一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，-3），斜率為-2的直線方程是（）
A. 2x+y+2=0B. 2x-y-5=0
C. 2x+y+5=0D. 2x+y-5=0
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程寫(xiě)出直線方程，再化成一般式方程即可.
【詳解】由直線點(diǎn)斜式得，化為一般式得.
故選：D
2. 已知圓的方程是，其圓心和半徑分別是（）
A. ，2B. ，4C. ，2D. ，4
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)即可求解.
【詳解】因?yàn)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程的圓心為，半徑為，
所以圓的圓心和半徑分別為，2.
故選：C.
3. 對(duì)高一（6）班的第一學(xué)月數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行抽樣調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)：10，21，23，24，27，37，41，47，52，57，據(jù)此估計(jì)該班數(shù)學(xué)成績(jī)的第75百分位數(shù)為（）
A. 47B. 42C. 24D. 35.5
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)百分位數(shù)的求解步驟，可得答案.
【詳解】由題意，樣本容量，則令，所以第百分位數(shù)為第個(gè)數(shù)據(jù).
故選：A
4. 若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則（）
A. 0B. 1C. 2D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)直線經(jīng)過(guò)圓心即可求解.
【詳解】由題意可得，直線過(guò)圓心，則，解得.
故選：A
5. 某工廠利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)生產(chǎn)的700個(gè)零件進(jìn)行抽樣測(cè)試，先將700個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)，001，002，……，699，700.從中抽取70個(gè)樣本，如下提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開(kāi)始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個(gè)樣本編號(hào)是（）
A. 623B. 328C. 253D. 530
【答案】A
【解析】
【分析】結(jié)合隨機(jī)數(shù)表的讀法即可.
【詳解】讀取數(shù)據(jù)如下所示：
從表中第5行第6列開(kāi)始向右讀取數(shù)據(jù)，得到的數(shù)據(jù)中兩個(gè)超出范圍，一個(gè)數(shù)字重復(fù)，
所以抽取的6個(gè)樣本編號(hào)分別是：253、313、457、007、328、623，
則得到的第6個(gè)樣本編號(hào)是623，
故選：A.
6. 如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是DD1，BD，BB1的中點(diǎn)，則EF與CG所成角的余弦值是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.
【詳解】建立如圖示的空間直角坐標(biāo)系：
由題意可得：，，，，，，，，，，.
所以,.
設(shè)EF與CG所成角為，則.
即EF與CG所成角的余弦值是.
故選：D
7. 同時(shí)拋擲一紅一綠兩枚質(zhì)地均勻的骰子，用x表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù)，y表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件“”，事件“為奇數(shù)”，事件“”，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 與對(duì)立B.
C. 與相互獨(dú)立D. 與相互獨(dú)立
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意寫(xiě)出樣本空間，分別表示出事件、事件和事件，求出對(duì)應(yīng)概率，然后根據(jù)對(duì)立事件的概念以及事件獨(dú)立性概念作出判斷即可.
【詳解】依題意，樣本空間為：
共36種，
事件包含的基本事件為：共種，
，
事件包含的基本事件為：
共種，
，
事件包含的基本事件為：
共種，
對(duì)于A，事件與事件互斥，不對(duì)立，A錯(cuò)誤；
事件與事件同時(shí)發(fā)生的基本事件為：，共種，
，B錯(cuò)誤；
事件與事件同時(shí)發(fā)生的基本事件為：，共種，
，
對(duì)于C，，C正確；
對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.
故選C.
