滿分150分考試時間：120分鐘
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 若，，，則關(guān)于事件A與B的關(guān)系正確的是（）
A. 事件A與B互斥不對立B. 事件A與B對立
C. 事件A與B相互獨(dú)立D. 事件A與B不相互獨(dú)立
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)互斥與獨(dú)立事件的定義判斷即可
【詳解】因?yàn)?，所以與能同時發(fā)生，不是互斥事件，也不是對立事件，故AB錯誤；
，所以，又，故成立，
故事件A與B相互獨(dú)立，故C正確，D錯誤.
故選：C.
2. 在四面體中，空間的一個點(diǎn)滿足，若四點(diǎn)共面，則等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)空間四點(diǎn)共面可得，解之即可.
【詳解】因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，，
所以，解得.
故選：B.
3. 無論為何值，直線都過一個定點(diǎn)，則該定點(diǎn)為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】將直線方程整理成即可求得定點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】將直線方程整理成，
令，解得，即直線經(jīng)過定點(diǎn).
故選：C.
4. 已知實(shí)數(shù)滿足方程，則的最大值（）
A. 2B. 4C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，求出圓心到原點(diǎn)的距離，利用圓的幾何性質(zhì)可求得最值.
【詳解】實(shí)數(shù)x，y滿足方程，則點(diǎn)在以為圓心半徑為1的圓上，
因?yàn)樵c(diǎn)到圓心的距離為，
所以圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以，所以，
所以的最大值為4.
故選：B
5. 在三棱柱中，，，.點(diǎn)在棱上，且，為的中點(diǎn)，若以為基底，則（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)中點(diǎn)及向量加減法的運(yùn)算求解即可.
【詳解】如圖，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
所以.
故選：D
6. 已知雙曲線：的左、右兩個焦點(diǎn)分別為，，若雙曲線上存在點(diǎn)滿足，則該雙曲線的離心率為
A. 2B. C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
利用雙曲線的定義和條件中的比例關(guān)系可求.
【詳解】.選B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義及離心率，離心率求解時，一般是把已知條件，轉(zhuǎn)化為a,b,c的關(guān)系式.
7. 如圖，二面角等于，是棱上兩點(diǎn)，分別在半平面內(nèi)，，，且，則的長等于（）
A. B. C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，可得，再由空間向量的模長計算公式，代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由二面角的平面角的定義知，
∴，
由，得，又，
∴
，
所以，即.
故選：C.
8. 已知、為橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，P為它們的一個公共點(diǎn)，且.則該橢圓與雙曲線的離心率之積的最小值為.
A. B. C. lD.
【答案】B
【解析】
【詳解】設(shè)，.
橢圓方程為，
雙曲線方程為
兩曲線的半焦距為、，且.
由圓錐曲線定義得
，.
于是，，.
又由余弦定理得
.
由均值不等式得.
當(dāng)，時，上式等號成立.
從而，該橢圓與雙曲線的離心率之積的最小值為.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 與直線垂直，且與點(diǎn)距離為的直線方程可能為（）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】設(shè)所求直線方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出，即可得解.
【詳解】依題意設(shè)所求直線方程為，
則點(diǎn)到直線的距離，解得或，
所以所求直線方程為或.
故選：AB
10. 已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且的面積為4，則下列說法正確的是（）
A. 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4B.
C. 的周長為D. 的內(nèi)切圓半徑為
【答案】BC
【解析】
【分析】此題先算出橢圓的基本量，運(yùn)用三角形面積公式即得；再利用點(diǎn)的坐標(biāo)易于求得的邊長，運(yùn)用勾股定理逆定理即得；根據(jù)橢圓的定義式可得的周長；最后利用面積相等即得內(nèi)切圓半徑.
【詳解】依題意，不妨設(shè)點(diǎn)，由可得故，
則面積為解得：，
對于A選項(xiàng)，由上分析知點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故A項(xiàng)錯誤；
對于B選項(xiàng)，由知，此時點(diǎn)為橢圓短軸頂點(diǎn)，故，
又由知，故B項(xiàng)正確；
對于C選項(xiàng)，因點(diǎn)在橢圓上，故有
于是的周長為故C項(xiàng)正確；
對于D選項(xiàng)，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則由三角形面積相等可得：
，解之得：
故D項(xiàng)錯誤.
故選：BC.
11. 甲罐中有四個相同的小球，標(biāo)號為1，2，3，4；乙罐中有五個相同的小球，標(biāo)號為1，2，3，5，6.現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個小球，記事件A：抽取的兩個小球標(biāo)號之和大于5，事件：抽取的兩個小球標(biāo)號之積大于8，則（）
A. 事件A與事件對立事件B. 事件與事件是互斥事件
C. 事件發(fā)生的概率為D. 事件發(fā)生的概率為
【答案】BC
【解析】
【分析】求得從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個小球，共包含個基本事件；再寫出事件A,B包含的基本事件，即可判斷A,B；寫出事件以及包含的事件，即可以求得其概率，判斷C,D.
