一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求.請把答案填涂在答題卡上.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，解得或，
所以，
又，所以.
故選：A.
2. 已知扇形的周長為，圓心角為，則此扇形的面積是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設(shè)扇形的半徑為，因為扇形的圓心角，扇形的周長為，
則，解得，所以此扇形的面積.
故選：B.
3. 已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若且，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】D
【解析】對A，，因為，，故，即，
故A錯誤；
對B，當(dāng)時，故B錯誤；
對C，，
因為，故，故，
故，故C錯誤；
對D，，因為，故，
故，即，故D正確.
故選：D.
4. 若冪函數(shù)的圖象過點，則的定義域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設(shè)，依題意可得，解得，所以，
所以的定義域為，值域為，且，
對于函數(shù)，則，解得，
即函數(shù)的定義域是.
故選：B.
5. 美國生物學(xué)家和人口統(tǒng)計學(xué)家雷蒙德·皮爾提出一種能較好地描述生物生長規(guī)律的生長曲線，稱為“皮爾曲線”，常用的“皮爾曲線”的函數(shù)解析式可以簡化為的形式．已知描述的是一種植物的高度隨著時間（單位：年）變化的規(guī)律．若剛栽種時該植物的高為1米，經(jīng)過一年，該植物的高為1.5米，要讓該植物的高度超過2.8米，至少需要（ ）年．
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】依題意可得，
則，解得，∴，
因為在定義域上單調(diào)遞減，且，
又在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，
而，，即，
∴該植物的高度超過，至少需要年.
故選：C.
6. 將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若的圖象關(guān)于直線對稱，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. 是奇函數(shù)
C. 在上單調(diào)遞增D.
【答案】C
【解析】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到
，
若的圖象關(guān)于直線對稱，則，，解得，，
又，所以，故，
則，所以為非奇非偶函數(shù)，故A、B錯誤；
當(dāng)，則，又在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，故C正確；
因為，故D錯誤.
故選：C.
7. 已知，且，則的最小值是（ ）
A. B. 4C. D. 5
【答案】D
【解析】由，得，
因為，所以，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以的最小值是.
故選：D.
8. 已知函數(shù)，若的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】對于函數(shù)，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
而，即有，依題意可得，
又，解得，
所以；
當(dāng)時，函數(shù)在上的取值集合為，不符合題意，
當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，所以，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故選：A.
二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.請把答案填涂在答題卡上.
9. 已知函數(shù)的圖象由如圖所示的兩段線段組成，則（ ）
A.
B. 不等式的解集為
C. 函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2
D. 的解析式可表示為：
【答案】BD
【解析】根據(jù)題意，由圖象可得，在區(qū)間上，函數(shù)圖象為線段，經(jīng)過點和，
則其方程為，
在區(qū)間上，函數(shù)圖象為線段，經(jīng)過點和，
設(shè)，，則，解得，
所以其方程為，
綜合可得，
對于A，，則，故A錯誤；
對于B，若，則有或，解得或，
即不等式的解集為，故B正確；
對于C，在區(qū)間上，為減函數(shù)，其最大值為，故C錯誤；
對于D，由，故D正確．
故選：BD．
10. 下列命題正確的是（ ）
A. 命題“，使得”的否定是“，都有”
B. 若，則
C. 在中，“”是“”的充要條件
D 若，則
【答案】ABD
【解析】對于A：命題“，使得”的否定是“，都有”，
故A正確；
對于B：因，則，
即，所以，即，故B正確；
對于C：在中若，，則，，
滿足，但是，故C錯誤；
對于D：因為，則，，所以，
即，整理得，所以，故D正確.
故選：ABD.
11. 已知，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】因為，
所以，
所以，故B錯誤；
又，即，即，
所以，解得，
所以，故A正確；
，故C正確；
因為，
因為
，
所以，
所以，故D正確.
故選：ACD.
12. 已知在上是單調(diào)函數(shù)，對任意滿足，且．設(shè)函數(shù)，，則（ ）
A. 函數(shù)是偶函數(shù)
B. 若函數(shù)在上存在最大值，則實數(shù)a的取值范圍為
C. 函數(shù)的最大值為1
D. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
【答案】BC
【解析】因為，即，
所以的圖象關(guān)于點對稱，
又對任意，都有，所以當(dāng)時，取得最大值.
因為在是單調(diào)函數(shù)，所以得，
所以，又因為函數(shù)在時取得最大值，
所以，則，即．
因為，所以，則.
