A. B.
C. D.
2. 若，，則m與n的大小關系是（）
A. B. C. D.
3. 已知集合,，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
4. 下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的一組是（）
A. 和B. 和
C. ，和，D. 和
5. 下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是（）
A. B. C. D.
6. 已知函數(shù)，若對，，，都有，則實數(shù)k的取值范圍是（）
A. B. C. D.
7已知正數(shù)x，y滿足，則（）
A. B.
C. D.
8. 關于x不等式的解集不可能是（）
A. B. C. D. 或
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 集合A，B與對應關系f如圖所示，則是從集合A到集合B的函數(shù)的是（）
A. B.
C. D.
10. 設集合，，則（）
A. B. C. D.
11. 已知，則下列命題為真命題的是（）
A. B. C. D.
12. 高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一．用其名字命名的高斯取整函數(shù)為，表示不超過x的最大整數(shù)，例如，．已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（）
A. B. 減函數(shù)
C. 的值域為D. 若，則，
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知，則的范圍是_____________．
14. 已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，則______．
15. “不等式對一切實數(shù)都成立”，則的取值范圍為________.
16. 我們知道，函數(shù)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．根據(jù)以上信息，可得函數(shù)圖象的對稱中心為______．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知函數(shù)，．
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）已知，求實數(shù)a值．
18. 已知集合，．
（1）當時，求不等式的解集；
（2）在①，②，③這三個條件中任選一個作為已知條件，求a的取值范圍．（注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．）
19. 已知a，b均為正數(shù)，且，求下列各式的最小值．
（1）；
（2）
20. 已知函數(shù)，．定義：，定義在上的函數(shù)．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）直接寫出的單調(diào)區(qū)間，并選擇的一個單調(diào)區(qū)間根據(jù)定義進行證明．（注：若選擇多個單調(diào)區(qū)間分別證明，則按第一個證明計分．）
21. 已知函數(shù)．
（1）若的圖象與x軸的兩個交點分別為，，且，求關于x的不等式的解集；
（2）若存在，使，求a的取值范圍．
22. 如圖，某小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形和構(gòu)成的面積為200平方米的十字形地域．計劃在正方形上建一座花壇，造價為每平方米a元；在四個相同的矩形上（圖中陰影部分）上鋪設花崗巖地坪，造價為每平方米210元；再在四個空角（圖中四個三角形）上鋪設草坪，造價為每平方米80元．
（1）設長為x米，總造價為S元．求S關于x的函數(shù)解析式；
（2）若市面上花壇造價每平方米1000到4000元不等，該小區(qū)投入到該休閑場所的資金最多102000元，問花壇造價最多投入每平方米多少元？高一年級調(diào)研檢測
數(shù)學試題
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 命題“”的否定是（）
A. B.
CD.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)含有一個量詞的命題的否定，即可得到答案.
【詳解】命題“”為全稱命題，
則其否定為特稱命題，即，
故選：B.
2. 若，，則m與n的大小關系是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用作差法計算即可.
【詳解】，
當且僅當時取得等號.
故選：D
3. 已知集合,，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】
先判斷出?，再根據(jù)包含關系判斷“”是“”的必要不充分條件.
【詳解】解：因為,，所以?，
所以“”是“”的必要不充分條件，
故選：B.
【點睛】本題考查集合的基本關系，根據(jù)集合的包含關系判斷必要不充分條件，是基礎題.
4. 下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的一組是（）
A. 和B. 和
C. ，和，D. 和
【答案】C
【解析】
【分析】由同一函數(shù)的定義域、對應法則與值域都相同，即可判斷選項中的函數(shù)是否為同一函數(shù).
【詳解】A，的定義域為，的定義域為，不是同一函數(shù)，A錯誤；
B，的值域為，的值域為，不是同一函數(shù)，B錯誤；
C，兩函數(shù)定義域，值域，對應法則都相同，是同一函數(shù)，C正確；
D，的定義域為，的定義域為，不是同一函數(shù)，D錯誤.
