一、填空題（每空1分，共11分）
1．6和24的最大公因數是( )，最小公倍數是( )。
2．一個數的最大因數是12，那么它的最小倍數是( )。
3．24和30的最小公倍數是( )。
4．把一筐蘋果分給小朋友，每人分6個或9個都正好分完，這筐蘋果至少有( )個。
5．找出3的倍數和5的倍數填在橫線里．
21 20 12 15 39 205 51 28 70
3的倍數有( )
5的倍數有( )_
6．24的因數中，最小的是( )最大的是( )．
7．一個九位數，最高位是最小的質數，千萬位是最小的奇數，萬位上是最小的合數，十位上是最小的自然數，其余數位都是0，這個數寫作( )，省略“萬”位后面的尾數約是( )。
二、判斷題（每題2分，共18分）
8．因為2÷0.5=4，所以2是0.5的倍數，0.5也是2的因數。( )
9．如果a是b的2倍（b≠0），那么a、b的最大公因數是a，最小公倍數是b。( )
10．當n為非0自然數時，n和n＋1的最大公因數是1。( )
11．一個自然數a小于質數b，那么a和b一定互質。( )
12．一根長60cm的鐵絲圍成一個長方形，如果長和寬都是質數，它的面積一定是161cm2。( )
13．a，b是不同的奇數，它們的最大公因數是1。( )
14．個位是0的數一定有因數2和5。( )
15．3和5都是30的質因數．( )
16．兩個合數的和一定是偶數。( )
三、選擇題（每題3分，共24分）
17．如果用a表示自然數，那么2a＋5一定是（ ）。
A．奇數B．質數C．合數
18．20以內所有質數的和是（ ）。
A．77B．76C．75
19．下面各數中，既是奇數又是合數的數是（ ）。
A．3B．19C． 9
20．最小的合數和最小的質數的和是（ ）。
A．2B．4C．6
21．一個長方形的面積是24平方厘米，它的長和寬的厘米數是兩個合數，這個長方形的周長是（ ）。
A．22厘米B．20厘米C．24厘米
22．一盒糖果，平均分給5個人，最后剩下2粒；平均分給6個人，最后還是剩下2粒。這盒糖果最少有（ ） 粒。
A．11B．32C．34
23．9是810的（ ）。
A．質數B．質因數C．約數
24．一個兩位數，它既是偶數又是5的倍數，這個兩位數不可能是（ ）。
A．95B．70C．90
四、作圖題（共7分）
25．在方格紙上畫長方形，使得它的面積是 SKIPIF 1 < 0 ，邊長是整厘米數．請畫出所有符合要求的長方形．（每個小方格的邊長表示 SKIPIF 1 < 0 ）
五、解答題（每題5分，共40分）
26．五（1）班在男生24人，女生20人。體育課上，老師要把男女生分別分小組活動，但每組的人數都要相等，每組最多應是幾人？一共可分成多少個小組？
27．甲乙兩數只含有2、3質因數，甲數有21個約數，乙數有10個約數，它們的最大公約數是18，求此二數。
28．有一箱，無論分給9個人，還是7個人，都正好分完，這箱礦泉水至少有多少瓶？
29．三個連續(xù)自然數的和是72，這三個自然數分別是多少？
如果是三個連續(xù)的偶數，這三個數又是多少？
30．兩個數的乘積是63，它們的最大公因數是1，這兩個數可能是多少？
31．一批面包，無論2個裝一袋，3個裝一袋或是5個裝一袋，都正好剩1個。這批面包可能是多少個？最少是多少？
32．一間臥室長40分米，寬28分米，現在要在地上鋪上正方形瓷磚，盡量不破壞整個瓷磚進行鋪地，正方形瓷磚的邊長最大是多少分米？共需要這樣的瓷磚多少塊？
33．2021年端午節(jié)到來之際，為了弘揚傳統(tǒng)文化，實驗小學開展了“我們的節(jié)日——端午”主題活動。其中五年級參加劃旱地龍舟的學生在20人～30人之間，賽前預演時，無論4人一組或6人一組都剩余2人，請問五年級參加劃旱地龍舟的學生有多少人？
參考答案：
1． 6 24
【分析】求兩個數為倍數關系時的最大公因數和最小公倍數：兩個數為倍數關系，最大公因數為較小的數；最小公倍數是較大的數；由此解答問題即可。
【詳解】24＝6×4
24是6的倍數，
所以24和6的最大公因數是6，最小公倍數是24。
【點睛】此題主要考查求兩個數為倍數關系時的最大公因數：兩個數為倍數關系，最大公因數為較小的數；最小公倍數是較大的數。
2．12
【分析】一個數的最大因數是它本身，一個數的最小倍數也是它本身，一個數的最大因數與它的最小倍數相等。
【詳解】一個數的最大因數與它的最小倍數都是它本身，一個數的最大因數是12，那么它的最小倍數是12。
故答案為：12。
