湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一，二冊(cè)占60%，選擇性必修第一冊(cè)第一章至第二章第4節(jié)占40%.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知全集，，，則（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用補(bǔ)集與交集的定義可求解.
【詳解】因?yàn)槿?，所以?br>又因?yàn)椋?
故選：D.
2. 已知復(fù)數(shù)（），且，則（）
A. 1B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的模的定義即可求解.
【詳解】因?yàn)?，，所以，解得?br>因?yàn)椋?
故選：D,
3. 已知，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得出余弦值，再結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后應(yīng)用二倍角正弦公式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)?
又因?yàn)?
所以,
所以.
故選：A.
4. 已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（）
A. 2B. 4C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用題意結(jié)合奇函數(shù)的定義判斷是奇函數(shù)，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足，
所以是奇函數(shù)，且，故，解得，
故當(dāng)時(shí)，，由奇函數(shù)性質(zhì)得，
而，故，故A正確.
故選：A
5. 在正方體中，二面角的正切值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取中點(diǎn)，連接，可得是二面角的平面角，求解即可.
【詳解】取的中點(diǎn)，連接，
由正方體，可得，
所以，所以是二面角的平面角，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，可得，所以，
在中，,
所以二面角的正切值為.
故答案為：D.
6. 已知線段的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)出動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，找到動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，再利用相關(guān)點(diǎn)法求解軌跡方程即可.
【詳解】設(shè)，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，
所以，故，
因?yàn)锳在圓上運(yùn)動(dòng)，
所以，
化簡(jiǎn)得，故B正確.
故選：B
7. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱稱為塹堵.已知在塹堵中，，，分別是所在棱的中點(diǎn)，則下列3個(gè)直觀圖中滿足的有（）

A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 3個(gè)
【答案】B
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明逐個(gè)判斷即可.
【詳解】在從左往右第一個(gè)圖中，因?yàn)椋裕?br>因側(cè)棱垂直于底面，所以面，
如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，

