延長線交于點(diǎn)F，DO＝FO．
（1）求證：△BDE是等邊三角形；
（2）若AC＝7，F(xiàn)C＝3，求OC的長．
25．（10分）【教材呈現(xiàn)】以下是人教版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第53頁的部分內(nèi)容．
如圖1，四邊形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．
【性質(zhì)探究】
（1）如圖1，連接箏形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O，試探究箏形ABCD的性質(zhì)，并填空：對角線AC、BD的關(guān)系是： ；圖中∠ADB、∠CDB的大小關(guān)系是： ；
【概念理解】
（2）如圖2，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，△EAB與△DAB關(guān)于AB所在的直線對稱，△FAC與△DAC關(guān)于AC所在的直線對稱，延長EB，F(xiàn)C相交于點(diǎn)G．請寫出圖中所有的“箏形”，并選擇其中一個進(jìn)行證明；
【應(yīng)用拓展】
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接EF，分別交AB、AC于點(diǎn)M、H．求證：∠BAC＝∠FEG．
26．（10分）如圖（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分別為A、B，AC＝5cm．點(diǎn)P在線段AB上以2cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在射線BD上運(yùn)動．它們運(yùn)動的時間為t（s）（當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動結(jié)束時，點(diǎn)Q運(yùn)動隨之結(jié)束）．
（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，當(dāng)t＝1時，△ACP與△BPQ是否全等，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系，請分別說明理由；
（2）如圖（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB＝∠DBA＝60°”，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為x cm/s，其他條件不變，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動到某處時，有△ACP與△BPQ全等，求出相應(yīng)的x、t的值．
2024-2025學(xué)年廣西南寧市武鳴區(qū)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共12題，每小題3分，共36分.在每個小題給出的四個選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合要求的，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.）
1．（3分）第33屆夏季奧運(yùn)會將于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行，下列巴黎奧運(yùn)會的項(xiàng)目圖標(biāo)中，是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】依據(jù)軸對稱圖形的定義逐項(xiàng)分析，即可作答．
【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故該選項(xiàng)是錯誤的；
B、不是軸對稱圖形，故該選項(xiàng)是錯誤的；
C、是軸對稱圖形，故該選項(xiàng)是正確的；
D、不是軸對稱圖形，故該選項(xiàng)是錯誤的；
故選：C．
2．（3分）工人師傅砌門時，常用一根木條固定長方形門框，使其不變形，這樣做的根據(jù)是（ ）
A．兩點(diǎn)之間的線段最短
B．三角形具有穩(wěn)定性
C．長方形是軸對稱圖形
D．長方形的四個角都是直角
【答案】B
【分析】在窗框上斜釘一根木條，構(gòu)成三角形，故可用三角形的穩(wěn)定性解釋．
【解答】解：蓋房子時，在窗框未安裝好之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條，這樣就構(gòu)成了三角形，故這樣做的數(shù)學(xué)道理是三角形的穩(wěn)定性．
故選：B．
3．（3分）點(diǎn)（3，﹣2）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)是（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（3，2）C．（﹣3，2）D．（3，﹣2）
【答案】A
【分析】根據(jù)“關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答．
【解答】解：點(diǎn)（3，﹣2）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)是（﹣3，﹣2）．
故選：A．
4．（3分）如果一個三角形的兩邊長分別為3，7，則第三邊的長可以是（ ）
A．3B．4C．7D．10
【答案】C
【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系，兩邊之和第三邊，兩邊之差小于第三邊即可判斷．
