湖南省名校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知為純虛數(shù)，則（）
A. 3B. C. D.
2. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱，則（）
A B. C. D.
3. 若過點(diǎn)的直線的傾斜角為，且，則的方程為（）
A. B.
C. D.
4. 函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為（）
A. B. C. D.
5. 6萬多年一遇的紫金山—阿特拉斯彗星是中國科學(xué)院紫金山天文臺(tái)發(fā)現(xiàn)的第8顆彗星，它于2024年10月12日最接近地球，在北半球可觀測(cè)到.已知某彗星的運(yùn)行軌道是以太陽為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，測(cè)得軌道的近日點(diǎn)（距太陽最近的點(diǎn)）距太陽中心0.6天文單位，遠(yuǎn)日點(diǎn)（距太陽最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距太陽中心35天文單位，且近日點(diǎn)?遠(yuǎn)日點(diǎn)及太陽中心在同一條直線上，則該橢圓的離心率約是（）
A. 0.017B. 0.25C. 0.86D. 0.97
6. 已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到其漸近線的距離為，則的漸近線的斜率為（）
A. B. C. D.
7. 已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且，則點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為（）
A. 4B. 2C. D.
8. 已知正四面體的棱長為3，點(diǎn)在棱上，且，若點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為（）
A. B. C. D.
二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知直線和圓，則（）
A. 直線過定點(diǎn)
B. 直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)
C. 存在直線與直線垂直
D. 直線被圓截得的最短弦長為
10. 如圖，在直三棱柱中，分別為棱的中點(diǎn)，則（）

A.
B. 平面
C.
D. 點(diǎn)到平面的距離為
11. 已知橢圓左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，離心率為為上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)（與的頂點(diǎn)不重合），則（）
A. 的方程為
B.
C. 面積隨周長變大而變大
D. 直線和的斜率乘積為定值
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則__________.
13. 曲線的周長為__________.
14. 已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過的直線交圓于，兩點(diǎn)，交的右支于點(diǎn)，若，則的離心率為__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若在區(qū)間上的值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍.
16. 如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，且平面平面ABCD，．

（1）證明：平面PCD；
（2）若，E為棱PC的中點(diǎn)，求直線PC與平面ABE所成角的正弦值．
17. 已知拋物線C：與橢圓E：的一個(gè)交點(diǎn)為，且E的離心率.
（1）求拋物線C和橢圓E的方程；
（2）過點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線AP，AQ，與C的另一交點(diǎn)分別為P，Q，求證：直線PQ過定點(diǎn).
18. 已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，短軸長為2.
（1）求E的方程.
（2）若為上一點(diǎn)，求的取值范圍.
（3）判斷上是否存在不同的三點(diǎn)，使得線段（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的中點(diǎn)與的中點(diǎn)重合于直線上一點(diǎn).若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.
19. 在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)及直線上任意一點(diǎn)，稱的最小值為點(diǎn)到的“切比雪夫距離”，記作.
（1）已知點(diǎn)和點(diǎn)，直線，求和.
（2）已知圓和圓.
①若兩圓心切比雪夫距離，判斷圓和圓的位置關(guān)系；
②若，圓與軸交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在圓外，且，過點(diǎn)任作一條斜率不為0的直線與圓交于兩點(diǎn)，記直線為，直線為，證明：.

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