本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷第1頁至第2頁，第Ⅱ卷第3頁至第4頁．
注意事項(xiàng)：
1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規(guī)定的位置上．
2．答選擇題時，必須使用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．
3．答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色墨跡簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．
4．所有題目必須在答題卡上作答，在試卷上作答無效．
5．考試結(jié)束后，只將答題卡收回．
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
一．單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知向量，若，則的值為（）
A. 1B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.
【詳解】由得，
所以，
故選：C
2. 已知直線與，則與之間的距離是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接由兩平行線之間的距離公式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)橐阎本€與，
而，所以，
所以由兩平行線之間的距離公式可得與之間的距離是.
故選：A.
3. 已知圓與圓，則圓與圓的位置關(guān)系為（）
A. 相交B. 外切C. 內(nèi)切D. 內(nèi)含
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)兩圓圓心距與半徑的關(guān)系即可求解.
【詳解】的圓心為，的圓心為，
由于,，
所以與圓外切，
故選：B
4. 若直線與垂直，則的值為（）
A. 2B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)直線垂直的條件求解．
【詳解】由題意，∴．
故選：D．
5. 已知事件相互獨(dú)立，且，則（）
A. 1B. 0.79C. 0.7D. 0.21
【答案】D
【解析】
【分析】由獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算．
【詳解】由題意，
故選：D．
6. 如圖，空間四邊形中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)棱上，且，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由圖形中線段關(guān)系，應(yīng)用向量加減、數(shù)乘的幾何意義用表示出.
【詳解】.
故選：C
7. 已知橢圓方程為，長軸為，過橢圓上一點(diǎn)向軸作垂線，垂足為，若，則該橢圓的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，設(shè)，表示出，結(jié)合橢圓方程，代入計(jì)算，再由離心率公式，即可得到結(jié)果.
【詳解】
設(shè)，則，，
則，，
所以，
且，所以，即，
代入橢圓方程可得，化簡可得，
則離心率為.
故選：B
8. 現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)不知道其具體個數(shù)，只知道該組數(shù)據(jù)平方后的數(shù)據(jù)的平均值是，該組數(shù)據(jù)擴(kuò)大倍后的數(shù)據(jù)的平均值是，則原數(shù)據(jù)的方差、平方后的數(shù)據(jù)的方差、擴(kuò)大倍后的數(shù)據(jù)的方差三個量中，能用表示的量的個數(shù)是（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)出原始數(shù)據(jù)，逐個計(jì)算求解即可.
【詳解】設(shè)該組數(shù)據(jù)為，則.
所以，，所以.
原數(shù)據(jù)的方差
，可以用表示.
擴(kuò)大倍后的數(shù)據(jù)的方差：
，可以用表示.
平方后的數(shù)據(jù)的方差：
.不能用表示.
故選：C.
二．多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，至少有兩個是符合題目要求的，全選對得5分，部分選對得2分，有錯選得0分．
9. 我校舉行黨史知識競賽，對全校參賽的1000名學(xué)生的得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，把得分?jǐn)?shù)據(jù)按照分成5組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．根據(jù)圖中信息，下列說法正確的是（）
A. 圖中的值為0.020B. 這組數(shù)據(jù)的極差為50
C. 得分在80分及以上的人數(shù)為400D. 這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)的估計(jì)值為82
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)頻率值和為1即可判斷A；根據(jù)由頻率分布直方圖無法求出這組數(shù)據(jù)得極差，即可判斷B；求出得分在80分及以上的頻率，再乘以總?cè)藬?shù)，即可判斷C；根據(jù)頻率分布直方圖中眾數(shù)即可判斷D.
【詳解】解：，
解得，故A正確；
因?yàn)橛深l率分布直方圖無法求出這組數(shù)據(jù)得極差，故B錯誤；
得分在80分及以上的頻率為，
所以得分在80分及以上的人數(shù)為，故C正確；
這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)的估計(jì)值為，故D錯誤.
故選：AC.
