微專題3　三角中的最值、范圍問題高考定位　以三角函數(shù)、三角形為背景的最值及范圍問題是高考的熱點(diǎn)，常用的方法主要有：函數(shù)的性質(zhì)(如有界性、單調(diào)性)、基本不等式、數(shù)形結(jié)合等.1.(2018·全國(guó)Ⅱ卷)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上是減函數(shù)，則a的最大值是(　　)A.  B.  C.  D.π答案　A解析　法一　f(x)＝cos x－sin x＝cos，且函數(shù)y＝cos x在區(qū)間[0，π]上單調(diào)遞減，則由0≤x＋≤π，得－≤x≤.因?yàn)?/span>f(x)在[－a，a]上是減函數(shù)，所以解得a≤，所以0<a≤，所以a的最大值是，故選A.法二　因?yàn)?/span>f(x)＝cos x－sin x，所以f′(x)＝－sin x－cos x，則由題意，知f′(x)＝－sin x－cos x≤0在[－a，a]上恒成立，即sin x＋cos x≥0，即sin≥0在[－a，a]上恒成立，結(jié)合函數(shù)y＝sin的圖象可知有解得a≤，所以0<a≤，所以a的最大值是，故選A.2.(2022·全國(guó)甲卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin在區(qū)間(0，π)上恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是(　　)A.  B.C.  D.答案　C解析　由題意可得ω>0，故由x∈(0，π)，得ωx＋∈.根據(jù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，π)上恰有三個(gè)極值點(diǎn)，知<πω＋≤，得<ω≤.根據(jù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，π)上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，知2π<πω＋≤3π，得<ω≤.綜上，ω的取值范圍為.3.(2018·北京卷)若△ABC的面積為(a2＋c2－b2)，且∠C為鈍角，則∠B＝________；的取值范圍是________.答案　60°　(2，＋∞)解析　△ABC的面積S＝acsin B＝(a2＋c2－b2)＝×2accos B，所以tan B＝，因?yàn)?/span>0°<∠B<90°，所以∠B＝60°.因?yàn)?/span>∠C為鈍角，所以0°<∠A<30°，所以0<tan A<，所以＝＝＝＝＋>2，故的取值范圍為(2，＋∞).4.(2022·新高考Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知＝.(1)若C＝，求B；(2)求的最小值.解　(1)因?yàn)?/span>＝，所以＝，所以＝，所以cos Acos B＝sin B＋sin Asin B，所以cos(A＋B)＝sin B，所以sin B＝－cos C＝－cos ＝.因?yàn)?/span>B∈，所以B＝.(2)由(1)得cos(A＋B)＝sin B，所以sin＝sin B，且0<A＋B<，所以0<B<，0<－(A＋B)<，所以－(A＋B)＝B，解得A＝－2B，由正弦定理得＝＝＝＝＝＝＝4cos2B＋－5≥2－5＝4－5，當(dāng)且僅當(dāng)cos2B＝時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為4－5.熱點(diǎn)一　三角函數(shù)式的最值或范圍求三角函數(shù)式的最值或范圍問題，首先把函數(shù)式化為一個(gè)角的同名三角函數(shù)形式，接著利用三角函數(shù)的有界性或單調(diào)性求解.例1 (2022·寧波調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋.(1)求f的值；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.解　(1)因?yàn)?/span>f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋＝sin 2x－cos 2x＝2sin，所以f＝2sin＝2sin ＝1.(2)因?yàn)?/span>x∈，所以2x－∈，所以sin∈，所以，當(dāng)2x－＝，即x＝時(shí)，f(x)取到最大值2；當(dāng)2x－＝－，即x＝0時(shí)，f(x)取到最小值－.易錯(cuò)提醒　求三角函數(shù)式的最值范圍問題要注意：(1)把三角函數(shù)式正確地化簡(jiǎn)成單一函數(shù)形式；(2)根據(jù)所給自變量的范圍正確地確定ωx＋φ的范圍，從而根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求范圍.訓(xùn)練1 (2022·濰坊質(zhì)檢)在①函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，②函數(shù)y＝f(x) 的圖象關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，③函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)Q，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中并解答.問題：已知函數(shù)f(x)＝sin ωxcos φ＋cos ωxsin φ的最小正周期為π，且________，判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間上是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時(shí)的x值；若不存在，說明理由.