本試卷共4頁，23小題，滿分150分.考試用時120分鐘.
第I卷選擇題（60分）
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設(shè)（其中i為虛數(shù)單位），則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用復數(shù)的除法運算計算作答.
【詳解】依題意，.
故選：D
2. 與向量平行的單位向量為（）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】與向量平行的單位向量為，計算得到答案.
【詳解】與向量平行的單位向量為，
即或.
故選：C.
3. 若角的終邊經(jīng)過點，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦三角函數(shù)的定義可得答案.
【詳解】到原點的距離為，
則.
故選：D.
4. 在中，，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理化角為邊，再利用余弦定理計算作答.
【詳解】在中，角所對的邊分別為，，
由正弦定理得，令，
由余弦定理得：.
故選：C.
5. 已知，，則（）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由平方關(guān)系求出，再由二倍角公式計算．
【詳解】因為，，所以，
所以．
故選：D．
6. 魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱，六根完全一樣的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°榫卯起來.若正四棱柱的高為8，底面正方形的邊長為2，現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內(nèi)，則該球形容器的體積（容器壁的厚度忽略不計）的最小值為（ ）
A. B. C. D. 以上結(jié)果都不對
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，可轉(zhuǎn)化為求該幾何體外接球的體積，即長、寬、高分別為4,2,8的長方體的外接球的體積.
【詳解】由題意，該球形容器的體積最小時，該球形容器為長、寬、高分別為4,2,8的長方體的外接球，其直徑為，
半徑為，體積為.
即該球形容器的體積的最小值為.
故選：A.
【點睛】本題考查長方體的外接球的體積，結(jié)合傳統(tǒng)文化，考查學生對實際問題的理解能力，屬于中檔題.
7. 已知函數(shù)只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】將題目轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與的圖像只有一個交點，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，作出圖像，利用數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍.
【詳解】由函數(shù)只有一個零點，等價于函數(shù)的圖像與的圖像只有一個交點，
，求導，令，得
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；故當時，函數(shù)取得極小值；當時，函數(shù)取得極大值；
作出函數(shù)圖像，如圖所示，
由圖可知，實數(shù)的取值范圍是
故選：B
【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
8. 已知函數(shù)的最大值為，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且的圖象關(guān)于點對稱，則下列判斷正確的（）
A. 當時，函數(shù)的最小值為
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
C. 要得到函數(shù)的圖象只將的圖象向右平移個單位
D. 函數(shù)在上單調(diào)遞增
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)的解析式，再判斷四個選項中的命題是否正確即可．
【詳解】解：函數(shù)中，，，，，
又的圖象關(guān)于點對稱，，
解得，，；
；
對于，時，，，的最小值為，
錯誤．
對于，時，，的圖象不關(guān)于對稱，錯誤；
對于，向右平移個單位，得的圖象，
且，正確；
對于，時，，是單調(diào)遞減函數(shù)，故錯誤；
故選：．
【點睛】本題考查了由部分圖象確定其解析式，以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用問題，屬于中檔題．
9. 若實數(shù)滿足 ,則的最大值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出約束條件表示的可行域，再利用目標函數(shù)的幾何意義求解即得.
【詳解】畫出約束條件表示的可行域，如圖中陰影，
目標函數(shù)表示可行域內(nèi)動點到原點距離，
當點與點重合時最大，由，得，
所以當時，最大，最大值為.
故選：C
10. 如圖1，在菱形中，，是其對角線，是上一點，且，將沿直線翻折，形成四棱錐（如圖2），則在翻折過程中，下列結(jié)論中正確是（）
A. 存在某個位置使得B. 存在某個位置使得
C. 存在某個位置使得D. 存在某個位置使得
【答案】B
【解析】
【分析】選項A，在翻折過程中，與夾角始終不變，，故A錯誤；選項B，，轉(zhuǎn)化為判斷和是否會垂直，由圖觀察翻折過程中和夾角的變化范圍可得解；選項C，由圖觀察翻折過程中和夾角的變化范圍可得解；選項D，由于平行于翻折前的，故只需觀察翻折過程中與翻折前的的夾角變化范圍可得解.
【詳解】對于選項A，沿翻折，在翻折過程中，與夾角始終不變，，故A錯誤；
對于選項B，，轉(zhuǎn)化為判斷和是否會垂直，由圖觀察翻折過程中和夾角變化范圍是，故存在某個位置使得，故B正確；
對于選項C，由圖觀察翻折過程中和夾角的變化范圍是，故不存在某個位置使得，故C錯誤；
對于選項D，由于平行于翻折前的，故只需觀察翻折過程中與翻折前的的夾角變化范圍，由圖觀察翻折過程中與的夾角變化范圍是，所以不存在某個位置使得，故D錯誤.
故選：B.
11. 已知三棱錐的頂點都在球的球面上，平面，若球的體積為，則該三棱錐的體積的最大值是（）
A. B. 5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】將三棱錐放入長方體內(nèi)，得到為球直徑，由基本不等式求出，從而求出三棱錐的體積的最大值.