3．120
【分析】根據最小公倍數的求法，直接填空即可。
【詳解】6×4×5＝120，所以，24和30的最小公倍數是120。
【點睛】本題考查了最小公倍數，明確最小公倍數的求法是解題的關鍵。
4．18
【分析】即求6和9的最小公倍數，根據求兩個數的最小公倍數的方法：即這兩個數的公有質因數與獨有質因數的連乘積；進行解答即可。
【詳解】6＝2×3
9＝3×3
所以9和6的最小公倍數是：2×3×3＝18，即這筐蘋果至少18個。
【點睛】此題主要考查求兩個數的最小公倍數的方法：兩個數的公有質因數與每個數獨有質因數的連乘積是最小公倍數。
5． 21、12、15、39、51 20、15、205、70
6． 1 24
7． 210040000 21004萬
【分析】是2的倍數的數叫偶數，不是2的倍數的數叫奇數。
除了1和它本身以外不再有其他因數，這樣的數叫質數；除了1和它本身以外還有其他因數，這樣的數叫合數。
確定各數位上的數，根據大數的寫法寫出這個數即可。
通過四舍五入法求整數的近似數，要對省略的尾數部分的最高位上的數進行四舍五入，若小于5則直接舍去，若大于或等于5，則向前進一位，并加上“萬”或“億”。
【詳解】最小的質數是2，最小的奇數是1，最小的合數是4，最小的自然數是0，這個數寫作：210040000；210040000＝21004萬
【點睛】關鍵是掌握奇數、偶數、質數、合數的分類標準，注意0也是自然數。
8．×
【分析】整數a除以整數b（b不為0），如果能整除且沒有余數，那么被除數就是除數的倍數，除數就是被除數的因數。
【詳解】0.5是小數，不存在倍數和因數的關系。原題說法錯誤。
故答案為：×。
9．×
【詳解】a、b是不為0的自然數，a是b的整數倍，求兩個數為倍數關系時的最大公因數和最小公倍數：最大公因數為較小的數，最小公倍數是較大的數。據此解答。
【解答】a是b的2倍（b≠0），a和b為倍數關系，且a大，b小；
a和b的最大公因數是b，最小公倍數是a。
原題說法錯誤。
故答案為：×
【點睛】掌握兩個數為倍數關系時的最大公因數和最小公倍數的求法是解題的關鍵。
10．√
【分析】根據自然數的排列規(guī)律，相鄰的自然數相差1，在非0自然數范圍內，相鄰的自然數都是互質數，也就是最大公因數是1。
【詳解】當n為非0自然數時，n和n＋1是相鄰的自然數，相鄰的兩個自然數的最大公因數是1；所以n和n＋1的最大公因數是1。此說法正確。
故答案：√
【點睛】如果兩個數是互質數，它們的最大公因數就是1，相鄰的兩個非0自然數的最大公因數是1。
11．√
【分析】表示物體個數的數叫自然數，自然數由0開始（包括0），沒有最大自然數；
一個數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數；
公因數只有1的兩個自然數，叫做互質數。據此舉例判斷即可。
【詳解】b是質數，所以b的因數只有1和b，那么小于b的自然數a與b只有公因數1，滿足互質數的條件。
故答案為：√
【點睛】大數是質數的兩個數是互質數。理解這點是解題關鍵。
12．×
【分析】鐵絲的長就是長方形的周長，周長是60cm的長方形，一組長加寬的和是30cm，30可以分成1和29、2和28、3和27、4和26，5和25，6和24，7和23，8和22，9和21；10和20；11和19；12和18，13和17；14和16，其中只有7和23、11和19、13和17都是質數，符合要求。所以面積可能是161cm2、209cm2、221cm2，據此解答即可。
【詳解】長方形的周長：60cm
一組長＋寬：60÷2＝30（cm）
因為長、寬均為質數，所以長、寬可以是：
7cm和23cm、11cm和19cm、13cm和17cm
所以長方形面積：
7×23＝161（cm2）
11×19＝209（cm2）
13×17＝221（cm2）
所以原題說法錯誤。
【點睛】求出一組長加寬的和是解答本題的關鍵，進而根據長、寬都是質數求出長和寬的長度。
13．×
【詳解】3和9都是奇數，它們的最大公因數是3。
故答案為：×
14．√
【分析】2的倍數特征：個位數是偶數；5的倍數特征：個位數是0或5。據此解答即可。
【詳解】由分析可得：同時能被2和5整除的數，個位上的數一定是0；
所以“個位是0的數一定有因數2和5”的說法是正確的；
故答案為：√。
【點睛】解答本題的關鍵是，準確理解2、5的倍數特征。
15．正確
【分析】先把30分解質因數，也就是寫成幾個質數連乘的形式，這幾個質數都是30的質因數.
