2.圓錐曲線中的距離最值常見結論
3.將軍飲馬型最值
4.函數圖象上的鉛錘距離最值
5.函數圖象上的水平距離最值
6.函數圖象上的點到直線的距離最值
7.兩點間距離最值與代數轉化
8.函數圖象與函數圖象的距離最值
結論1. 圓外一點到圓上距離最近為，最遠為；
例1．拋物線的焦點到圓上點的距離的最大值為（ ）
A．6B．2C．5D．8
答案：A.
結論2. 過圓內一點的弦最長為圓的直徑，最短的弦為與過該點的直徑垂直的弦；
例2．在圓中，過點的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為（ ）
A．B．C．D．
答案：B
結論3. 直線與圓相離，則圓上點到直線的最短距離為圓心到直線的距離,最近為；
例3．已知P是半圓C：上的點，Q是直線上的一點，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
答案：D
2.圓錐曲線中的距離最值常見結論
1.定點與圓錐曲線上動點的距離的最值問題.
寫出定點與曲線上動點的距離表示，利用點在曲線上可消去x或y，然后轉化為關于y或x的二次函數，利用曲線上點的有界性確定最值，或設曲線的參數方程，利用三角函數的有界性去限定.
2.橢圓上的點到兩焦點距離最大、最小值的點為長軸兩端點：，
3.圓錐曲線的點到直線距離的最值
例4.設分別為圓和橢圓上的點，則兩點間的最大距離是( )
A. B. C. D.
解析：轉化為圓心到橢圓上點的距離的最大值加（半徑）,,轉化為二次函數，，當時，取到最大值，選D.
例5．已知動點M，N分別在拋物線：和圓：上，則的最小值為（ ）
A．B．C．5D．6
解析：設，則，即，由題意可得：，
∵，
令，則在R上單調遞增，且，
當時，，當時，，∴在上單調遞增，在上單調遞減，則，即，，則.
故選：A.
例6．點為橢圓上一點，則到直線的距離的最小值為（ ）
A．B．C．D．
解析：根據題意可知，當點在第一象限且橢圓在點處的切線與直線平行時，點到直線的距離取得最小值，可設切線方程為，
聯(lián)立，消去整理可得，
，因為，解得，所以，橢圓在點處的切線方程為，因此，點到直線的距離的最小值為.故選：C.
3.將軍飲馬型最值
1.直線型將軍飲馬模型：如圖，動點為直線上一點，為直線一側的兩個定點，那么的最小值即為做點關于的對稱點，然后連接后其長度.
2.其他形式的將軍飲馬模型：若動點為曲線上一點，為曲線所在平面內的兩個定點，那么如何求的最值.
3.三角不等式：任意兩邊之和大于等于第三邊，任意兩邊之差小于等于第三邊，取等條件當且僅當三點共線.
如圖動點為直線上一點，為直線一側的兩個定點，那么的最大值當且僅當三點共線.
倘若在兩側，則需先利用對稱將其搬到一側再尋找最大值！此時，的最小
值為0，即為中垂線與的交點.
例1.已知橢圓內有一點，、分別為其左右焦點，是橢圓上一點，求：
(1).的最大值與最小值；
(2).的最大值與最小值.
解析：（1）如圖：，等號成立當在一側，且三點共線以及當在一側，且三點共線.故的最大值與最小值為：.
由橢圓定義可知：，由（1）可知：的最大值與最小值為：，故的最大值與最小值為：與
.
小結：已知橢圓上任意一點，橢圓內一定點，如何求：的
距離最值？
距離差直接用結論，距離和轉化為距離差再利用上述結論4求解.
例2．已知雙曲線的左、有焦點分別為，，實軸長為4，離心率，點Q為雙曲線右支上的一點，點．當取最小值時，的值為（ ）
A．B．C．D．
解析：由題意可得 ，又，故 ，所以 ，則雙曲線方程為 ，結合雙曲線定義可得，
如圖示，連接,交雙曲線右支于點M，即當三點共線，即Q在M位置時，取最小值，此時直線方程為 ，聯(lián)立，解得點Q的坐標為,( Q為雙曲線右支上的一點)，
故，故選：B
4.函數圖象上的鉛錘距離最值
例1.已知函數，，函數的圖象在點和點處的兩條切線互相垂直，且分別交軸于，兩點，則的取值范圍是_______.
