滿分150分 考試時(shí)間：120分鐘
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．若，，，則關(guān)于事件A與B的關(guān)系正確的是（ ）
A．事件A與B互斥不對(duì)立B．事件A與B對(duì)立
C．事件A與B相互獨(dú)立D．事件A與B不相互獨(dú)立
2.在四面體中，空間的一個(gè)點(diǎn)滿足,若四點(diǎn)共面，則等于（ ）
A．B．C．D．
3.無(wú)論為何值，直線都過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，則該定點(diǎn)為（ ）
A．B．C．D．
4．已知實(shí)數(shù)滿足方程，則的最大值（ ）．
A．2B．4C．D．1
5．在三棱柱中，，，.點(diǎn)在棱上，且，為的中點(diǎn)，若以為基底，則（ ）
A．B．C．D．
6.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線上存在點(diǎn)滿足，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．2B．C．D．5
7．如圖，二面角等于，是棱上兩點(diǎn)，分別在半平面內(nèi)，，，且，則的長(zhǎng)等于（ ）
A．4B．C．D．2
8．已知為橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，為它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則該橢圓與雙曲線的離心率之積的最小值為（ ）
A．B. C．1D．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9．與直線垂直，且與點(diǎn)距離為2的直線方程可能為（ ）
A．B．C．D．
10. 已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且的面積為4，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4B.
C. 的周長(zhǎng)為D．的內(nèi)切圓半徑為
11．甲罐中有四個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1，2，3，4；乙罐中有五個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1，2，3，5，6.現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，記事件A：抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于5，事件：抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積大于8，則（ ）
A．事件A與事件是對(duì)立事件B．事件與事件是互斥事件
C．事件發(fā)生的概率為D．事件發(fā)生的概率為
12．若兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．點(diǎn)的軌跡所圍成區(qū)域的面積為
B．面積的最大值為
C．點(diǎn)到直線距離的最大值為
D．若圓上存在滿足條件的點(diǎn)，則的取值范圍
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13.已知圓，圓，若圓與圓相外切，則.
14. 已知直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，則的方程為.
15.若雙曲線的漸近線與圓相切，則.
16. 在長(zhǎng)方體，，，P為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為側(cè)面內(nèi)的一點(diǎn)，當(dāng)，的面積最小值時(shí)，三棱錐Q-ACD的體積為.
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
17. (10分)設(shè)直線與直線.
(1)若//，求之間的距離；
（2）求直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積最大時(shí)的直線的方程.
18．(12分)甲、乙兩人參加普法知識(shí)競(jìng)賽，共有5題，選擇題3個(gè)，判斷題2個(gè)，甲、乙兩人各抽一題.
（1）甲、乙兩人中有一個(gè)抽到選擇題，另一個(gè)抽到判斷題的概率是多少？
（2）甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？
19．(12分)如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，，分別是，的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值．
20. (12分)已知雙曲線C和橢圓有公共的焦點(diǎn)，且離心率為．
（1）求雙曲線C的方程．
（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，2）作直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，且M為AB的中點(diǎn)，求直線l的方程并求弦長(zhǎng)．
21. (12分)已知圓的圓心在軸的正半軸上，半徑為2，且被直線截得的弦長(zhǎng)為
（1）求圓的方程，
（2）設(shè)點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，證明：經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo).
22. (12分)已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，且為等邊三角形.經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的方程；
(2)試探究：在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.2022級(jí)高二上期半期聯(lián)合考試
數(shù)學(xué)試題參考答案
13. 14. 15. 16.
17．解析(1)若//，則，，
，
之間的距離為.5分
（2）由題意，得，，直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積，當(dāng)時(shí)，的最大值為，
此時(shí)直線的方程為.10分
18. 解析：把3個(gè)選擇題記為，2個(gè)判斷題記為“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”的情況有，，，，，，共6種；“甲抽到判斷題，乙抽到選擇題”的情況有，，，，，，共6種；“甲、乙都抽到選擇題”的情況有，，，，，，共6種；“甲、乙都抽到判斷題”的情況有，，共2種.因此基本事件的總數(shù)為.6分
（1）記“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”為事件A，則.記“甲抽到判斷題，乙抽到選擇題”為事件B，則，故“甲、乙兩人中有一個(gè)抽到選擇題，另一個(gè)抽到判斷題”的概率為9分
（2）記“甲、乙兩人至少有一人抽到選擇題”為事件C，則為“甲、乙兩人都抽到判斷題”，由題意，故“甲、乙兩人至少有一人抽到選擇題”的概率為.
12分
19．解析：（1）證明：由題意，在矩形中，，，，
，分別是，的中點(diǎn)，，，
在四棱錐中，面面，面面，，平面，面，面，，
，，，
面，面，，
面，面，，
以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
，，，，，，，，面的一個(gè)法向量為，
，平面，平面．………………6分
（2）由題意及（1）得：在平面中，，，，
，，設(shè)平面的法向量為，
則，取，得，
平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)二面角的平面角為，由圖得為鈍角，二面角的余弦值為：
．……………………………………………………………12分
20．解析：（1）由題意得橢圓的焦點(diǎn)為
設(shè)雙曲線方程為1，a＞0，b＞0，
則，∴，
解得，
雙曲線方程．4分
（2）把分別代入雙曲線，兩式相減，得，
把代入，得，
，直線的方程為，
把代入，消去y得，
..12分
21. 解析：（1）設(shè)圓心，則圓心到直線的距離，
由題意可得，,即
解得或（舍去）.圓C的方程為.4分
（2）是直線上一點(diǎn).設(shè)
為圓C的切線，，即過(guò)三點(diǎn)的圓是以為直徑的圓.
設(shè)圓上任一點(diǎn)，則,
,
即，令解得，或
經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)和．12分
22. 解析：（1）為等邊三角形，，，；
的周長(zhǎng)為，，
解得：，，，
橢圓的方程為：.4分
（2）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值；
由（1）知：，直線斜率不為零，可設(shè)，，，
由得：，則，
，，
；
為定值，，解得：，此時(shí)定值為；
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
C
B
D
B
A
A
AB
BC
BC
ABD

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