【詳解】因為，易知三角形為等腰直角三角形，
又平面，所以為三棱錐的高，
則可將三棱錐放入長方體內(nèi)，如圖，
長方體的體對角線即為外接球直徑，即為球直徑，
，
解得，
又，
解得，
，所以
所以三棱錐的體積，
故選：A
【點睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個頂點的距離相等，解題時要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑
12. 已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，則的最大值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先由題意推出，然后由基本不等式即可求解.
【詳解】一方面由題意有，
另一方面若有成立，
結(jié)合以上兩方面有，
且注意到，
所以由復合函數(shù)單調(diào)性可得在上嚴格單調(diào)遞增，
若，則只能，
因此當且僅當；
又已知，
所以，即，
由基本不等式得，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最大值為.
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)當且僅當，從而得出，從而由基本不等式即可順利求解.
第II卷非選擇題
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分
13. 設(shè)，若，則的值組成的集合為__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出集合中的取值,再代入集合中求的值,注意當為空集時也滿足.
【詳解】由題, 中解得或.
當時,代入得,；
當時代入得,；
當為空集時, .
故答案為 .
【點睛】集合則集合中任意元素都能在集合中找到.特別的,當時也成立.
14. 已知函數(shù)，若，則________
【答案】2
【解析】
【分析】分段函數(shù)已知函數(shù)值求自變量，分段代入函數(shù)值，討論即可.
【詳解】若，則，可得無解；
若，則，求得或（舍去）.故答案為2.
【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的求值問題，已知函數(shù)值求解自變量時，要根據(jù)分段情況進行討論求解，側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).
15. 將函數(shù)的圖象先向右平移個單位，再將所得的圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖象，則的一個可能取值為_________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】化簡函數(shù)、的解析式，并求出平移后的函數(shù)解析式，可得出關(guān)于的等式，由此可得結(jié)果.
【詳解】因為，
將函數(shù)的圖象先向右平移個單位，可得到函數(shù)的圖象，
再將所得的圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，可得到函?shù)的圖象，
因為，
所以，，可得，
故的一個可能取值為.
故答案為：（答案不唯一）.
16. 在平面四邊形中，，則四邊形的面積的最大值為_________．
【答案】6
【解析】
【分析】在中，利用正弦定理可得，進而可求得的面積，在中，由余弦定理可得，進而可得的面積，即可得結(jié)果.
【詳解】在中，由正弦定理，可得，
所以的面積；
在中，由余弦定理，
當且僅當時，等號成立，
即，且，則，
所以的面積；
顯然當B、D位于直線AC的兩側(cè)時，四邊形ABCD的面積較大，
此時四邊形的面積.
所以四邊形的面積的最大值為.
故答案為：6.
【點睛】方法點睛：與解三角形有關(guān)的交匯問題的關(guān)注點
（1）根據(jù)條件恰當選擇正弦、余弦定理完成邊角互化；
（2）結(jié)合三角恒等變換、三角函數(shù)以及基本不等式分析運算．
三、解答題：共 70 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第 17～21 題為必考題，每個試題考生都必須作答.第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
（一）必考題：共 60 分.
17. 已知函數(shù)
（1）求函數(shù)的最小正周期，最大值及取到最大值的的取值集合；
（2）已知銳角滿足，求的值.
【答案】17. 最小正周期為；當時，最大值為3.
18.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由三角恒等變換化簡，即可得到，結(jié)合余弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由條件可得，結(jié)合二倍角公式，代入計算，即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
，
則函數(shù)的最小正周期為，令，，解得，，即當時，函數(shù)的最大值為3.
【小問2詳解】
由于，即，解得，則，解得，又為銳角，即，則，所以，即，所以.
18. 已知函數(shù)，當時，函數(shù)取得極值.
（1）若在上為增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若時，方程有兩個根，求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)極值的定義，結(jié)合導數(shù)的性質(zhì)進行求解即可；
（2）構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)零點的性質(zhì)進行求解即可.
【小問1詳解】
由，則，
因為時，取到極值，所以，解得.
又當時，，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
故當時，函數(shù)取得極值，符合題意.
要使在上為增函數(shù)，則或，所以或.
即實數(shù)的取值范圍為.
【小問2詳解】
令，由（1）得，且，
故，，則，
當時，令，解得，令，解得，
所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，
故，而，，故.
要使有兩個根，則.
即實數(shù)的取值范圍為.
19. 已知的內(nèi)角的對邊分別為，且．
（1）求角的大?。?br>（2）若是的中點，，且的面積為，求的值．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用正弦邊角關(guān)系得，再由余弦定理求角；