【詳解】30=2×3×5，所以30的質因數有2、3、5，原題說法正確.
故答案為正確
16．×
【詳解】合數中既有奇數也有偶數，其中奇數＋奇數＝偶數，奇數＋偶數＝奇數，偶數＋偶數＝偶數，所以兩個合數的和可能是奇數也有可能是偶數。
17．A
【分析】根據題意可知，2a表示偶數，5為奇數，再根據“偶數＋奇數＝奇數”解答即可。
【詳解】如果用a表示自然數，那么2a＋5一定是奇數；
故答案為：A。
【點睛】解答本題的關鍵是明確2a表示偶數，再根據奇數和偶數的運算性質進行解答。
18．A
【分析】一個自然數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數，據此寫出20以內的所以質數，再相加即可。
【詳解】20以內的質數：2、3、5、7、11、13、17、19；
2＋3＋5＋7＋11＋13＋17＋19
＝（2＋3＋5）＋（7＋13）＋（11＋19）＋17
＝ 10＋20＋ 30＋17
＝77
故答案為：A
【點睛】明確質數的含義是解答本題的關鍵。
19．C
【解析】能被2整除的數叫做偶數，不能被2整除的數叫做奇數；一個數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數；一個數，如果除了1和它本身還有別的因數，這樣的數叫做合數，據此解答。
【詳解】選項A，3是奇數，又是質數；
選項B，19是奇數，又是質數；
選項C，9是奇數，又是合數。
故答案為：C。
20．C
【解析】最小的合數是4，最小的質數是2，然后把它們加起來即可。
【詳解】4+2=6，所以最小的合數和最小的質數的和是6。
故答案為：C。
21．B
【分析】根據長方形的面積＝長×寬，已知這個長方形的面積是24平方厘米，長和寬的厘米數是兩個合數，由此可知，長是6厘米，寬是4厘米，再根據長方形的周長＝（長＋寬）×2，把數據代入公式解答。
【詳解】24＝6×4
所以長是6厘米，寬是4厘米。
（6＋4）×2
＝10×2
＝20（厘米）
故答案為：B
【點睛】此題主要考查長方形的面積公式、周長公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。
22．B
【分析】根據題意可知，求出5和6的最小公倍數，再加上2粒，就是這盒糖果有多少粒，即可解答。
【詳解】5＝1×5
6＝2×3
5和6的最小公倍數是：2×3×5＝30
30＋2＝32（粒）
這和糖果最少32粒。
故答案選：B
【點睛】本題考查最小公倍數的求法，注意，求出最小公倍數后再加上2粒，才是這盒的糖果的顆數。
23．C
【解析】根據9和810的關系即可作答。810＝9×90，所以9和90都是810的約數，810是9的倍數。
【詳解】9是合數，故A和B答案錯誤，排除；
810＝9×90，9是810的約數，C正確；
可以說9是奇數，但不能說9是810的奇數，D排除；
故答案為：C。
【點睛】基礎題，熟練掌握基本定義即可作答。
24．A
【分析】根據偶數是末尾為0；2；4；6；8的數，5的倍數是末尾為5或0的數，既是偶數又是5的倍數末尾一定是0的數。據此選擇。
【詳解】既是偶數，又是5的倍數的數的個位是0，一個兩位數，它既是偶數又是5的倍數，這個兩位數不可能是95。
故答案為：A
【點睛】本題考查2的倍數和5的倍數的共同特征，找出末尾為0的數是解決本題的關鍵。
25．如圖：
26．4人；11組
【分析】由男女生各自分組，要使每組的人數相同，可知每組的人數是男生和女生人數的公因數，要求每組多有多少人，就是每組的人數是男生和女生人數的最大公因數；求可以分成多少個小組，只要用男、女生人數分別除以每組的人數再相加即可。
【詳解】24＝2×2×2×3
20＝2×2×5
所以24和20的最大公因數是：4
即每組最多有4人
男生分的組數：24÷4＝6（組）
女生分得組數：20÷4＝5（組）
6＋5＝11（組）
答：每組最多有4人，可以分成11個小組．