8. 人臉識(shí)別，是基于人的臉部特征信息進(jìn)行身份識(shí)別的一種生物識(shí)別技術(shù)．在人臉識(shí)別中，主要應(yīng)用距離測(cè)試檢測(cè)樣本之間的相似度，常用測(cè)量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離．設(shè)，，則曼哈頓距離，余弦距離，其中（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．已知，，則的最大值近似等于（）
（參考數(shù)據(jù)：，．）
A. 0.052B. 0.104C. 0.896D. 0.948
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意分析可得在正方形的邊上運(yùn)動(dòng)，結(jié)合圖象分析的最大值，即可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，
由題意可得：，即，
可知表示正方形，其中，
即點(diǎn)在正方形的邊上運(yùn)動(dòng)，
因?yàn)?，由圖可知：
當(dāng)取到最小值，即最大，點(diǎn)有如下兩種可能：
①點(diǎn)為點(diǎn)A，則，可得；
②點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)與同向，不妨取，
則；
因?yàn)椋?br>所以的最大值為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】方法定睛：在處理代數(shù)問(wèn)題時(shí)，常把代數(shù)轉(zhuǎn)化為幾何圖形，數(shù)形結(jié)合處理問(wèn)題.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 甲袋中有2個(gè)黑球，2個(gè)白球，乙袋中有2個(gè)黑球，1個(gè)白球，這些小球除顏色外完全相同.從甲、乙兩袋中各任取1個(gè)球，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 2個(gè)球都是黑球的概率為B. 2個(gè)球都是白球的概率為
C. 1個(gè)黑球1個(gè)白球的概率為D. 2個(gè)球中最多有1個(gè)黑球的概率為
【答案】ABD
【解析】
【分析】分別計(jì)算出從甲袋和乙袋中任取個(gè)球，該球?yàn)楹谇蚧虬浊虻母怕?，然后利用?dú)立事件、互斥事件的概率公式可判斷各選項(xiàng).
【詳解】從甲袋中任取個(gè)球，該球?yàn)楹谇虻母怕蕿?，該球?yàn)榘浊虻母怕蕿椋?br>從乙袋中任取個(gè)球，該球?yàn)楹谇虻母怕蕿椋撉驗(yàn)榘浊虻母怕蕿?
對(duì)于A選項(xiàng)，2個(gè)球都是黑球的概率為，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，2個(gè)球都是白球的概率為，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，1個(gè)黑球1個(gè)白球的概率為，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，2個(gè)球中最多只有1個(gè)黑球的概率為，D對(duì).
故選：ABD.
10. 已知直線：，則（）
A. 直線的傾斜角為B. 直線在軸上的截距為
C. 直線的一個(gè)法向量為D. 直線的一個(gè)方向向量為
【答案】BD
【解析】
【分析】將直線方程化簡(jiǎn)為一般式得到，截距為，的一個(gè)方向向量為，D正確，計(jì)算得到C錯(cuò)誤，得到答案.
【詳解】直線：，則，，，故，A錯(cuò)誤，
直線在軸上的截距為，B正確.
，故直線的一個(gè)方向向量為，D正確；
，C錯(cuò)誤.
故選：BD.
11. 已知方程，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 當(dāng)時(shí)，表示圓心為的圓B. 當(dāng)時(shí)，表示圓心為的圓
C. 當(dāng)時(shí)，表示的圓的半徑為D. 當(dāng)時(shí)，表示的圓與軸相切
【答案】BCD
【解析】
【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由題意，方程，可化為，
可圓的圓心坐標(biāo)為，
A中，當(dāng)時(shí)，此時(shí)半徑為，所以A錯(cuò)誤；
B中，當(dāng)時(shí)，此時(shí)半徑大于，表示圓心為的圓，所以B正確；
C中，當(dāng)時(shí)，表示的圓的半徑為，所以C正確；
D中，當(dāng)時(shí)，可得，方程表示的圓半徑為，
又圓心坐標(biāo)為，所以圓心到軸的距離等于半徑，所以圓與軸相切，所以D正確．
故選：BCD.
12. 如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，是的中點(diǎn)，則（ ）
A. 直線平面B.
C. 三棱錐的體積為D. 異面直線與所成的角為
【答案】ABD
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法一一驗(yàn)證即可；
【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，，
，，，
所以，即，所以，故B正確；
，，，
設(shè)異面直線與所成的角為，則，又，所以，故D正確；
設(shè)平面的法向量為，則，即，取，
則，即，又直線平面，所以直線平面，故A正確；
，故C錯(cuò)誤；
故選：ABD
【點(diǎn)睛】本題考查空間向量法在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題.