（2）由，應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律可得，應(yīng)用三角形面積公式、正余弦定理求邊長，進而求的值.
【小問1詳解】
由正弦邊角關(guān)系知：，則，
又，故.
【小問2詳解】
如下圖，，且，
所以，
又①，且，即為銳角，
所以，則，且，即，
所以②，
由①②可得：或4，即或2，
當，則，，不合題意；
所以，則，，故.
20. 圖1是由正方形組成的一個等腰梯形，其中，將、分別沿折起使得E與F重合，如圖2．
（1）設(shè)平面平面，證明：；
（2）若二面角的余弦值為，求長．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）由已知得平面，再由面面平行的性質(zhì)可得答案；
（2）以O(shè)為原點，與平行的直線為x軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)，求出平面和平面的法向量由數(shù)量積公式可得，可得.
【詳解】（1）因為，平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，所以.
（2）因為，，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，
因為平面，所以平面平面，
過E作于點O，則O是的中點，
因為平面平面，平面，
所以平面，
以O(shè)為原點，與平行的直線為x軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸，
建立空間直角坐標系，
設(shè)，則，
，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，取，則，
所以平面的一個法向量，
，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，取，則，
同理可求得平面的一個法向量為，
所以，解得或，
當時，，
可判斷二面角的平面角為銳角且向量夾角與二面角相等，故舍去，
所以，此時，,
所以.
【點睛】本題考查了線面平行的性質(zhì)，二面角、模長的向量求法，解題的關(guān)鍵點是建立空間直角坐標系，考查了學生的空間想象力和計算能力.
21. 已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若方程的兩根分別為，，且．
①求實數(shù)m的值；
②若，，證明：．
【答案】（1）答案見詳解
（2）①；②證明過程見詳解
【解析】
【分析】（1）利用導數(shù)及即可討論的單調(diào)性；
（2）①將原方程轉(zhuǎn)化為，再將，分別代入其中，整理得到，再構(gòu)造函數(shù)，求導，進而即可求解；
②結(jié)合①得到，求，再設(shè)在處的切線斜率為，從而求得在處的切線方程為，再構(gòu)造函數(shù)，，再結(jié)合導數(shù)的性質(zhì)證明（證明過程可再次構(gòu)造函數(shù)），再分別令，且滿足，，進而通過放縮及令即可得到結(jié)論．
【小問1詳解】
由，則，
又，
所以當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減．
【小問2詳解】
①由，
則方程兩根分別為，，
等價于方程的兩根分別為，，
則，即，(*)
又，即，
則即，(**)
所以(*)－(**)得，
構(gòu)造，
則，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
當時，則，解得，不符合題意；
當時，則，所以，解得，符合題意．
②結(jié)合①可得，則，
設(shè)在處的切線斜率為，則，
又，則在處的切線方程為，
設(shè)，，則，且，
設(shè)，則，
又，則，僅在時取得等號，
所以在上單調(diào)遞增，且，
則當時，；當時，，
則，即，，
分別令，且滿足，，
則，
令，則，
故．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：通過結(jié)合和在處的切線方程來證明，，再通過放縮及令是解答小問②的關(guān)鍵．
（二）選考題：共 10 分.請考生在第 22、23 題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.
[選修 4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）
22. 在直角坐標系中，曲線M的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），曲線N的方程為，以坐標原點O為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系.
（1）求曲線M，N的極坐標方程；
（2）若射線與曲線M交于點A（異于極點），與曲線N交于點B，且，求.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）先化成直角坐標方程，然后由即可化為極坐標方程.
（2）把分別代入（1）中所求得的表達式得，結(jié)合已知即可求解.
【小問1詳解】
由題意曲線M的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），
可得，即，
又由，可得，
所以曲線M的極坐標方程為，
由，可得，即，
即曲線N的極坐標方程為.
【小問2詳解】
將代入，可得，
將代入，可得
則，
因為，所以，
又因為，所以．
[選修 4-5：不等式選講]（10 分）
23. 設(shè)函數(shù)．
（1）當時，求函數(shù)的定義域；
（2）設(shè)，當時，成立，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用零點分段法解不等式可得出函數(shù)的定義域；
（2）由可得可得出，然后解不等式可得出，根據(jù)題意得出，進而可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）當時，要使函數(shù)有意義，需滿足.
當時，則有，即，解得，此時；
當時，則有，即，不合乎題意；
當時，則有，即，解得，此時.
綜上所述，不等式的解集為.
因此，當時，函數(shù)的定義域為；
（2）當時，由可得，則，可得
由可得，解得
，，解得.
因此，實數(shù)取值范圍是.
【點睛】本題考查含絕對值不等式的求解，同時也考查了含絕對值不等式中參數(shù)的求解，第（2）問中將問題轉(zhuǎn)化為兩區(qū)間的包含關(guān)系是解答的關(guān)鍵，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中等題.