因為函數(shù)，所以，
對于A：，即為奇函數(shù)，故A錯誤；
對于B：因為函數(shù)在時取得最大值，又因為，最小正周期，
令，，解得，，
即在，上單調(diào)遞減，
又函數(shù)在取得最大值，
因為函數(shù)在上存在最大值，則實數(shù)的取值范圍為，故B正確；
對于C：因，
所以，且，
所以函數(shù)的最大值為1，故C正確；
對于D：若的圖象關(guān)于直線對稱，
只要證對定義域內(nèi)的都成立，取，，
但，所以，矛盾，
所以的圖象不關(guān)于直線對稱，故D錯誤．
故選：BC.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知函數(shù)且，寫出滿足條件的的一個值_________．
【答案】（答案不唯一，滿足條件即可）
【解析】由函數(shù)且，得，
所以或，所以或，
所以滿足條件的可以是.（答案不唯一，滿足條件即可）
14. 已知，則________．
【答案】5
【解析】設(shè)，則，，，
故.
15. 已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上有兩點，其中，若，則_________．
【答案】或
【解析】已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與軸的非負半軸重合，
終邊上有兩點，，其中，則，
又，則，即，
則，則或，
則或．
16. 已知是定義在上且不恒為零的函數(shù)，對于任意實數(shù)，滿足，若，則_________．
【答案】
【解析】因為對于任意實數(shù)，滿足，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，可得，則；
當(dāng)時，，則.
函數(shù)的定義域為，令時，，
得，所以函數(shù)是奇函數(shù).
令，即，得，
令，則，
又函數(shù)是奇函數(shù)，所以，所以.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 在①角的終邊與單位圓的交點為；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答問題．
已知，且，_________．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）選條件①：因為角的終邊與單位圓的交點為，
可得，又為銳角，所以，
所以由三角函數(shù)的定義可得
選條件②：
因為，為銳角，所以；
又因為，得.
選條件③：因為，，
所以得，
又因為為銳角，所以，，.
故
.
（2），
由（1），，
.
，
.
18. 已知二次函數(shù)，對任意都有，且．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若對于，不等式恒成立，求x的取值范圍．
解：（1）因為，
所以函數(shù)關(guān)于對稱，
則，解得，所以.
（2）不等式即為，
當(dāng)時，則恒成立，
而，所以，即，
因為，所以；
當(dāng)時，恒成立，此時；
當(dāng)時，則恒成立，
而，所以，解得，
綜上所述，的取值范圍為．
19. 某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：）與時間t（單位：h）間的關(guān)系為，其中，是正的常數(shù)．如果在前消除了的污染物，那么
（1）后還剩百分之幾的污染物；
（2）污染物減少需要花多少時間（精確到）.參考數(shù)據(jù)：．
解：（1）當(dāng)時，，
當(dāng)時，，即，可得，
當(dāng)時，，
即后，還剩的污染物.
（2）設(shè)污染物減少需要花，則有，
所以，
可得，
即污染物減少大約需要花.
20. 已知函數(shù)是偶函數(shù)．
（1）求實數(shù)的值；
（2）設(shè)函數(shù)，若對任意，總存在使得，求實數(shù)b的取值范圍．
解：（1），
因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，
即，
所以，所以.
（2）由（1）得，則，
因為函數(shù)都是增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)，故，
因為函數(shù)是增函數(shù)，所以，
因為對任意，總存在使得，所以，
所以，解得，
所以實數(shù)b的取值范圍為．
21. 已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，其最小正周期與函數(shù)相同．
（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)，證明：有且只有一個零點，且．
解：（1）
，
因為函數(shù)最小正周期與函數(shù)相同，且函數(shù)的最小正周期為，
所以，解得.
又因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
所以，，即，，
因，所以，
所以，
由，，解得，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，.
（2）由（1）可得，定義域，
①當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因為，
所以，根據(jù)零點存在定理，使得，
故在上有且只有一個零點.
②當(dāng)時，因為單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，
，，所以，
所以在上不存在零點；
③當(dāng)時, 因為單調(diào)遞增，，
因為，所以，所以在上不存在零點；
綜上：有且只有一個零點，且.
因為，所以，
所以，
在上單調(diào)遞減，
，所以.
22. 已知函數(shù)，．
（1）若函數(shù)在為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上的值域為，求實數(shù)的取值范圍．
解：（1）任取，則
，
因為函數(shù)在上為增函數(shù)，且時，，
所以由可得，即，
，，則，所以，
因此實數(shù)的取值范圍是.
（2）當(dāng)時，.
令，
因為在上單調(diào)遞減，
又在定義域上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞減，
因為在區(qū)間上的值域為
，
所以，
即.
令（因為，所以），
易知，關(guān)于的方程在上有兩個不等實數(shù)根，
等價于關(guān)于的方程在有兩個不等實數(shù)根，
（時，，）
令，
則，解得，
所以的取值范圍是.

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