第II卷非選擇題（90分）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 直線與直線垂直，則等于______________.
【答案】.
【解析】
【分析】利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系即可得出.
【詳解】直線與直線垂直，，解得.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)直線垂直求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.
14. 為慶祝冬奧會(huì)取得勝利，甲、乙兩位同學(xué)參加知識(shí)競(jìng)賽.已知兩人答題正確與否相互獨(dú)立，且各一次正確的概率分別是0.4和0.3，則甲、乙兩人各作答一次，至少有一人正確的概率為_(kāi)_____
【答案】0.58####58%
【解析】
【分析】分兩人都回答正確，甲回答正確，乙回答錯(cuò)誤，以及甲回答錯(cuò)誤，乙回答正確三種情況討論即可.
【詳解】由題意,設(shè)“甲答題正確”為事件,“乙答題正確”為事件,
則,
設(shè)“至少有一人正確”為事件，
，
故答案為：.
15. 若三條直線圍成三角形，則k的取值范圍是___________.
【答案】且且
【解析】
【分析】
先的斜率，然后求得與的交點(diǎn)坐標(biāo)，由此列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.
【詳解】的斜率為，的斜率為，
由解得，
所以與的交點(diǎn)坐標(biāo)為.
當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)直線不過(guò)點(diǎn)且與不平行，三條直線圍成三角形，符合題意.
當(dāng)時(shí)，要使三條直線能圍成三角形，則須
，解得且且.
所以的取值范圍是且且.
故答案為：且且
【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線與直線的位置關(guān)系，屬于中檔題.
16. 方程只有一個(gè)解，則實(shí)數(shù)k取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】將方程的解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.
【詳解】解：設(shè)，
則對(duì)應(yīng)的圖像為圓的上半部分，
作出兩個(gè)函數(shù)圖像，當(dāng)直線與半圓只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，滿足題意，
當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，直線與半圓只有一個(gè)交點(diǎn)
，解得，
當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，，得，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是.
故答案為：.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17. 已知三個(gè)頂點(diǎn)為，為的中點(diǎn)，所在的直線為，
（1）求一般式方程；
（2）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，求在軸上的截距.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，求得點(diǎn)，得到，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解；
（2）根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求得的值，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
解：由的三個(gè)頂點(diǎn)為，且為的中點(diǎn)，
可得，即，則，
所以直線的方程為，即.
【小問(wèn)2詳解】
解：由（1）知，直線的方程為，
因?yàn)?，可設(shè)直線的方程為，
直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得，解得，
所以直線的方程為，
18. 在平面直角坐標(biāo)系中，，，，圓為△的外接圓．
（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作圓M的切線，求切線方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）設(shè)出圓的一般方程，利用待定系數(shù)法求解；
（2）分為切線斜率存在和不存在兩種情況分別計(jì)算，當(dāng)切線斜率存在時(shí)利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)圓M的方程為，
因?yàn)閳A為△的外接圓,
所以,解得，
所以圓M的方程為，
故圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為，
當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，
由，解得
所以切線方程為，即．
綜上所述，所求切線方程為或．
19. 甲、乙兩人組成“九章隊(duì)”參加青島二中數(shù)學(xué)學(xué)科周“最強(qiáng)大腦”比賽，每輪比賽由甲、乙各猜一個(gè)數(shù)學(xué)名詞，已知甲每輪猜對(duì)的概率為，乙每輪猜對(duì)的概率為．在每輪比賽中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．
（1）求甲兩輪至少猜對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)名詞的概率；
（2）求“九章隊(duì)”在兩輪比賽中猜對(duì)三個(gè)數(shù)學(xué)名詞的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法概率公式計(jì)算即可；
（2）兩人分別猜兩次，總共四次中有一次沒(méi)猜對(duì)，分四種情況計(jì)算可得答案.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)甲兩輪至少猜對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)名詞為事件，