故選：C
5. 下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)奇偶性和單調(diào)性判斷即可.
【詳解】A選項：在，上單調(diào)遞增，但整體不是增函數(shù)，故A錯；
B選項：，所以在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故B錯；
C選項：定義域為R，關于原點對稱，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，
又，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，故C正確；
D選項：函數(shù)在，上單調(diào)遞增，但整體不是增函數(shù)，故D錯.
故選：C.
6. 已知函數(shù)，若對，，，都有，則實數(shù)k的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可得解.
【詳解】因為對，，，都有，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又函數(shù)開口向上，且對稱軸為，
所以，解得，
所以實數(shù)k的取值范圍是.
故選：B.
7. 已知正數(shù)x，y滿足，則（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式求最值即可.
【詳解】由得，
令，，則，整理得，解得，
即，當且僅當，即，時等號成立，故A正確，B錯；
由得，
令，，則，解得，
所以，當且僅當，即，時等號成立，故CD錯.
故選：A.
8. 關于x的不等式的解集不可能是（）
AB. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】將原不等式化為，再分類討論的取值情況進行求解.
【詳解】由題意，原不等式可化為
當時，原不等式為，解得，原不等式的解集為；
當時，，原不等式的解集為；
當時，，原不等式的解集為；
當時，，原不等式的解集為；
當時，，原不等式的解集為或；
綜上，當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為或；
故不可能的解集為或.
故選：D
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 集合A，B與對應關系f如圖所示，則是從集合A到集合B的函數(shù)的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用函數(shù)的定義逐一判斷即可.
【詳解】選項A：集合A中任何一個元素在集合B中都有唯一一個與之對應的，是函數(shù)，
選項B：集合A中存在元素3在集合B中沒有對應的，不是函數(shù)，
選項C：集合A中任何一個元素在集合B中都有唯一一個與之對應的，是函數(shù)，
選項D：集合A中存在元素5在集合B中有2個元素與之對應，不是函數(shù).
故選：AC.
10. 設集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)題意得到集合，，然后求交集和并集即可.
【詳解】由題意得，，
所以，.
故選：BC.
11. 已知，則下列命題為真命題的是（）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由不等式的性質(zhì)，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.
【詳解】因為，且，則，故A正確；
因為，則，，故B錯誤；
因為，則，故C正確；
因為，則，所以，且，則，故D正確；
故選：ACD
12. 高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一．用其名字命名的高斯取整函數(shù)為，表示不超過x的最大整數(shù)，例如，．已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（）
A. B. 是減函數(shù)
C. 的值域為D. 若，則，
【答案】AD
【解析】
【分析】A選項，根據(jù)題意得到，然后求即可；BC選項，分類討論得到的圖象，然后根據(jù)圖象判斷單調(diào)性和值域即可；D選項，根據(jù)得到，然后結(jié)合的含義判斷即可.
【詳解】由題意得，所以，故A正確；
當時，，，
當時，，，
當，，，
，
由此類推，的圖象如下：
所以的值域為，故BC錯；
由得，整理得，
由題意得，為整數(shù)，所以，，故D正確.
故選：AD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知，則的范圍是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】由不等式的性質(zhì)可得答案.
【詳解】因為，所以，
故答案為：.
14. 已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，則______．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可求出，根據(jù)可求出，從而可求出答案.
【詳解】因為函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，
所以，即，
又因為，可得，解得，
此時，，滿足，
所以，所以.
故答案為：.
15. “不等式對一切實數(shù)都成立”，則的取值范圍為________.
【答案】
【解析】
【分析】對二次項系數(shù)分成等于0和不等于0兩種情況進行討論，對時，利用二次函數(shù)的圖象進行分析求解.
【詳解】當時，不等式對一切實數(shù)都成立，
所以成立；
當時，由題意得解得：；
綜上所述：.
16. 我們知道，函數(shù)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．根據(jù)以上信息，可得函數(shù)圖象的對稱中心為______．
【答案】
【解析】
【分析】令，化簡后，利用奇函數(shù)的定義求得的值，即得答案.