【詳解】由題意知：從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個小球，共包含個基本事件；
事件包含的基本事件有：
，，，，，，，，，，，共11個基本事件；
事件包含的基本事件有：
，，，，，，，，共8個基本事件，
可以看出，事件是事件的子事件，故錯；
事件包括：，，，，，，，，共9個事件，
每個事件中兩小球標(biāo)號之積都小于8，故與事件是互斥事件，故正確；
事件包含的基本事件為：
，，，，，，，，，，，共11個，
所以事件發(fā)生的概率為，故正確；
事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共12個，
所以事件包含的基本事件為：，，，共3個基本事件，
所以事件發(fā)生的概率為，故不正確，
故選：．
12. 若兩定點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足，則下列說法正確的是（）
A. 點(diǎn)的軌跡所圍成區(qū)域的面積為
B. 面積的最大值為
C. 點(diǎn)到直線距離的最大值為
D. 若圓上存在滿足條件的點(diǎn)，則的取值范圍為
【答案】ABD
【解析】
【分析】由可整理得到點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓；根據(jù)圓的面積公式可知A正確；根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的最大值為可求得B正確；由圓上點(diǎn)到直線距離最大值為圓心到直線距離加上半徑可求得C錯誤；根據(jù)兩圓有公共點(diǎn)可得兩圓位置關(guān)系，從而得到圓心距和兩圓半徑之間的關(guān)系，解不等式可求得D正確.
【詳解】設(shè)，由得：，
，整理可得：，
點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓；
對于A，點(diǎn)軌跡圍成的區(qū)域面積為，A正確；
對于B，，若取得最大值，則點(diǎn)到直線的距離最大，即到軸的距離最大，
點(diǎn)到直線的距離的最大值為，
面積的最大值為，B正確；
對于C，圓心到直線的距離，
點(diǎn)到直線距離的最大值為，C錯誤；
對于D，由題意知：點(diǎn)的軌跡與圓有公共點(diǎn)，即兩圓有公共點(diǎn)，
圓的圓心為，半徑為，
兩圓的圓心距為，，
解得：，即的取值范圍為，D正確.
故選：ABD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知圓，圓，若圓與圓相外切，則________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心和半徑，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系即可求解.
【詳解】由題意知，，
所以，
因?yàn)閮蓤A外切，所以，解得.
故答案為：2.
14. 已知直線與直線關(guān)于直線對稱，則的方程為________.
【答案】
【解析】
【分析】求出與的交點(diǎn)，再任選另一點(diǎn)，求出其關(guān)于的對稱點(diǎn)，從而由兩點(diǎn)式求出直線方程.
【詳解】與不平行，
故經(jīng)過與的交點(diǎn)，
聯(lián)立，解得，
即在上，
取上另一點(diǎn)，設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
則有，解得，
過兩點(diǎn)和，故方程為，即
故答案為：
15. 若雙曲線的漸近線與圓相切，則________.
【答案】
【解析】
【分析】首先表示出雙曲線的漸近線方程，再求出圓心坐標(biāo)與半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式計算可得.
【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，
圓即圓，圓心為，半徑，
依題意可得，解得，則.
故答案為：
16. 在長方體，，，P為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為側(cè)面內(nèi)的一點(diǎn)，當(dāng)，的面積最小值時，三棱錐Q-ACD的體積為________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正方體的性質(zhì)，可以得出在和的中點(diǎn)的連線上，從而判斷面積最小時，進(jìn)而求得三棱錐的底面上的高，然后利用體積公式計算.
【詳解】如圖所示，設(shè)的中點(diǎn)為,連接,易知,由所以,
延長交于,易得為的中點(diǎn)，
當(dāng)時，最小，的面積最小值，
此時，,
,,
過作，垂足為,易知為三棱錐的底面上的高，
，
∴三棱錐Q-ACD的體積為，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】由確定在上，是解決問題的關(guān)鍵，然后根據(jù)面積最小,確定，接下來利用直角三角形中的射影定理求得的長，然后求得三棱錐.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17設(shè)直線與.
（1）若∥，求、之間的距離；
（2）若直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積最大，求直線的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）若l1∥l2，求出m的值，即可求l1，l2之間的距離；
（2）表示直線l2與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積，配方法求出最大，即可求直線l2的方程．
【詳解】（1）若l1∥l2，則，
∴，∴m＝6，
∴l(xiāng)1：x﹣2y﹣1＝0，l2：x﹣2y﹣6＝0
∴l(xiāng)1，l2之間的距離d；
（2）由題意，，∴0＜m＜3，
直線l2與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積Sm（3﹣m），
∴m時，S最大為，此時直線l2的方程為2x+2y﹣3＝0．
【點(diǎn)睛】本題考查直線方程，考查直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
18. 甲、乙兩人參加普法知識競賽，共有5題，選擇題3個，判斷題2個，甲、乙兩人各抽一題.
（1）甲、乙兩人中有一個抽到選擇題，另一個抽到判斷題的概率是多少？
（2）甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
首先用列舉法，求得甲、乙兩人各抽一題的所有可能情況.