解：由題意，，則∴，，，，由，得，
∴：，則，
：，則，
∴，，令（），
，∴在上遞增，又，，∴的取值范圍是.故答案為：
5.函數圖象上的水平距離最值
例1．已知，，若，則的最小值是（ ）
A．2B．C．D．
解析：令，即，所以，，，令，則，
所以，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，
因為，所以，
所以，的最小值是.故選：D
例2．已知函數，，若成立，則n－m的最小值為（ ）
A．B．
C．D．
解析：令，則，，∴，，即，，，
∴，有，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；∴，即的最小值為.故選：A.
6.函數圖象上的點到直線的距離最值
1.函數圖象上一個動點到一條定直線（與函數圖象相離）距離的最小值.若兩個動點分別在函數圖象上，那么到直線距離的最?。寒斣邳c處的切線與直線平行時，到直線的距離.
2.兩個動點分別在一個函數圖象和一條直線上.若兩個動點分別在函數和直線上，那么當在點處的切線與直線平行時，到直線的距離.
例1．已知P是曲線上的動點，點在直線上運動，則當取最小值時，點P的橫坐標為（ ）
A．B．C．D．
解析：設，點在直線上，當取最小值時，垂直于直線. 此時
記，最小時，最小.
，當時，最小時，最小. 故選：C
例2．已知函數在處的切線方程為.
（1）求的解析式；
（2）求函數圖象上的點到直線的距離的最小值.
解析：（1）∵函數，∴的定義域為，，
∴在處切線的斜率為，由切線方程可知切點為，而切點也在函數圖象上，解得，∴的解析式為；
（2）由于直線與直線平行，直線與函數在處相切，所以切點到直線的距離最小，最小值為，
故函數圖象上的點到直線的距離的最小值為.
例3.設點在曲線上，在直線上，則的最小值________.
解析：函數的定義域為，求導得，
當曲線在點處的切線與直線平行時，最小，最小值為切線與直線之間的距離，即切點到直線的距離.設，由導數的幾何意義，可得，解得（舍去），故切點為，點到直線的距離
所以的最小值為故答案為：
7.兩點間距離最值與代數轉化
例1．已知，則y的最小值為（ ）
A．B．C．D．
解析：y的最小值即為上的點與上的點的距離的平方的最小值.
，令，解得：，又，故圖象上與平行的切線在圖像上的切點為.
于是圖像上的點與上的點的最短距離為點到的距離，即最短距離，則，y的最小值為.故選：B.
例2．已知，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
解析：由，則點在函數上，
，則點在函數上，則表示、兩點的距離的平方，要求的最小值，即求的最小值，
當過的點切線與直線平行時，點到直線的距離即為的最小值，由可得，所以，解得，
所以，即，
所以到的距離，即，
所以的最小值為；故選：C
例3．已知且，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．8
解析：代數式
可以看成點到點距離的平方，點在平面直角坐標系中，表示單位圓上的點，點表示曲線上的點，如下圖所示：
，由，
所以曲線在點處的切線方程為：，
此時直線與直線垂直于點，交圓于點，由數形結合思想可以確定：
當點運動到點時，當點運用到點時，有最小值，即，故選：B
例3．實數，，滿足：，，則的最小值為（ ）
A．0B．C．D．8
解析：由，則，又，的最小值轉化為：上的點與上的點的距離的平方的最小值，
由，得：，與平行的直線的斜率為1，∴，解得或（舍，可得切點為，切點到直線之間的距離的平方，即為的最小值，的最小值為：.故選：D.
8.函數圖象與函數圖象的距離最值
若兩個動點分別在函數和函數上，那么當直線與直線平行
時，且與相切，則切點到的距離.
例1.（2012全國卷）設點在曲線上，點在曲線上，則最小值為（ ）
A. B. C. D.
解析：函數與函數互為反函數，圖象關于對稱，函數上的點到直線的距離為.
設函數，由圖象關于對稱得：最小值為.
例2．設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為
A．B．C．D．
解析：與互為反函數，先求出曲線上的點到直線的最小距離．設與直線平行且與曲線相切的切點，．，
，解得．得到切點，到直線的距離，的最小值為，故選：．

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