【詳解】令
∵為奇函數(shù)，，即，解得.
所以函數(shù)圖象的對稱中心為.
故答案為：.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知函數(shù)，．
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）已知，求實數(shù)a的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)根式和分式有意義求定義域即可；
（2）根據(jù)題意得到，然后列方程求解即可.
【小問1詳解】
使根式有意義的實數(shù)x的集合是，
使分式有意義的實數(shù)x的集合是，
所以函數(shù)的定義域是.
【小問2詳解】
，，所以，即，，解之得或，
經(jīng)驗證舍去，所以．
18. 已知集合，．
（1）當時，求不等式的解集；
（2）在①，②，③這三個條件中任選一個作為已知條件，求a的取值范圍．（注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）將分式不等式等價于且，然后解不等式即可；
（2）解不等式得到集合，，然后根據(jù)①②③中的一個得到，最后列不等式求解即可.
【小問1詳解】
時，，得，即且，
所以原不等式的解集為．
【小問2詳解】
由，得，即且，
所以關于x的不等式的解集為，
選擇條件①②③，都可得，，，
所以，解得，
所以a的取值范圍為．
19. 已知a，b均為正數(shù)，且，求下列各式的最小值．
（1）；
（2）.
【答案】（1）9 （2）9
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式“1”妙用即可得解；
（2）利用基本不等式，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可得解.
【小問1詳解】
因為a，b均為正數(shù)，且，
所以，
當且僅當，即，時，等號成立，
所以的最小值為9．
【小問2詳解】
因為，
又a，b均為正數(shù)，且，
所以，則，故,
當且僅當，即時等號成立，
所以的最小值為9．
20. 已知函數(shù)，．定義：，定義在上的函數(shù)．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）直接寫出的單調(diào)區(qū)間，并選擇的一個單調(diào)區(qū)間根據(jù)定義進行證明．（注：若選擇多個單調(diào)區(qū)間分別證明，則按第一個證明計分．）
【答案】（1）
（2）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由得，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
由得，所以由已知可得
【小問2詳解】
在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
①選擇區(qū)間進行證明：
，，且，有，由，所以，，所以，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減．
②選區(qū)間進行證明：
，，且，有，由，所以，，所以，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．
21已知函數(shù)．
（1）若的圖象與x軸的兩個交點分別為，，且，求關于x的不等式的解集；
（2）若存在，使，求a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三個“二次”的關系得到方程的兩個實根為，，然后根據(jù)韋達定理和得到，最后解不等式即可；
（2）將存在，轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)單調(diào)性求最大值即可.
【小問1詳解】
由已知，方程兩個實根為，，
則，即或，，，
由，
得，解之得（舍）或，
所以關于x的不等式的解集為．
【小問2詳解】
當時，由得，
令，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
故，所以a的取值范圍為．
22. 如圖，某小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形和構(gòu)成的面積為200平方米的十字形地域．計劃在正方形上建一座花壇，造價為每平方米a元；在四個相同的矩形上（圖中陰影部分）上鋪設花崗巖地坪，造價為每平方米210元；再在四個空角（圖中四個三角形）上鋪設草坪，造價為每平方米80元．
（1）設長為x米，總造價為S元．求S關于x的函數(shù)解析式；
（2）若市面上花壇造價每平方米1000到4000元不等，該小區(qū)投入到該休閑場所的資金最多102000元，問花壇造價最多投入每平方米多少元？
【答案】（1）
（2）2760元
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件及矩形正方形三角形的面積公式即可建立函數(shù)關系式；
（2）利用基本不等式求最小值，確定取值條件即可.
【小問1詳解】
由題意可得，，且，則，則
【小問2詳解】
由（1）可知，
，
當且僅當時，即時，等號成立，由于投入到該休閑場所的資金最多102000元，所以，，解之得，所以花壇造價最多投入每平方米2760元．

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