.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)事A＝“甲第一輪猜對(duì)”，B＝“乙第一輪猜對(duì)”，C＝“甲第二輪猜對(duì)”，D＝“乙第二輪猜對(duì)”，E＝““九章隊(duì)”猜對(duì)三個(gè)數(shù)學(xué)名詞”，
所以，
則，
由事件的獨(dú)立性與互斥性，得
，
故“九章隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)三個(gè)數(shù)學(xué)名詞的概率為．
20. 如圖，四棱錐的底面是矩形，側(cè)面是正三角形，，，分別為的中點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）求平面與平面所成角的銳二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）由正三角形的性質(zhì)可得，由矩形中的數(shù)據(jù)可得，從而有，由線面垂直的判定定理可得面，進(jìn)而可證得；
（2）如圖，取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可
【詳解】（1）證明：為正三角形，為中點(diǎn)，
為矩形，，，
．
根據(jù)勾股定理的逆定理得：，
因，
面，
平面，
．
（2）取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
則，，，
設(shè)平面的法向量，
則
取，得
易知平面的法向量，
故平面與平面所成銳二面角的余弦值為．
21. 2023年9月，第19屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)將在中國(guó)杭州市舉行，某調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解人們對(duì)“亞運(yùn)會(huì)”相關(guān)知識(shí)的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“亞運(yùn)會(huì)”知識(shí)競(jìng)賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這人的平均年齡和上四分位數(shù)；
（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的“亞運(yùn)會(huì)”宣傳使者：
（i）若有甲（年齡38），乙（年齡40）兩人已確定入選，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長(zhǎng)，求甲?乙兩人至少有一人被選上的概率；
（ii）若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和1，據(jù)此估計(jì)這人中35~45歲所有人的年齡的方差.
【答案】（1）31.75歲；36.25
（2）（i）；（ii）10
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，利用平均數(shù)的計(jì)算公式求解可得平均數(shù)；上四分位數(shù)即第百分位數(shù)，根據(jù)定義可構(gòu)造方程求得結(jié)果；
（2）（i）根據(jù)分層抽樣原則可求得第四組和第五組抽取的人數(shù)，采用列舉法可得樣本點(diǎn)總數(shù)和滿足題意的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果；
（ii）由可求得第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)，由可求得第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)這人的平均年齡為，則
（歲）
設(shè)上四分位數(shù)（第75百分位數(shù)）為，
，，
位于第四組：內(nèi)；
方法一：由，解得.
方法二：由，解得.
【小問(wèn)2詳解】
（i）由題意得，第四組應(yīng)抽取4人，記為，，，甲，第五組抽取2人，記為，乙，對(duì)應(yīng)的樣本空間為：
，
共15個(gè)樣本點(diǎn).
設(shè)事件“甲?乙兩人至少一人被選上”，則
，
共有9個(gè)樣本點(diǎn).所以，.
（ii）設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為.
設(shè)第四組的宣傳使者的年齡分別為，平均數(shù)為，方差為，
設(shè)第五組的宣傳使者的年齡分別為，，平均數(shù)為，方差為，
則，，，
，
可得，，，，
設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為．
則，
即第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，
法一：
.
法二：
.
即第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為；
據(jù)此估計(jì)這人中年齡在歲的所有人的年齡的平均數(shù)為，方差約為．
22. 已知點(diǎn)和，圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱．
（1）求圓的方程；
（2）點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，在軸上求出一點(diǎn)（異于點(diǎn)使得點(diǎn)到點(diǎn)與的距離之比為定值，并求的最小值．
【答案】（1）
（2）M為（1,0），最小值為5
【解析】
【分析】(1)設(shè)圓的圓心為，由題意可得關(guān)于，的方程組，解得，的值，則圓的方程可求；
(2)設(shè)點(diǎn)，，，，則，由為定值，可得，解出，得到M坐標(biāo)，再由，可得的最小值．
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)圓的圓心為，
由題意可得，，解得．
圓的方程為；
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)點(diǎn)，，，，則．
，
為定值，是的倍數(shù)關(guān)系，且對(duì)任意的，成立，
，解得或(舍去)，，
此時(shí)為定值，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的最小值為．

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