解　f(x)＝sin ωxcos φ＋cos ωxsin φ＝sin(ωx＋φ)，由已知函數(shù)f(x)的周期T＝＝π，得ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ).若選①，則有2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝kπ－(k∈Z).又因?yàn)?/span>|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝sin.當(dāng)x∈時(shí)，則2x－∈，所以當(dāng)2x－＝，即x＝時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，最大值為1.若選②，則有2×＋φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ－(k∈Z).又因?yàn)?/span>|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝sin.當(dāng)x∈時(shí)，則2x－∈，所以當(dāng)2x－＝，即x＝時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，最大值為1.若選③，則有2×＋φ＝2kπ－(k∈Z)，解得φ＝2kπ－(k∈Z).又因?yàn)?/span>|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin.當(dāng)x∈時(shí)，則2x＋∈，顯然，函數(shù)f(x)在該區(qū)間上沒有最大值.熱點(diǎn)二　與三角函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)范圍與三角函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)問題，主要分為三類，其共同的解法是將y＝Asin(ωx＋φ)中的ωx＋φ看作一個(gè)整體，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行求解.考向1　由最值(或值域)求參數(shù)的范圍例2 若函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)在上的值域是，則ω的取值范圍是(　　)A.  B.C.  D.答案　B解析　因?yàn)?/span>ω>0，所以當(dāng)x∈時(shí)，ωx－∈.又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝sin(ω>0)在x∈上的值域是，所以≤－≤，解得≤ω≤3.故選B.考向2　由單調(diào)性求參數(shù)的范圍例3 已知f(x)＝sin(2x－φ)在上是增函數(shù)，且f(x)在上有最小值，那么φ的取值范圍是(　　)A.  B.C.  D.答案　B解析　由x∈，得2x－φ∈，又由0<φ<，且f(x)在上是增函數(shù)，可得－φ≤，所以≤φ<.當(dāng)x∈時(shí)，2x－φ∈，由f(x)在上有最小值，可得－φ>，則φ<.綜上，≤φ<.故選B.考向3　由函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的范圍例4 已知a＝，b＝，其中ω>0，若函數(shù)f(x)＝a·b－在區(qū)間(π，2π)上沒有零點(diǎn)，則ω的取值范圍是(　　)A.  B.C.∪  D.∪答案　D解析　f(x)＝sin2x＋sin ωx－＝＋sin ωx－＝(sin ωx－cos ωx)＝sin.由函數(shù)f(x)在區(qū)間(π，2π)上沒有零點(diǎn)，知其最小正周期T≥2π，即≥2π，所以ω≤1.當(dāng)x∈(π，2π)時(shí)，ωx－∈，所以(k∈Z)，解得k＋≤ω≤＋(k∈Z).因?yàn)?/span>0<ω≤1，當(dāng)k＝0時(shí)，≤ω≤，當(dāng)k＝－1時(shí)，0<ω≤，所以ω∈∪.故選D.規(guī)律方法　由三角函數(shù)的性質(zhì)求解參數(shù)，首先將解析式化簡(jiǎn)，利用對(duì)稱性、奇偶性或單調(diào)性得到含有參數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而求出參數(shù)的值或范圍.訓(xùn)練2 (1)(2022·廣州調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝cos ωx－sin ωx(ω>0)在[0，π]內(nèi)的值域?yàn)?/span>，則ω的取值范圍為(　　)A.  B.C.  D.(0，1](2)(2022·金華質(zhì)檢)將函數(shù)f(x)＝sin4x＋cos4x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到g(x)的圖象，若函數(shù)y＝g(ωx)在上單調(diào)遞減，則正數(shù)ω的最大值為(　　)A.  B.1  C.  D.答案　(1)A　(2)A解析　(1)f(x)＝cos ωx－sin ωx＝cos(ω>0)，當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，≤ωx＋≤ωπ＋.又f(x)∈，所以π≤ωπ＋≤，解得≤ω≤，故ω的取值范圍為.(2)依題意，f(x)＝＋＝＝，其圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到g(x)＝＋cos＝＋cos＝－sin 4x的圖象，故g(ωx)＝－sin(4ωx).令－＋2kπ≤4ωx≤＋2kπ，k∈Z，由于ω>0，得≤x≤，k∈Z.由于函數(shù)g(ωx)在上單調(diào)遞減，故解得所以當(dāng)k＝0時(shí)，ω＝為正數(shù)ω的最大值.熱點(diǎn)三　三角形中有關(guān)量的最值或范圍三角形中的最值、范圍問題的解題策略(1)定基本量：根據(jù)題意畫出圖形，找出三角形中的邊、角，利用正弦、余弦定理求出相關(guān)的邊、角，并選擇邊、角作為基本量，確定基本量的范圍.