【解答】解：設(shè)第三邊為x，則4＜x＜10，
所以符合條件的整數(shù)為7，
故選：C．
5．（3分）若等腰三角形的頂角是70°，則它的一個底角的度數(shù)是（ ）
A．55°B．40°C．55°或40°D．20°或40°
【答案】A
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和計(jì)算即可．
【解答】解：70°是底角，則底角為：（180°﹣70°）÷2＝55°；
故選：A．
6．（3分）如圖，CD、CE、CF分別是△ABC的高、角平分線、中線，則下列各式中錯誤的是（ ）
A．BA＝2BFB．∠ACE＝∠ACB
C．AE＝BED．CD⊥AB
【答案】C
【分析】從三角形的一個頂點(diǎn)向它的對邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高．
三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點(diǎn)，則這個內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線．
三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．依此即可求解．
【解答】解：∵CD，CE，CF分別是△ABC的高、角平分線、中線，
∴CD⊥AB，∠ACE＝∠ACB，AB＝2BF，無法確定AE＝BE．
故選：C．
7．（3分）如圖，∠1＝∠2，不能確定△ABC≌△CDA，這個條件是（ ）
A．AB＝CDB．AD＝CBC．∠ACB＝∠DACD．∠B＝∠D
【答案】B
【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法，逐一判斷即可解答．
【解答】解：A、∵AC＝CA，∠1＝∠2，AB＝CD，
∴△ABC≌△CDA（SAS），
故A不符合題意；
B、∵AC＝CA，∠1＝∠2，AD＝BC，
∴△ABC和△CDA不一定全等，
故B符合題意；
C、∵AC＝CA，∠1＝∠2，∠ACB＝∠DAC，
∴△ABC≌△CDA（ASA），
故C不符合題意；
D、∵AC＝CA，∠1＝∠2，∠B＝∠D，
∴△ABC≌△CDA（AAS），
故D不符合題意；
故選：B．
8．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（﹣3，0），（0，6），若△AOB≌△CDA，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（ ）
A．（﹣9，0）B．（﹣6，0）C．（0，﹣9）D．（﹣12，0）
【答案】A
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AD＝OB＝6，求出OD的長，即可確定點(diǎn)D坐標(biāo)．
【解答】解：∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（﹣3，0），（0，6），
∴OA＝3，OB＝6，
∵△AOB≌△CDA，
∴AD＝OB＝6，
∴OD＝6+3＝9，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣9，0），
故選：A．
9．（3分）如圖，在已知的△ABC中，按以下步驟作圖：
①分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)M，N；
②作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD．
若AC＝4，AB＝10，則△ACD的周長為（ ）
A．4B．6C．10D．14
【答案】D
【分析】根據(jù)作圖可得MN是BC的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得CD＝DB，然后可得AD+CD＝10，進(jìn)而可得△ACD的周長．
【解答】解：根據(jù)作圖可得MN是BC的垂直平分線，
∵M(jìn)N是BC的垂直平分線，
∴CD＝DB，
∵AB＝10，
∴CD+AD＝10，
∴△ACD的周長＝CD+AD+AC＝4+10＝14，
故選：D．
10．（3分）將一副三角板按如圖所示的方式放置，圖中∠CAF的大小等于（ ）
A．50°B．60°C．75°D．85°
【答案】C
【分析】利用三角形內(nèi)角和定理和三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算即可．
【解答】解：∵∠DAC＝∠DFE+∠C＝60°+45°＝105°，
∴∠CAF＝180°﹣∠DAC＝75°，
故選：C．
11．（3分）如圖，點(diǎn)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，連接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD＝100°，則∠A+∠B+∠D+∠E＝（ ）
A．220°B．240°C．260°D．280°
【答案】D
【分析】連接BD，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四邊形內(nèi)角和減去∠CBD和∠CDB的和，即可得到結(jié)果．
【解答】解：連接BD，
∵∠BCD＝100°，
∴∠CBD+∠CDB＝180°﹣100°＝80°，
∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE＝360°﹣∠CBD﹣∠CDB＝360°﹣80°＝280°，
故選：D．
12．（3分）M是直線l上一點(diǎn)，N是直線l外一點(diǎn)，在直線l上求作一點(diǎn)P，使得|PM﹣PN|的值最大，則這點(diǎn)P（ ）