（1）根據(jù)上述分析，分別求得“甲抽到判斷題，乙抽到選擇題”和“甲、乙兩人中有一個抽到選擇題，另一個抽到判斷題”的概率，然后根據(jù)互斥事件概率加法公式，求得“甲、乙兩人中有一個抽到選擇題，另一個抽到判斷題”的概率.
（2）根據(jù)上述分析，求得“甲、乙兩人都抽到判斷題”的概率，根據(jù)對立事件概率計算公司求得“甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題” 的概率.
【詳解】把3個選擇題記為，2個判斷題記為“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”的情況有，，，，，，共6種；“甲抽到判斷題，乙抽到選擇題”的情況有，，，，，，共6種；“甲、乙都抽到選擇題”的情況有，，，，，，共6種；“甲、乙都抽到判斷題”的情況有，，共2種.
因此基本事件的總數(shù)為.
（1）記“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”為事件A，則.記“甲抽到判斷題，乙抽到選擇題”為事件B，則，故“甲、乙兩人中有一個抽到選擇題，另一個抽到判斷題”的概率為.
（2）記“甲、乙兩人至少有一人抽到選擇題”為事件C，則為“甲、乙兩人都抽到判斷題”，由題意，故“甲、乙兩人至少有一人抽到選擇題”的概率為.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查互斥事件概率計算，考查對立事件，屬于基礎(chǔ)題.
19. 如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，，分別是，的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明平面；
（2）分別求出平面和平面的法向量，利用向量法求解．
小問1詳解】
證明：由題意，在矩形中，，，，
，分別是，的中點(diǎn)，
，，
在四棱錐中，面面，面面，，平面
面，
面，，
，，，
面，面，，
面，面，，
以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
,0,，,0,，,4,，,4,，,0,，,2,，,2,，
,0,，面的一個法向量為，
，平面，平面．
【小問2詳解】
由題意及（1）得：
在平面中，,0,，,0,，,2,，
,2,，,2,，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，得,,，
平面的一個法向量為,0,，
設(shè)二面角的平面角為，由圖得為鈍角，
二面角的余弦值為：
．
20. 已知雙曲線C和橢圓有公共的焦點(diǎn)，且離心率為．
（1）求雙曲線C的方程．
（2）經(jīng)過點(diǎn)作直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，且M為AB的中點(diǎn)，求直線l的方程并求弦長．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率，利用待定系數(shù)法求雙曲線方程；
（2）首先利用點(diǎn)差法求直線的斜率，并求解直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，代入弦長公式，即可求解.
【小問1詳解】
由題意得橢圓的焦點(diǎn)為，，
設(shè)雙曲線方程為，
則，∴，
解得，
雙曲線方程;
小問2詳解】
把，分別代入雙曲線，兩式相減，得
，
把，，代入，得，
，直線的方程為，即
把代入，消去y得，
.
21. 已知圓的圓心在軸的正半軸上，半徑為2.且被直線截得的弦長為.
（1）圓的方程；
（2）設(shè)是直線上動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，證明：經(jīng)過，，三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，并求所有定點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】（1）；（2）證明見解析；定點(diǎn)和.
【解析】
【分析】（1）由已知結(jié)合垂徑定理列式求得值，則圓的方程可求；
（2）由已知設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，再由已知可知過，，三點(diǎn)的圓是以為直徑的圓，設(shè)圓上任意一點(diǎn)，則，整理可得圓系方程，聯(lián)立即可求得經(jīng)過，，三點(diǎn)的圓所過定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】（1）設(shè)圓心，則圓心到直線的距離
由題意可得，即，解得或（舍）
所以圓的方程為
（2）證明：∵是直線上一點(diǎn).設(shè)
∵為圓的切線，∴，即過、、三點(diǎn)的圓是以為直徑的圓
設(shè)圓上任一點(diǎn)，則
∵，
∴
即
故解得或
因此經(jīng)過、、三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)和.
【點(diǎn)睛】本題考查利用弦長求圓的方程，考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查圓系過定的問題，同時考查了計算能力，是中檔題．
22. 已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，且為等邊三角形.經(jīng)過焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，的周長為.
（1）求橢圓的方程；
（2）試探究：在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
（2）存在定點(diǎn),使得為定值
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形三邊長相等可知，根據(jù)周長為可求得，結(jié)合橢圓關(guān)系可求得結(jié)果；
（2）假設(shè)存在滿足題意的定點(diǎn)，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論；根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算表示出，代入韋達(dá)定理的結(jié)論整理可得，根據(jù)為定值可構(gòu)造方程求得的值，從而得到定點(diǎn)坐標(biāo).
【小問1詳解】
為等邊三角形，，，；
的周長為，，
解得：，，，
橢圓的方程為：.
【小問2詳解】
假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值；
由（1）知：，直線斜率不為零，
可設(shè)，，，
由得：，則，
，，
；
為定值，，解得：，此時定值為；
存在定點(diǎn)，使得為定值.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的定點(diǎn)、定值問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：
①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；
②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；
③利用韋達(dá)定理表示出所求量，代入韋達(dá)定理可整理消元確定定值或根據(jù)定值求得定點(diǎn).

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