(2)構(gòu)建函數(shù)：根據(jù)正弦、余弦定理或三角恒等變換，將所求范圍的變量表示成函數(shù)形式.(3)求最值：利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性等求函數(shù)的最值.例5 (2022·濱州二模)在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知6cos2＋cos A＝5.(1)求A的大??；(2)若a＝2，求b2＋c2的取值范圍.解　(1)由已知得6sin2A＋cos A＝5，整理得6cos2A－cos A－1＝0，解得cos A＝或cos A＝－.又A∈，所以cos A＝，即A＝.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A及a＝2，A＝得4＝b2＋c2－bc，即b2＋c2＝4＋bc，由正弦定理得＝＝＝＝，即b＝sin B，c＝sin C，又C＝－B，所以bc＝sin Bsin C＝sin Bsin＝sin B·cos B＋sin2B＝sin 2B－cos 2B＋＝sin＋，又由解得<B<，所以<2B－<π，所以sin∈，所以bc∈，所以b2＋c2＝4＋bc∈.易錯(cuò)提醒　求解三角形中的最值、范圍問題的注意點(diǎn)(1)涉及求范圍的問題，一定要搞清楚變量的范圍，若已知邊的范圍，求角的范圍可以利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.(2)注意題目中的隱含條件，如A＋B＋C＝π，0<A<π，|b－c|<a<b＋c，三角形中大邊對(duì)大角等.訓(xùn)練3 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知S＝(b2＋c2－a2)，a＝4.(1)求角A的大小.(2)求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍.解　(1)由S＝(b2＋c2－a2)，得bcsin A＝(b2＋c2－a2)＝×2bccos A，整理得tan A＝，因?yàn)?/span>A∈(0，π), 所以A＝.(2)設(shè)△ABC的周長(zhǎng)為L，因?yàn)?/span>a＝4，A＝，由余弦定理得：42＝b2＋c2－2bccos，即42＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－3＝(b＋c)2，所以b＋c≤8，又b＋c>a＝4，所以L＝a＋b＋c∈(8，12].一、基本技能練1.已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，且f＝0，則ω的最小值為(　　)A.2  B.4  C.6  D.8答案　A解析　函數(shù)f(x)的周期T≤4＝π，則≤π，解得ω≥2，故ω的最小值為2.2.將函數(shù)y＝cos(2x＋φ)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則|φ|的最小值為(　　)A.  B.  C.  D.答案　B解析　將函數(shù)y＝cos(2x＋φ)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到圖象的函數(shù)解析式為y＝cos＝cos，此函數(shù)為奇函數(shù)，所以－＋φ＝＋kπ(k∈Z)，解得φ＝＋kπ(k∈Z)，則當(dāng)k＝－1時(shí)，|φ|取得最小值.3.(2022·海南模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若asin A＋2csin C＝2bsin Ccos A，則角A的最大值為(　　)A.  B.  C.  D.答案　A解析　因?yàn)?/span>asin A＋2csin C＝2bsin Ccos A，由正弦定理可得，a2＋2c2＝2bccos A，①由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A，②①＋②得2a2＝b2－c2，所以cos A＝＝＝≥＝(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)取等號(hào))，所以角A的最大值為.4.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若＝，b＝4，則△ABC的面積的最大值為(　　)A.4  B.2  C.2  D.答案　A解析　∵在△ABC中，＝，∴(2a－c)cos B＝bcos C，由正弦定理，得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，整理得sin(B＋C)＝2sin Acos B，∵A∈(0，π)，∴sin A≠0.∴cos B＝，即B＝，由余弦定理可得16＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，∴ac≤16，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)取等號(hào)，∴△ABC的面積S＝acsin B＝ac≤4.即△ABC的面積的最大值為4.5.(2022·蘇北四市模擬)若函數(shù)f(x)＝cos 2x＋sin在(0，α)上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則α的取值范圍為(　　)A.  B.C.  D.答案　B解析　由題意，函數(shù)f(x)＝cos 2x＋sin＝sin，因?yàn)?/span>0<x<α，所以<2x＋<2α＋，又由f(x)在(0，α)上恰有2個(gè)零點(diǎn)，所以2π<2α＋≤3π，解得<α≤，所以α的取值范圍為.故選B.6.已知函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期為π，且對(duì)x∈R，f(x)≥f恒成立，若函數(shù)y＝f(x)在[0，a]上單調(diào)遞減，則a的最大值是(　　)A.  B.  