10. 下列說法正確的是（）
A. 對任意向量，都有
B. 若且，則
C. 對任意向量，都有
D. 對任意向量，都有
【答案】AD
【解析】
【分析】可由數(shù)量積的定義及運(yùn)算律可逐一判定選項(xiàng).
【詳解】，，
可得，故選項(xiàng)A正確；
由可得，
又，可得或，
故選項(xiàng)B錯誤；
,
所以不一定成立，
故選項(xiàng)C錯誤；
由向量數(shù)量積運(yùn)算的分配律可知選項(xiàng)D正確；
故選：AD.
11. 甲?乙兩支田徑隊(duì)隊(duì)員的體重(單位：kg)信息如下：甲隊(duì)體重的平均數(shù)為60，方差為200，乙隊(duì)體重的平均數(shù)為68，方差為300，又已知甲?乙兩隊(duì)的隊(duì)員人數(shù)之比為1：3，則關(guān)于甲?乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的體重的平均數(shù)和方差的說法正確的是（）
A. 平均數(shù)為67B. 平均數(shù)為66C. 方差為296D. 方差為287
【答案】BD
【解析】
【分析】
先利用比重計(jì)算全部隊(duì)員體重的平均值，再利用平均值計(jì)算方差即可.
【詳解】依題意，甲的平均數(shù)，乙的平均數(shù)，而甲?乙兩隊(duì)的隊(duì)員人數(shù)之比為1：3，
所以甲隊(duì)隊(duì)員在所有隊(duì)員中所占比重為，乙隊(duì)隊(duì)員在所有隊(duì)員中所占比重為
故甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的體重的平均數(shù)為：；
甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的體重的方差為：.
故選：BD.
12. 已知四面體中三組對棱的中點(diǎn)間的距離都相等，則下列說法正確的是（）
A. 該四面體相對棱兩兩垂直
B. 該四面體四個頂點(diǎn)在對面三角形的射影是對面三角形的外心
C. 該四面體的四條高線交于同一點(diǎn)（四面體的高線即為過頂點(diǎn)作底面的垂線）
D. 該四面體三組對棱平方和相等
【答案】ACD
【解析】
【分析】設(shè)，利用向量法AD選項(xiàng)，用幾何法判斷BC選項(xiàng)．
【詳解】選項(xiàng)A，如圖，四面體中，是所在棱中點(diǎn)，，
設(shè)，則
，
，
，即，所以，
所以
，即，所以，即，所以，同理，A正確；
選項(xiàng)B，設(shè)平面，是垂足，平面，所以，
又，平面，所以平面，而平面，所以，同理，所以是平面垂心，同理可得其它頂點(diǎn)在對面的射影是對面三角形的垂心，B錯；
選項(xiàng)C，如上圖，平面，平面，平面，是垂足，先證明相交，
平面，平面，所以，又，平面，所以平面，同理平面，
所以平面和平面重合，即共面，它們必相交，設(shè)，下面證明平面，
與證明平面同理可證得平面，又平面，所以，同理由平面可證得，而是平面內(nèi)兩相交直線，所以平面，因此與重合，同理可證平面，C正確；
選項(xiàng)D，由選項(xiàng)A的討論同理可得，
，
，
所以，同理，D正確．
故選：ACD．
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
三．填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的方向向量為，則______．
【答案】2
【解析】
【分析】方向向量與平行，由此可得．
【詳解】由已知，是直線的方向向量，則，
故答案為：2.
14. 在一次籃球比賽中，某支球隊(duì)共進(jìn)行了8場比賽，得分分別為25，29，30，32，37，38，40，42，那么這組數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)為______．
【答案】38
【解析】
【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義即可求解.
【詳解】,故這組數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)為第6個數(shù)38，
故答案為：38
15. 寫出與圓和都相切的一條直線的方程__________．
【答案】######
【解析】
【分析】判斷兩個圓是相離的，得到應(yīng)該有四條公切線，畫出圖形易得或?yàn)楣芯€，設(shè)切線方程為，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑列出關(guān)于方程組，求解.