A．與M重合B．在M的左邊
C．在M的右邊D．是直線l上任一點(diǎn)
【答案】A
【分析】點(diǎn)P、點(diǎn)M、點(diǎn)N，可構(gòu)成△PMN，根據(jù)三角形三邊關(guān)系分析即可．
【解答】解：點(diǎn)P、點(diǎn)M、點(diǎn)N可構(gòu)成△PMN，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得，
|PM﹣PN|＜MN，要使得|PM﹣PN|的值最大，則點(diǎn)P、點(diǎn)M、點(diǎn)N共線時，出現(xiàn)最大值，
此時點(diǎn)P與點(diǎn)M重合．
故選：A．
二、填空題（本大題共6題，每小題2分，共12分）
13．（2分）四邊形的內(nèi)角和是 360° ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2）?180°，代入公式就可以求出內(nèi)角和．
【解答】解：（4﹣2）×180°＝360°．
故四邊形的內(nèi)角和為360°．
故答案為：360°．
14．（2分）如圖，△ABC的一個外角∠ACD＝100°，∠B＝30°，則∠A＝ 70 度．
【答案】70．
【分析】利用三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系：三角形的任一外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和可求得．
【解答】解：∵∠ACD＝100°，∠B＝30°，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝100°﹣30°＝70°．
故答案為：70．
15．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2，﹣1）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為 （2，1） ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】直接利用關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)得出答案．
【解答】解：點(diǎn)（2，﹣1）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1）．
故答案為：（2，1）．
16．（2分）某輪船由西向東航行，在A處測得小島P的方位是北偏東75°，又繼續(xù)航行7海里后，在B處測得小島P的方位是北偏東60°，則此時輪船與小島P的距離BP＝ 7 海里．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】過P作AB的垂線PD，在直角△BPD中可以求的∠PBD的度數(shù)是30度，即可證明△APB是等腰三角形，即可求解．
【解答】解：過P作PD⊥AB于點(diǎn)D．
∵∠PBD＝90°﹣60°＝30°
且∠PBD＝∠PAB+∠APB，∠PAB＝90﹣75＝15°
∴∠PAB＝∠APB
∴BP＝AB＝7（海里）
故答案為：7．
17．（2分）定義：當(dāng)三角形中一個內(nèi)角α是另一個內(nèi)角的兩倍時，我們稱此三角形為“友好三角形”，其中α稱為“友好角”．如果一個“友好三角形”的一個內(nèi)角為36°，那么這個三角形的“友好角”α的度數(shù)為 36°或72°或96° ．
【答案】36°或72°或96°．
【分析】利用“友好三角形”的定義討論：當(dāng)三角形的另一個內(nèi)角為72°時，可確定“友好角”的度數(shù)為72°；當(dāng)三角形的另一個內(nèi)角為18°時，可確定“友好角”的度數(shù)為36°；當(dāng)三角形的另兩個內(nèi)角為x，2x時，可確定“友好角”的度數(shù)為96°．
【解答】解：∵一個“友好三角形”中有一個內(nèi)角為36°，
∴當(dāng)三角形的另一個內(nèi)角為72°時，這個“友好三角形”的“友好角”的度數(shù)為72°；
當(dāng)三角形的另一個內(nèi)角為18°時，這個“友好三角形”的“友好角”的度數(shù)為36°；
當(dāng)三角形的另兩個內(nèi)角為x，2x時，則x+2x+36°＝180°，
解得：x＝48°，2x＝96；
綜上所述：這個“友好三角形”的“友好角”的度數(shù)為36°或72°或96°．
故答案為：36°或72°或96°．
18．（2分）如圖鋼架中，焊上等長的13根鋼條來加固鋼架，若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，則∠A的度數(shù)是 12° ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】設(shè)∠A＝x，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠AP7P8，∠AP8P7，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【解答】解：設(shè)∠A＝x，
∵AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，
∴∠A＝∠AP2P1＝∠AP13P14＝x，
∴∠P2P1P3＝∠P13P14P12＝2x，
∴∠P3P2P4＝∠P12P13P11＝3x，
…，
∠P7P6P8＝∠P8P9P7＝7x，
∴∠AP7P8＝7x，∠AP8P7＝7x，
在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7＝180°，
即x+7x+7x＝180°，
解得x＝12°，
即∠A＝12°．
故答案為：12°．