【點睛】解答本題關鍵是理解：每組的人數是男生和女生人數的公因數，要求每組最多有多少人，就是每組的人數是男生和女生人數的最大公因數。
27．甲數是576，乙數是162
【分析】先把18分解質因數，18＝2×32，根據約數個數定理，把這兩個數的約數的個數分解成兩個大于1的因數的積，再結合含有質因數2和3的個數，先得出乙數，再根據乙來確定甲的大小。
【詳解】18＝2×32
21＝3×7＝（2＋1）×（6＋1）
10＝2×5＝（1＋1）×（4＋1）
甲乙兩數只含有2、3質因數，所以乙數可以寫成一個質因數乘以另一個質因數的4次方；
又因為乙數至少含有2個質因數3，所以乙數＝2×34＝162；
再看甲數，因為甲、乙至少都含有一個質因數2和一個3，最大公約數是18，乙含有4個質因數3，所以甲有且只有2個質因數3；甲＝32×26＝9×64＝576。
答：甲數是576，乙數是162。
【點睛】對于一個大于1正整數a可以分解質因數： SKIPIF 1 < 0 ，則a的約數的個數就是（r1＋1）×（r2＋1）×（r3＋1）……×（rk＋1）。其中a1，a2，a3……ak都是a的質因數，r1，r2，r3……rk是a1，a2，a3……ak的指數。簡單說就是：約數個數等于指數加1再相乘。
28．63瓶
【詳解】9、7的最小公倍數是63，因此至少有63瓶
29．23、24、25；22、24、26
【分析】因為是三個連續(xù)自然數，所以最小的一個數比中間的一個數小1，最大的一個數比中間的一個數大1，如果最大的數把多的1給最小的數，那么3個數都相同，用72÷3＝24，求出中間的數是24，那么這三個數就分成是23、24、25。
相同的道理可以求出連續(xù)的偶數是：22、24、26。
【詳解】72÷3＝24，24＋1＝25，24－1＝23；
72÷3＝24，24＋2＝26，24－2＝22。
30．1和63或者7和9
【分析】先把63分解成兩個數相乘的形式，它們的最大公因數是1，那么兩個因數如果是互質數就是要求的數，由此求解。
【詳解】63＝1×63＝3×21＝7×9
1和63只有公因數1；
7和9只有公因數1；
答：這兩個數可能是1和63或者7和9。
【點睛】解決本題關鍵是把63分解成2個數相乘的形式，再根據互質數的意義求解。
31．這批面包可能是31個，61個，91個……最少是31個。
【分析】因為剩一個，假設去除一個面包，現在的面包數既是2、3的倍數，又是5的倍數。然后找出符合條件的數字，再加上1，就是面包的數量了。
【詳解】2×3×5=30（個）
30×2=60（個）
30×3=90（個）
……
30+1=31（個）
60+1=61（個）
90+1=91（個）
……
答：這批面包可能是31個，61個，91個……最少是31個。
【點睛】本題中面包無論2個裝一袋，3個裝一袋或是5個裝一袋，都正好剩1個，可以先把剩下的1個面包先排除，最后加上。如果變式2個裝一袋，3個裝一袋或是5個裝一袋，都正好少1個，可以先多一個面包，最后再減去。
32．4分米；70塊
【詳解】40＝2×2×2×5
28＝2×2×7
40和28的最大公因數是：2×2＝4
所以瓷磚的邊長最大是4分米。
40÷4＝10（塊）
28÷4＝7（塊）
一共：10×7＝70（塊）
答：正方形瓷磚的邊長最大是4分米，共需要這樣的瓷磚70塊。
33．26人
【分析】根據題意，五年級參加旱地龍舟的學生人數在20人～30人之間，無論4人或6人一組都省2人，求出4和6的公倍數，在20～30之間，求出倍數再加上2，就是參加旱地龍舟的學生人數。
【詳解】4的倍數：4、8、12、16、20、24、28、32……
6的倍數：6、12、18、24、30……
4和6在20～30之間的倍數是24
24＋2＝26（人）
答：五年級參加旱地龍舟的學生有26人。
【點睛】本題考查兩個數的公倍數的求法。

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