C.  D.答案　B解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期為π，所以ω＝＝2，又對(duì)x∈R，都有f(x)≥f，所以函數(shù)f(x)在x＝時(shí)取得最小值，則＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝cos，令2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，則函數(shù)y＝f(x)在上單調(diào)遞減，故a的最大值是，故選B.7.已知函數(shù)f(x)＝2sin ωx(ω>0)在區(qū)間上的最小值為－2，則ω的取值范圍是________.答案　解析　x∈，因?yàn)?/span>ω>0，－ω≤ωx≤ω，由題意知－ω≤－，即ω≥，故ω取值范圍是.8.已知函數(shù)f(x)＝cos ωx＋sin(ω>0)在[0，π]上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和兩個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是________.答案　解析　函數(shù)f(x)＝cos ωx＋sin＝sin(ω>0)，由x∈[0，π]，得ωx＋∈.又f(x)在[0，π]上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和兩個(gè)零點(diǎn)，則2π≤ωπ＋<π，解得≤ω<.9.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的角平分線交AC于點(diǎn)D，且BD＝1，則4a＋c的最小值為________.答案　9解析　因?yàn)?/span>∠ABC＝120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，所以∠ABD＝∠CBD＝60°，由三角形的面積公式可得acsin 120°＝a×1·sin 60°＋c·1·sin 60°，化簡(jiǎn)得ac＝a＋c，又a>0，c>0，所以＋＝1，則4a＋c＝(4a＋c)＝5＋＋≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)c＝2a時(shí)取等號(hào)，故4a＋c的最小值為9.10.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且A≠，c＋bcos A－acos B＝acos A，則＝________；內(nèi)角B的取值范圍是________.答案　　解析　由c＋bcos A－acos B＝acos A結(jié)合正弦定理得sin C＋sin Bcos A－sin Acos B＝sin Acos A，即sin(A＋B)＋sinBcos A－sin Acos B＝sin Acos A，化簡(jiǎn)得2sin Bcos A＝sin Acos A.因?yàn)?/span>A≠，所以cos A≠0，則2sin B＝sin A，所以＝＝，則由余弦定理得cos B＝＝＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)等號(hào)成立，解得0＜B≤.11.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a＝btan A，且B為鈍角.(1)證明：B－A＝；(2)求sin A＋sin C的取值范圍.(1)證明　由a＝btan A及正弦定理，得＝＝，所以sin B＝cos A，即sin B＝sin.又B為鈍角，因此＋A∈，故B＝＋A，即B－A＝.(2)解　由(1)知，C＝π－(A＋B)＝π－＝－2A>0，所以A∈，于是sin A＋sin C＝sin A＋sin＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sin A＋1＝－2＋.因?yàn)?/span>0<A<，所以0<sin A<，因此<－2＋≤.由此可知sin A＋sin C的取值范圍是.12.已知向量a＝，b＝(－sin x，sin x)，f(x)＝a·b.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；(2)在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若f＝1，a＝2，求△ABC面積的最大值并說明此時(shí)△ABC的形狀.解　(1)由已知得a＝(－sin x，cos x)，又b＝(－sin x，sin x)，則f(x)＝a·b＝sin2x＋sin xcos x＝(1－cos 2x)＋sin 2x＝sin＋，所以f(x)的最小正周期T＝＝π，當(dāng)2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋kπ(k∈Z)時(shí)，f(x)取得最大值.(2)在銳角△ABC中，因?yàn)?/span>f＝sin＋＝1，所以sin＝，所以A＝.因?yàn)?/span>a2＝b2＋c2－2bccos A，所以12＝b2＋c2－bc，所以b2＋c2＝bc＋12≥2bc，所以bc≤12(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝2時(shí)等號(hào)成立)，此時(shí)△ABC為等邊三角形，S△ABC＝bcsin A＝bc≤3.所以當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)面積取最大值3.二、創(chuàng)新拓展練13.設(shè)銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，且a＝1，B＝2A，則b的取值范圍為(　　)A.(，)  B.(1，)C.(，2)  D.(0，2)答案　A解析　∵B＝2A，∴sin B＝sin 2A＝2sin Acos A.∵a＝1，∴b＝2acos A＝2cos A.