三、解答題（本大題共8題，共72分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明或演算過程.）
19．（6分）如圖，求圖形中x的值．
【答案】圖形中x的值為65．
【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：140+90+2x＝360，
解得：x＝65．
答：圖形中x的值為65．
20．（6分）如圖，已知點(diǎn)C、F、E、B在同一條直線上，DF⊥BC，AE⊥BC，DF＝AE，AB∥CD，求證：△CDF≌△BAE．
【答案】證明過程見解答．
【分析】根據(jù)垂直定義可得：∠DFC＝∠AEB＝90°，再利用平行線的性質(zhì)可得∠C＝∠B，然后利用AAS證明△CDF≌△BAE，即可解答．
【解答】證明：∵DF⊥BC，AE⊥BC，
∴∠DFC＝∠AEB＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠B，
∵DF＝AE，
∴△CDF≌△BAE（AAS）．
21．（10分）如圖，在△ABC中，∠A＝∠C＝45°，AC＝2．
（1）尺規(guī)作圖：求作∠ABC的角平分線BD，交AC于點(diǎn)D（保留作圖痕跡）；
（2）求△ABC的面積．
【答案】（1）見解答．
（2）1．
【分析】（1）根據(jù)角平分線的作圖方法作圖即可．
（2）由題意得，∠ABC＝90°，AB＝BC．設(shè)AB＝BC＝x，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2+BC2＝AC2，代入求出x的值，再利用三角形的面積公式計(jì)算即可．
【解答】解：（1）如圖，射線BD即為所求．
（2）∵∠A＝∠C＝45°，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC．
設(shè)AB＝BC＝x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2+BC2＝AC2，
即x2+x2＝22，
解得x＝或（舍去），
∴AB＝BC＝．
∴△ABC的面積為＝＝1．
22．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC的中點(diǎn)若AD＝3cm，求AB的長．
【答案】AB的長為6cm．
【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得∠B＝∠C＝30°，再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得∠ADB＝90°，然后在Rt△ADB中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°，
∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，
∴∠ADB＝90°，
∵AD＝3cm，
∴AB＝2AD＝6（cm），
∴AB的長為6cm．
23．（10分）如圖是雨傘開閉過程中某時刻的截面圖，傘骨AB＝AC，支撐桿OE＝OF，AB＝2AE，AC＝2AF．當(dāng)O沿AD滑動時，雨傘開閉．雨傘開閉過程中，∠BAD與∠CAD有何關(guān)系？請說明理由．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)題意結(jié)合三角形全等的證明方法得出△AEO≌△AFO即可得出答案．
【解答】解：∠BAD＝∠CAD，理由：
∵AB＝AC，AB＝2AE，AC＝2AF，
∴AE＝AF，
在△AEO和△AFO中，
．
∴△AEO≌△AFO（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD．
24．（10分）如圖，△ABC為等邊三角形，DE∥AC，點(diǎn)O為線段BC上一點(diǎn)，DO的延長線與AC的延長線交于點(diǎn)F，DO＝FO．
（1）求證：△BDE是等邊三角形；
（2）若AC＝7，F(xiàn)C＝3，求OC的長．
【答案】（1）見解答；（2）2．
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定解答即可；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可．
【解答】證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB，
∵DE∥AC，
∴∠A＝∠BDE，∠ACB＝∠DEB，
∴∠B＝∠BDE＝∠DEB，
∴△BDE是等邊三角形；
（2）∵DE∥AC，
∴∠EDO＝∠CFO，
在△DOE和△FOC中，
，
∴△DOE≌△FOC（ASA）；
∵△ABC為等邊三角形，
∴BC＝AC＝7，
得：BE＝DE＝CF＝3，EO＝CO，
∴EC＝BC﹣BE＝4，
∴OC＝EC＝2．
25．（10分）【教材呈現(xiàn)】以下是人教版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第53頁的部分內(nèi)容．
如圖1，四邊形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．
【性質(zhì)探究】
（1）如圖1，連接箏形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O，試探究箏形ABCD的性質(zhì)，并填空：對角線AC、BD的關(guān)系是： BD垂直平分AC ；圖中∠ADB、∠CDB的大小關(guān)系是： ∠ADB＝∠CDB ；
【概念理解】
（2）如圖2，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，△EAB與△DAB關(guān)于AB所在的直線對稱，△FAC與△DAC關(guān)于AC所在的直線對稱，延長EB，F(xiàn)C相交于點(diǎn)G．請寫出圖中所有的“箏形”，并選擇其中一個進(jìn)行證明；
