數(shù)學(xué)參考答案
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
8．解：函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
而，即有，依題意 ，又，則有，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的取值集合為，不符合題意，
于是，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，有，因此，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
12．解：因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，
又對任意，都有，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.
因?yàn)樵谑菃握{(diào)函數(shù)，所以得，
所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)取得最大值，
所以．
因?yàn)?，所以，則.
因?yàn)楹瘮?shù)，所以，
A．為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤.
B. 函數(shù)在時(shí)取得最大值，又因?yàn)?，周期?br>所以時(shí)，函數(shù)在取得最大值，
則實(shí)數(shù)的取值范圍為，故B正確．
C．，且，故C正確.
D．若的圖象關(guān)于直線對稱，
只要證對定義域內(nèi)的都成立，取，，
但 所以，矛盾，
所以的圖象不關(guān)于直線對稱. 故D錯(cuò)誤．
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13．（寫出或的其中一個(gè)值即可）
14．5
15． 或
16．
解：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，可得，則；
當(dāng)時(shí)，，則.
函數(shù)的定義域?yàn)椋顣r(shí)，，
得，所以函數(shù)是奇函數(shù).
令得，，
又函數(shù)是奇函數(shù)，所以，所以.
四、解答題（本大題共6小題，共70分）
17．（本題滿分10分）
解：選條件①：因?yàn)榈慕K邊與單位圓的交點(diǎn)為，
可得為銳角，所以，1分
所以由三角函數(shù)的定義可得. 2分
選條件②：
因?yàn)闉殇J角，所以；
1分
又因?yàn)?，?2分
選條件③：因?yàn)?，?br>所以得
又因?yàn)殇J角，所以， 1分
2分
（1） 4分
. 5分
（2），
.7分
，. 10分
18．（本題滿分12分）
解：（1）在中，，所以. 2分
又因?yàn)?，所以函?shù)的對稱軸，
解得：，4分
所以. 6分
（2）由（1）得，
若對于，不等式恒成立，
即對恒成立.
又因?yàn)椋?br>令，
則在單調(diào)遞增，8分
只需，
所以，10分
所以的取值范圍是. 12分
19．（本題滿分12分）
解：（1）∵，依題意得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴，2分
即，所以， 4分
那么10小時(shí)后的污染物含量為，
故10小時(shí)后還剩81％的污染物. 6分
（2）令，得. = 1 \* GB3 ① 8分
又，得. = 2 \* GB3 ② 10分
由 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②得.
故污染物減少50%需要花33小時(shí). 12分
20．（本題滿分12分）
解：（1）因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以對于任意的實(shí)數(shù)，有，
所以對任意的實(shí)數(shù)恒成立，2分
即恒成立，5分
所以，即. 6分
（2）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以時(shí)，，7分
時(shí)，. 8分
又因?yàn)閷θ我?，總存在使得?br>所以的值域是值域的子集，
即，9分
解得：，11分
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為. 12分
21.（本題滿分12分）
解:（1）…1分
3分
因?yàn)楹瘮?shù)最小正周期與函數(shù)相同,且函數(shù)的周期為,所以.又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱,所以,
因?yàn)?所以,
所以.4分
由,
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 6分
（2）證明:①當(dāng)時(shí)，函數(shù)
在(0,2]上單調(diào)遞增，因?yàn)?分
所以根據(jù)零點(diǎn)存在定理，使得
故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn). 8分
②當(dāng)時(shí),因?yàn)閱握{(diào)遞增，單調(diào)遞減，
9分
= 3 \* GB3 ③當(dāng)時(shí), 因?yàn)閱握{(diào)遞增，

所以，
綜上：有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且. 10分
因?yàn)椋?br>所以，
在上單調(diào)遞減， 11分
，. 12分
22. （本題滿分12分）
解：（1）任取，則，1分
，3分
因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，且時(shí)，，
所以由可得,即，4分
，，則，，
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是. 5分
（2）當(dāng)時(shí)，.
令，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，又在定義域上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，6分
因?yàn)樵趨^(qū)間上的值域?yàn)?br>，
所以
即. 8分
令（因?yàn)?，所以）?br>易知，關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
等價(jià)于關(guān)于的方程在有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
（時(shí)，，）10分
令，
則，解得，
所以的取值范圍是. 12分
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
D
B
C
C
D
A
題號
9
10
11
12
答案
BD
ABD
ACD
BC

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