又△ABC為銳角三角形，∴∴<A<，∴<cos A<，即<2cos A<，故選A.14.(多選)(2022·臺(tái)州質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)＝cos(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]上有且僅有3個(gè)極小值點(diǎn)，則(　　)A.f(x)在(0，2π)上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)B.f(x)在(0，2π)上有且僅有2個(gè)極大值點(diǎn)C.f(x)在上單調(diào)遞減D.ω的取值范圍是答案　CD解析　因?yàn)?/span>x∈[0，2π]，所以ωx＋∈.設(shè)t＝ωx＋∈，畫出y＝cos t的圖象如圖所示.由圖象可知，若f(x)在[0，2π]上有且僅有3個(gè)極小值點(diǎn)，則5π≤ 2πω＋<7π， 解得≤ω<， 故D正確；故f(x)在(0，2π)上可能有5，6或7個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；f(x)在(0，2π)上可能有2或3個(gè)極大值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；當(dāng)x∈時(shí)，ωx＋∈.因?yàn)?/span>≤ω<，所以≤ω＋<，故f(x)在上單調(diào)遞減，故C正確.15.(多選)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且c＝6，記S為△ABC的面積，則下列說法正確的是(　　)A.若C＝，則S有最大值9B.若A＝，a＝2，則S有最小值3C.若a＝2b，則cos C有最小值0D.若a＋b＝10，則sin C有最大值答案　ABD解析　對(duì)于選項(xiàng)A，對(duì)角C由余弦定理得36＝c2＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，因此，S＝absin C＝ab≤9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝6時(shí)取等號(hào)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，對(duì)角A用余弦定理得12＝a2＝c2＋b2－bc＝36＋b2－6b，解得b＝2或b＝4，因此，S＝bcsin A＝b≥3，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2時(shí)取等號(hào)，故B正確.對(duì)于選項(xiàng)C，若a＝2b，由三邊關(guān)系可得a－b＝b<c＝6<a＋b＝3b?2<b<6，此時(shí)，由余弦定理，得cos C＝＝＝－∈(－1，1)，故C錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)D，若a＋b＝10，則cos C＝＝＝－1，又ab≤＝25，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝5時(shí)取等號(hào)，∴cos C＝－1≥?sin C＝≤，故D正確，故選ABD.16.(2022·南京師大附中模擬)法國(guó)的拿破侖提出過一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的外接圓圓心恰好是一個(gè)等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)”.在△ABC中，A＝60°，以AB，BC，AC為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次為O1，O2，O3，則∠O1AO3＝________；若△O1O2O3的面積為，則三角形中AB＋AC的最大值為________.答案　120°　4解析　由于O1，O3是正△ABC′，△AB′C的外接圓圓心，故也是它們的中心，所以在△O1AB中，∠O1AB＝30°，同理∠O3AC＝30°，又∠BAC＝60°，所以∠O1AO3＝120°；由題意知△O1O2O3為等邊三角形，設(shè)邊長(zhǎng)為m，則S△O1O2O3＝m2sin 60°＝m2＝，解得O1O3＝m＝2.設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，在等腰△BO1A中，∠O1AB＝∠O1BA＝30°，∠AO1B＝120°，則＝，解得O1A＝，同理得O3A＝，在△O1AO3中，由余弦定理得O1O＝O1A2＋O3A2－2O1A·O3A·cos 120°，即4＝＋－2··，即b2＋c2＋bc＝12，即(b＋c)2－bc＝12，故(b＋c)2－12＝bc≤，解得b＋c≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝2時(shí)取等號(hào)，故三角形中AB＋AC的最大值為4.17.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b2c＝a(b2＋c2－a2).(1)若A＝，求B的大小；(2)若a≠c，求的最小值.解　(1)因?yàn)?/span>b2c＝a(b2＋c2－a2)，所以由余弦定理得cos A＝＝.因?yàn)?/span>A＝，所以＝，即a＝b，所以B＝A＝.(2)由(1)及正弦定理得cos A＝，即sin B＝2sin Acos A＝sin 2A，所以B＝2A或B＋2A＝π.當(dāng)B＋2A＝π時(shí)，A＝C，與a≠c矛盾，故舍去，所以B＝2A.＝＝＝＝cos B＋＝cos 2A＋2(cos A－3)·cos A＝4cos2 A－6cos A－1＝4－.因?yàn)?/span>C＝π－A－B＝π－3A>0，即A<，所以cos A>，所以當(dāng)cos A＝時(shí)，有最小值－.

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