【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑
圓圓心為，半徑
又因?yàn)?br>所以圓與圓相離，所以有4條公切線.
畫圖為：
易得或是圓和的公切線
設(shè)另兩條公切線方程為：
圓到直線的距離為
圓到直線的距離為
所以
所以或
或
當(dāng)時
所以，切線方程為
當(dāng)時
所以
所以
所以或
當(dāng)時，切線方程為
當(dāng)時，切線方程為
故答案為：或或或
16. 已知為直線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為______．
【答案】
【解析】
【分析】首先設(shè)點(diǎn)，求過點(diǎn)的直線方程，并判斷直線過定點(diǎn)，再利用幾何關(guān)系求最大值.
【詳解】設(shè)，
過點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，
則切點(diǎn)在以為直徑的圓上，
圓心，半徑，則圓的方程是，
整理為：，
又點(diǎn)在圓上，
兩圓方程相減得到，
即直線的方程是，因?yàn)椋?br>代入得，則直線恒過定點(diǎn)，
所以點(diǎn)到直線的距離，
所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：首先本題求以為直徑的圓，利用兩圓相減，求得過兩圓交點(diǎn)的直線方程，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)直線過定點(diǎn)，這樣通過幾何關(guān)系就容易求定點(diǎn)與動直線距離的最大值.
四．解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知周長為．
（1）求點(diǎn)的軌跡方程；
（2）若，求的面積．
【答案】（1）
（2）7
【解析】
【分析】（1）結(jié)合橢圓定義可得的軌跡方程.
（2）利用及橢圓定義可列出方程，求解，即可算出的面積．
【小問1詳解】
的周長為14且，
根據(jù)橢圓的定義可知，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，以8為長軸長的橢圓，
即，故頂點(diǎn)的軌跡方程為，
又為三角形的頂點(diǎn)，故所求的軌跡方程為．
【小問2詳解】
①．
點(diǎn)在橢圓上，且為焦點(diǎn)，
，
故②．
由①②可得，，
故．
的面積為7．
18. 如圖，四面體的所有棱長都為分別是的中點(diǎn)，連接．
（1）求的長；
（2）求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】18.
19.
【解析】
【分析】（1）利用基底表示出向量，再根據(jù)向量數(shù)量積求長度方法即可求出；
（2）由該幾何體特征可知，點(diǎn)O在平面ABC的射影為的中心，即可求出．
【小問1詳解】
因?yàn)樗拿骟w的所有棱長都是1，所以該四面體為正四面體，，
而且，
所以，
即，所以的長為．
【小問2詳解】
因?yàn)樗拿骟w為正四面體，所以點(diǎn)在平面的射影為的中心，
的外接圓半徑為，
所以點(diǎn)到平面的距離為，
由于點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為．
19. 現(xiàn)從學(xué)校的800名男生中隨機(jī)抽取50名測量身高，被測學(xué)生身高全部介于和之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，第八組．右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人．
（1）求第七組的頻率并估計(jì)該校的800名男生的身高的中位數(shù)；
（2）若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，記事件表示隨機(jī)抽取的兩名男生不在同一組，求．
【答案】（1）第七組的頻率為0.06，中位數(shù)為
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率為和1，可得第七組的頻率為0.06，設(shè)學(xué)校的800名男生的身高中位數(shù)為，根據(jù)中位數(shù)的定義可得,求解即可；
（2）用列舉法寫出基本事件的總數(shù)和兩名男生不在同一組所包含的基本事件，即可得解.
【小問1詳解】
（1）由直方圖的性質(zhì)，易知第七組的頻率為．
由于，
設(shè)學(xué)校的800名男生的身高中位數(shù)為，則，
由,得，
所以學(xué)校的800名男生的身高的中位數(shù)為．
【小問2詳解】
解：第六組的人數(shù)為4，設(shè)為，
第八組的人數(shù)為，設(shè)為，
則從中隨機(jī)抽取兩名男生有共15種情況．
事件表示隨機(jī)抽取的兩名男生不在同一組，所以事件包含的基本事件為，共8種情況．
所以．
20. 已知圓經(jīng)過點(diǎn)，，且圓心在直線上.