【應(yīng)用拓展】
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接EF，分別交AB、AC于點(diǎn)M、H．求證：∠BAC＝∠FEG．
【答案】（1）BD垂直平分AC，∠ADB＝∠CDB；
（2）四邊形AEBD、四邊形ADCF、四邊形AEGF；證明見解析；
（3）證明見解析．
【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的判定和性質(zhì)得到AC⊥BD，再根據(jù)三線合一得到∠ADB＝∠CDB；
（2）根據(jù)“箏形”的定義判斷，利用軸對稱的性質(zhì)證明即可；
（3）利用軸對稱的性質(zhì)得到相等的線段和角，證明∠BAC+∠AEF＝90°，利用∠FEG+∠AEF＝90°等量代換得到∠BAC＝∠FEG．
【解答】（1）解：∵DA＝DC，BA＝BC，
∴BD垂直平分AC，
∵AC⊥BD，AD＝CD，
∴∠ADB＝∠CDB，
故答案為：BD垂直平分AC；∠ADB＝∠CDB；
（2）解：圖中的“箏形”有：四邊形AEBD、四邊形ADCF、四邊形AEGF；
證明四邊形AEBD是箏形：
由軸對稱的性質(zhì)可知AE＝AD，BE＝BD；
∴四邊形AEBD是箏形．
同理：AF＝AD，CD＝CF；
∴四邊形ADCF是箏形．
連接EF，如圖2，
∵AE＝AD，AF＝AD，
∴AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∵AD⊥BC，
∴∠AEG＝∠AFG＝∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠GEF＝∠GFE，
∴EG＝FG，
∴四邊形AEGF是箏形；
（3）證明：由軸對稱的性質(zhì)可知：
∠CAD＝∠CAF，∠BAD＝∠BAE，∠ADB＝∠AEB＝90°，AD＝AF＝AE，
∴∠EAF＝∠EAD+∠DAF＝2（∠BAD+∠DAC）＝2∠BAC，∠AEF＝∠AFE，
∴∠EAF+2∠AEF＝180°，
∴2∠BAC+2∠AEF＝180°，
∴∠BAC+∠AEF＝90°，
∵∠FEG+∠AEF＝90°，
∴∠BAC＝∠FEG．
26．（10分）如圖（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分別為A、B，AC＝5cm．點(diǎn)P在線段AB上以2cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在射線BD上運(yùn)動．它們運(yùn)動的時間為t（s）（當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動結(jié)束時，點(diǎn)Q運(yùn)動隨之結(jié)束）．
（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，當(dāng)t＝1時，△ACP與△BPQ是否全等，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系，請分別說明理由；
（2）如圖（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB＝∠DBA＝60°”，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為x cm/s，其他條件不變，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動到某處時，有△ACP與△BPQ全等，求出相應(yīng)的x、t的值．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）利用SAS證得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，進(jìn)一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出結(jié)論即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分兩種情況：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程組求得答案即可．
【解答】解：（1）△ACP≌△BPQ；PC⊥PQ，理由如下：
∵AC⊥AB，BD⊥AB
∴∠A＝∠B＝90°
∵AP＝BQ＝2，
∴BP＝5，
∴BP＝AC，
在△ACP和△BPQ中，，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）；
∴∠C＝∠BPQ，
∵∠C+∠APC＝90°，
∴∠APC+∠BPQ＝90°，
∴∠CPQ＝90°，
∴PC⊥PQ；
（2）存在x的值，使得△ACP與△BPQ全等，
①若△ACP≌△BPQ，
則AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt
解得：x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BQP，
則AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t
解得：x＝，t＝．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/11/23 0:39:13；用戶：18328501451；郵箱：18328501451；學(xué)號：43314264

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