因?yàn)榉謩e是所在棱的中點(diǎn)，所以
所以，，故，
即得證，在從左往右第二個(gè)圖中，我們建立同樣的空間直角坐標(biāo)系，

此時(shí)，所以，，
故，所以不垂直，
在從左往右第三個(gè)圖中，我們建立同樣的空間直角坐標(biāo)系，

此時(shí)，
故，，即，所以不垂直，
則下列3個(gè)直觀圖中滿足的有個(gè)，故B正確.
故選：B
8. 已知過(guò)點(diǎn)直線l與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸正半軸交于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為（）
A. 12B. 8C. 6D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知直線的斜率存在設(shè)為，分別解出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出的表達(dá)式由基本不等式即可求得最小值.
【詳解】由題意知直線的斜率存在．設(shè)直線的斜率為，
直線方程為，則，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).
所以的最小值為.
故選：B.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知函數(shù)，則（）
A. 的最小正周期為
B. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C. 的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱
D. 的值域?yàn)?br>【答案】ABD
【解析】
【分析】求得最小正周期判斷A；求得對(duì)稱軸判斷B；求得對(duì)稱中心判斷C；求得值域判斷D.
【詳解】因?yàn)?，所以的最小正周期為，故A正確；
由，可得，
所以圖象的對(duì)稱軸為，
當(dāng)時(shí)，圖象的關(guān)于對(duì)稱，故B正確；
由，可得，
所以圖象的對(duì)稱中心為，
當(dāng)時(shí)，圖象的關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C不正確；
由，故的值域?yàn)?，故D正確.
故選：ABD.
10. 若數(shù)據(jù)，，和數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)、方差、極差均相等，則（）
A. 數(shù)據(jù)，，，，，與數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)相等
B. 數(shù)據(jù)，，，，，與數(shù)據(jù)，，的方差相等
C. 數(shù)據(jù)，，，，，與數(shù)據(jù)，，的極差相等
D. 數(shù)據(jù)，，，，，與數(shù)據(jù)，，的中位數(shù)相等
【答案】ABC
【解析】
【分析】運(yùn)用平均數(shù)，方差，極差，中位數(shù)的計(jì)算方法和公式計(jì)算，通過(guò)已知兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差、極差均相等這個(gè)條件，來(lái)分析這兩組數(shù)據(jù)組合后的相關(guān)統(tǒng)計(jì)量與原數(shù)據(jù)的關(guān)系.
【詳解】設(shè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，數(shù)據(jù)的平均數(shù)也為.
那么數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
所以數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，A選項(xiàng)正確.
設(shè)數(shù)據(jù)的方差為，數(shù)據(jù)的方差也為.對(duì)于數(shù)據(jù)，
其方差計(jì)算為,
所以數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)的方差相等，B選項(xiàng)正確.
設(shè)數(shù)據(jù)的極差為，數(shù)據(jù)的極差也為.
對(duì)于數(shù)據(jù)，其極差是這六個(gè)數(shù)中的最大值減去最小值，
由于前面兩組數(shù)據(jù)的極差相等，所以組合后數(shù)據(jù)的極差依然是，
所以數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)的極差相等，C選項(xiàng)正確.
設(shè)數(shù)據(jù)按從小到大排列為，中位數(shù)為.
設(shè)數(shù)據(jù)按從小到大排列為，中位數(shù)為.
對(duì)于數(shù)據(jù)按從小到大排列后，中位數(shù)不一定是，
所以數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)的中位數(shù)不一定相等，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ABC
11. 已知四棱柱的底面是邊長(zhǎng)為6的菱形，平面，，，點(diǎn)P滿足，其中，，，則（）
A. 當(dāng)P為底面的中心時(shí)，
B. 當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度的最小值為
C. 當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度的最大值為6
D. 當(dāng)時(shí)，為定值
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用空間向量進(jìn)行逐項(xiàng)進(jìn)行分析求解判斷.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)為底面的中心時(shí)，由，則故，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)且僅當(dāng)，取最小值為，故B正確;
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)在及內(nèi)部，
而是以為球心，以為半徑的球面被平面所截圖形在四棱柱及內(nèi)的部分，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可得最大值為，故C正確；
對(duì)于D，，，
而，所以
，則為定值，故D正確.
故答案選：BCD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知向量，．若，則________．
【答案】
【解析】
【分析】利用非零向量垂直時(shí)數(shù)量積為0，計(jì)算即可.
【詳解】．因?yàn)椋?，解得?br>故答案為：.
13. 已知在正四棱臺(tái)中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量的線性運(yùn)算求得，根據(jù)向量的夾角公式可求異面直線與所成角的余弦值.
【詳解】，
所以，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
故答案為：
14. 已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】
【分析】令，可得或，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則需方程有兩個(gè)解，則y=gx與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可求解.
【詳解】令，可得，
所以，所以或，
由，又，可得，解得或，
方程無(wú)解，方程有一解，故有一解，
要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，
則有兩解，即y=gx與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
作出函數(shù)y=gx的圖象的示圖如下：
由圖象可得，解得.