（1）求圓的方程；
（2）若平面上有兩個點(diǎn)，，點(diǎn)是圓上的點(diǎn)且滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）設(shè)出圓心，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求得圓的方程.
（2）根據(jù)已知條件求得滿足的方程聯(lián)立即可求得的坐標(biāo).
【小問1詳解】
∵圓心在直線上，
設(shè)圓心，
已知圓經(jīng)過點(diǎn)，，則由，
得
解得，所以圓心為，
半徑，
所以圓的方程為；
【小問2詳解】
設(shè)，
∵在圓上，∴，
又，，
由可得：，
化簡得，
聯(lián)立
解得或.
21. 如圖，在直三棱柱中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，點(diǎn)在線段上．
（1）若平面，請確定點(diǎn)的位置；
（2）請?jiān)谙铝袟l件中任選一個，求的值；
①平面與平面的夾角余弦值為；
②直線與平面所成角的正弦值為．
【答案】（1）為靠近三等分點(diǎn)處
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出面的法向量，由平面得，即，求解即可；
（2）設(shè)，求出平面的法向量為，平面的法向量，若選擇①，利用平面與平面的夾角的向量求法求解；若選擇②，由直線與平面所成角的向量求法求解.
【小問1詳解】
分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，
則．
設(shè)面的法向量，則，即．
令，得．
因?yàn)槠矫妫?，即?br>所以，得，
，所以．
因?yàn)椋?br>所以為靠近三等分點(diǎn)處時，有平面．
【小問2詳解】
設(shè)，則．
所以．
設(shè)平面的法向量為，
則，即．
令，得．
注意到平面的法向量為，直線的方向向量為，
若選擇①，平面與平面的夾角余弦值為，
則．
即，解得，即．
若選擇②，直線與平面所成角的正弦值為，
則．
即，解得，即．
22. 已知內(nèi)角平分線與軸相交于點(diǎn)．
（1）求的外接圓的方程；
（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若為的外接圓劣弧上一動點(diǎn)，的內(nèi)角平分線與直線相交于點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，當(dāng)時，判斷點(diǎn)與經(jīng)過三點(diǎn)的圓的位置關(guān)系，并說明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）點(diǎn)在經(jīng)過三點(diǎn)的圓上，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解圓心和半徑，從而得解；
（2）根據(jù)等面積法或者利用角平分線的性質(zhì)可得，即可求解長度得斜率，進(jìn)而可求解直線方程，得解；
（3）聯(lián)立方程可得，，根據(jù)可得，即可求解點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)的坐標(biāo)求解圓的方程，即可判定.
【小問1詳解】
易知為為直角的直角三角形，故外接圓的圓心為斜邊邊的中點(diǎn)，半徑為，所以外接圓的方程為．
【小問2詳解】
設(shè)的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理，可知，（利用可得）
由結(jié)合，,所以
所以，的內(nèi)角平分線方程為，令，即可得點(diǎn)坐標(biāo)．
【小問3詳解】
點(diǎn)在經(jīng)過三點(diǎn)的圓上，理由如下：
由題意可知直線的斜率存在，故設(shè)直線的直線方程為，
聯(lián)立直線與圓的方程，
可得
注意到兩點(diǎn)是直線與圓的交點(diǎn)，所以
，故．
聯(lián)立直線與的內(nèi)角平分線方程，
可得．
此時，
．
此時，點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)滿足在劣弧上．
設(shè)經(jīng)過三點(diǎn)的圓的方程為，
則，解得．
所以，經(jīng)過三點(diǎn)的圓的方程為．
將點(diǎn)代入圓的方程成立，所以點(diǎn)在經(jīng)過三點(diǎn)的圓上.

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