相關(guān)試卷

四川省瀘縣2023_2024學年高三數(shù)學上學期10月月考理試題含解析：

這是一份四川省瀘縣2023_2024學年高三數(shù)學上學期10月月考理試題含解析，共21頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

四川省宜賓市2023_2024學年高三數(shù)學上學期開學考試文科試題含解析：

這是一份四川省宜賓市2023_2024學年高三數(shù)學上學期開學考試文科試題含解析，共18頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

四川省宜賓市2023_2024學年高三數(shù)學上學期開學考試理科試題含解析：

這是一份四川省宜賓市2023_2024學年高三數(shù)學上學期開學考試理科試題含解析，共21頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

四川省瀘縣2023_2024學年高三數(shù)學上學期10月月考理試題含解析

四川省瀘縣2023_2024學年高三數(shù)學上學期10月月考理試題含解析
四川省2023_2024學年高三數(shù)學上學期9月月考理試題含解析

四川省2023_2024學年高三數(shù)學上學期9月月考理試題含解析
四川省2023_2024學年高三數(shù)學上學期9月月考理試題含解析

四川省2023_2024學年高三數(shù)學上學期9月月考理試題含解析
2023屆四川省宜賓市高三三模數(shù)學（理）試題含解析

2023屆四川省宜賓市高三三模數(shù)學（理）試題含解析
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
月考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部