所以的取值范圍為.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 在中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
（1）若，求B；
（2）若，，求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合內(nèi)角和定理與兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)等式得，代入求解可得；
（2）由根據(jù)角的范圍得，由正弦定理結(jié)合二倍角公式可得，從而得，再利用余弦定理求邊，由面積公式可求結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼茫?br>，
又代入上式得，
所以，
由，則為銳角，且，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，，
因?yàn)椋?，所以，則，，
故，或（舍去）.
所以，又，，
由正弦定理得，
則，則，
由余弦定理得，則，
化簡(jiǎn)得，解得，
所以.
故的面積為.
16. 甲、乙、丙三人打臺(tái)球，約定：第一局由甲、乙對(duì)打，丙輪空；每局比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一局對(duì)打，負(fù)者下一局輪空，如此循環(huán).設(shè)甲、乙、丙三人水平相當(dāng)，每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為.
（1）求甲連續(xù)打四局比賽的概率；
（2）求在前四局中甲輪空兩局的概率；
（3）求第四局甲輪空的概率.
【答案】（1）18
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由題意知甲前三局都要打勝，計(jì)算可得甲連續(xù)打四局比賽的概率；
（2）甲輪空兩局的情況為，第一局甲敗，第二局輪空，第三局甲敗，第四局輪空，計(jì)算即可；
（3）分析可得甲第四輪空有兩種情況：第1種情況，第一局甲敗，第二局輪空，第三局甲敗，第四局輪空，第2種情況，第一局甲勝，第二局甲勝，第三局甲敗，第四局輪空，計(jì)算即可.
【小問(wèn)1詳解】
若甲連續(xù)打四局，根據(jù)比賽規(guī)則可知甲前三局都要打勝，
所以甲連續(xù)打四局比賽的概率；
【小問(wèn)2詳解】
在前四局中甲輪空兩局的情況為，第一局甲敗，第二局輪空，第三局甲敗，第四局輪空，
故在前四局中甲輪空兩局的概率；
【小問(wèn)3詳解】
甲第四輪空有兩種情況：
第1種情況，第一局甲敗，第二局輪空，第三局甲敗，第四局輪空，
第2種情況，第一局甲勝，第二局甲勝，第三局甲敗，第四局輪空，
第1種情況的概率；第2種情況的概率；
由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲輪空的概率為.
17. 如圖，在幾何體中，平面，，，，，分別為棱，的中點(diǎn).
（1）證明：平面．
（2）證明：.
（3）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析（3）
【解析】
【分析】（1）構(gòu)造線線平行，證明線面平行.
（2）先證平面，得到，結(jié)合（1）中的結(jié)論，可得.
（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與平面所成角的正弦值.設(shè)，表示的長(zhǎng)，利用體積法求到平面的距離，則問(wèn)題可解.
【小問(wèn)1詳解】
如圖，連接.
在中，，分別為棱，的中點(diǎn)，所以,，
又平面，平面.
所以平面.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)槠矫妫矫?，所以?br>又,平面，且，所以平面.
因?yàn)槠矫妫?
又因?yàn)?，所?
【小問(wèn)3詳解】
因?yàn)椋灾本€與平面所成角與直線與平面所成角相等，設(shè)為.
不妨設(shè)，則.
設(shè)到平面的距離為.
則.
又.
在中，，，所以.
所以.
所以.
故直線與平面所成角的正弦為.
18. 設(shè)A是由若干個(gè)正整數(shù)組成的集合，且存在3個(gè)不同的元素a，b，，使得，則稱A為“等差集”．
（1）若集合，，且B是“等差集”，用列舉法表示所有滿足條件的B；
（2）若集合是“等差集”，求m的值；
（3）已知正整數(shù)，證明：不是“等差集”．
【答案】（1）答案見(jiàn)解析
（2）（3）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等差集的定義結(jié)合子集的定義求解即可；
（2）根據(jù)等差集定義應(yīng)用，即逐個(gè)計(jì)算判斷即可；
（3）應(yīng)用反證法證明集合不是等差集.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)榧?，，存?個(gè)不同的元素a，b，，使得，
則或或.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)榧鲜恰暗炔罴保?br>所以或或,
計(jì)算可得或或或，
又因?yàn)檎麛?shù),所以.
【小問(wèn)3詳解】
假設(shè)是“等差集”，
則存在,成立，
化簡(jiǎn)可得,
因?yàn)?所以,
所以x=1與集合的互異性矛盾，
所以不是“等差集”．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解題方法是定義的理解，應(yīng)用反證法設(shè)集合是等差集，再化簡(jiǎn)計(jì)算得出矛盾即可證明.
19. 過(guò)點(diǎn)作斜率分別為，的直線，，若，則稱直線，是定積直線或定積直線．
（1）已知直線：，直線：，試問(wèn)是否存在點(diǎn)，使得直線，是定積直線？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）在中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)均在第一象限，且點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上．若直線與直線是定積直線，直線與直線是定積直線，直線與直線是定積直線，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）已知直線與是定積直線，設(shè)點(diǎn)到直線，的距離分別為，，求的取值范圍．
【答案】（1）存在，理由見(jiàn)解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由定積直線的定義運(yùn)算可求結(jié)論；
（2）設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，利用定積直線的定義可得或，進(jìn)而，計(jì)算即可；
（3）設(shè)直線，直線，其中，計(jì)算得，利用基本不等式可求的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
存在點(diǎn)，使得，是定積直線，理由如下：
由題意可得，
由，解得，
故存在點(diǎn)，使得，是定積直線，且．
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，直線的斜率為．
依題意得，得，即或．
直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以．
因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，解得或（舍去），，，
所以直線的方程為，直線的方程為，
由，得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【小問(wèn)3詳解】
設(shè)直線，直線，其中，
則
，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以，即，故的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：理解新定義題型的含義，利用定積直線的定義進(jìn)行計(jì)算求解，考查了運(yùn)算求解能力，以及基本不等式的應(yīng)用.

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