（1）求的斜率.
（2）若，求的面積．
解法1：設(shè)點(diǎn)解點(diǎn)
設(shè)直線的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立，消去得到，根據(jù)韋達(dá)定理，得
，故，從而.因?yàn)橹本€的斜率之和為，所以直線的方程為，同理，可得：，.
所以直線的斜率為
解法2：不聯(lián)立的藝術(shù)
設(shè)，由點(diǎn)都在雙曲線上，得
，，所以，結(jié)合斜率公式，相減后變形，可得：
，.因?yàn)橹本€的斜率之和為，即，所以，
由得. ②
由得. ③
由②-③，得，從而，即的斜率為.
解法3：設(shè)而不求，韋達(dá)定理
將點(diǎn)代入雙曲線方程得，化簡(jiǎn)得，，故雙曲線方程為，由題顯然直線的斜率存在，設(shè)，設(shè)，，，則聯(lián)立雙曲線得：，故，，，
化簡(jiǎn)得：，
故，
即，當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)A，不合題意，舍去.,故.
方法4.同構(gòu)雙斜率
設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，直線的方程為，聯(lián)立解得
，代入雙曲線的方程中，整理得，這是關(guān)于的一元二次方程，方程的兩根分別為直線的斜率.
因?yàn)橹本€的斜率之和為，即，所以，整理后分解得.因?yàn)橹本€不經(jīng)過點(diǎn)，所以，從而，即的斜率為.
方法5：齊次化聯(lián)立
雙曲線方程為，設(shè)，
∵AP,AQ的斜率之和為0，∴，
故將雙曲線方程為變形為：，
且設(shè)直線，
由式有：
,（兩邊同除以），
即，而是此方程的兩根.
∴，故直線斜率為?1.
方法6：曲線系
點(diǎn)處的切線方程為，設(shè)直線的方程為，的方程為
，的方程，則過這四條直線交點(diǎn)的二次曲線方程為
又因?yàn)殡p曲線過這些交點(diǎn)，比較的系數(shù)得.
又由，所以.
例2．（2020山東卷）已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．
（1）求的方程：
（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．
解析：（1）由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.
方法1.設(shè)線解點(diǎn)
（2）由題意，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，可得
.解得.
所以.因?yàn)?，將代替上面的，可?故.
所以直線的方程為.
化簡(jiǎn)，得.即直線恒過定點(diǎn).
方法2：韋達(dá)定理
（2）設(shè)點(diǎn)，若直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，
代入橢圓方程：消去并整理得：，
可得，，因?yàn)?，所以，即，根?jù),代入整理可得：
，
所以，整理化簡(jiǎn)得，因?yàn)椴辉谥本€上，所以，
故，于是的方程為，所以直線過定點(diǎn)直線過定點(diǎn).
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得，由得：，得，結(jié)合可得：， 解得：或（舍）.此時(shí)直線過點(diǎn).
令為的中點(diǎn)，即，若與不重合，則由題設(shè)知是的斜邊，故，若與重合，則，故存在點(diǎn)，使得為定值.
方法3.齊次化
（2）將原坐標(biāo)系平移，原來的O點(diǎn)平移至點(diǎn)A處，則在新的坐標(biāo)系下橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為．將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，即，化簡(jiǎn)得，即．
設(shè)，因?yàn)閯t，即．
代入直線方程中得．則在新坐標(biāo)系下直線過定點(diǎn)，則在原坐標(biāo)系下直線過定點(diǎn)．又，D在以為直徑的圓上．的中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗(yàn)，直線垂直于x軸時(shí)也成立．故存在，使得．
方法4. 不聯(lián)立，不韋達(dá)
（2）設(shè)，依題意知，
因?yàn)?，所以?br>整理得
同理得
相減可得即直線恒過定點(diǎn).
又，D在以為直徑的圓上．的中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗(yàn)，直線垂直于x軸時(shí)也成立．故存在，使得．
方法5.曲線系
（2）A點(diǎn)處的切線方程為，即．設(shè)直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為．由題意得．則過A，M，N三點(diǎn)的二次曲線系方程用橢圓及直線可表示為（其中為系數(shù)）．
用直線及點(diǎn)A處的切線可表示為（其中為系數(shù)）．
即．
對(duì)比項(xiàng)、x項(xiàng)及y項(xiàng)系數(shù)得，將①代入②③，消去并化簡(jiǎn)得，即．故直線的方程為，直線過定點(diǎn)．又，D在以為直徑的圓上．中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗(yàn)，直線垂直于x軸時(shí)也成立．故存在，使得．

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